李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(二).ppt

1、3. 李雅普諾夫第二法的幾個定理 下面分別介紹李雅普諾夫穩(wěn)定性分析的如下3個定理: 漸近穩(wěn)定性定理(定理5-4) 穩(wěn)定性定理(定理5-5) 不穩(wěn)定性定理(定理5-6),(1) 漸近穩(wěn)定性定理 定理5-4 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x=f(x,t) 其中xe=0為其平衡態(tài)。 若存在一個有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t)，滿足下述條件: 1) 若V(x,t)為負(fù)定的，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的; 2) 更進(jìn)一步，若隨著|x|，有V(x,t)，那么該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。,李雅普諾夫定理是判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個重要方法和結(jié)論。 它不僅適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)

2、;既適用于定常系統(tǒng)，也適用于時變系統(tǒng)。 因此，李雅普諾夫第二法是判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的具有普遍性的方法。 對上述李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的使用有如下說明: 此定理只為判別系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定的充分條件，而非必要條件。 也就是說，若找到滿足上述條件的一個李雅普諾夫函數(shù)，則系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定或大范圍一致漸近穩(wěn)定的。,但是，如果我們一時找不到這樣的李雅普諾夫函數(shù)，也并不意味著平衡態(tài)就不是漸近穩(wěn)定的。 2) 對于漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)，滿足條件的李雅普諾夫函數(shù)總是存在的，但并不唯一。 3) 對于非線性系統(tǒng)，雖然具體的李雅普諾夫函數(shù)可證明所討論的系統(tǒng)在平衡態(tài)的鄰域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的，但并不意味著在其他的區(qū)域系統(tǒng)是或不是漸近穩(wěn)定

3、的; 4) 李雅普諾夫第二法的結(jié)論并沒有指明尋找李雅普諾夫函數(shù)的方法。 尋找李雅普諾夫函數(shù)的方法將依具體的系統(tǒng)和狀態(tài)方程而具體分析。,例5-3 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。,解: 顯然，原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)，如果我們選擇正定函數(shù),為李雅普諾夫函數(shù)，那么沿任意軌跡x(t)，V(x)對時間的全導(dǎo)數(shù),是負(fù)定函數(shù)。此外，當(dāng)|x|時，必有V(x)。 因此，由定理5-4知，在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。,例5-4 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。,解: 顯然，原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)，如果我們選擇正定函數(shù),為李雅普諾夫函數(shù)，那么沿任意軌

4、跡x(t)，V(x)對時間的全導(dǎo)數(shù),是負(fù)定函數(shù)，故由定理5-4知，根據(jù)所選的李雅普諾夫函數(shù)分析不出該平衡態(tài)是否漸近穩(wěn)定或穩(wěn)定。 但這也并不意味著該平衡態(tài)就并不漸近穩(wěn)定。,定理5-4中嚴(yán)格要求選擇的李雅普諾夫函數(shù)為正定函數(shù),其導(dǎo)數(shù)為負(fù)定函數(shù)。 這給該定理的應(yīng)用，特別是尋找適宜的李雅普諾夫函數(shù)帶來一定困難。 下面給出一個定理對上述定理5-4作一補(bǔ)充，以減弱判別條件。,(2) 穩(wěn)定性定理 定理5-5 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=f(x,t)，其中xe=0為其平衡態(tài)。若存在一個有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t)，滿足下述條件: 1) V(x,t)為負(fù)半定的，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致穩(wěn)定的; 2)

5、更進(jìn)一步，若V(x,t)的定義域?yàn)镽n，對任意的t0和任意的x(t0)0，V(x,t)在tt0時不恒為零，那么 該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的，否則將僅是一致穩(wěn)定而非一致漸近穩(wěn)定。 此時，隨著|x|，有V(x,t)，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的一致漸近穩(wěn)定平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。,由此定理的結(jié)論可知，定理5-5不僅可用于判別平衡態(tài)的穩(wěn)定性，而且可作為定理5-4的補(bǔ)充，用于判別平衡態(tài)的漸近穩(wěn)定性。 例5-5 試確定例5-4的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。 解： 前面已經(jīng)定義例5-4的系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。 該函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)分別為,由于V(x)是負(fù)半定函數(shù)，由定理5-5的1)可知，系統(tǒng)為一致穩(wěn)定的。,對例

6、5-5，選取李雅普諾夫函數(shù)為 則 是負(fù)定的，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。,例5-6 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。,為李雅普諾夫函數(shù)，那么沿任意軌跡x(t)，V(x)的全導(dǎo)數(shù),解： 顯然，原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)，如果我們選擇正定函數(shù),由于V(x)非正定，由定理5-5的1)可知，系統(tǒng)為一致穩(wěn)定的。,由于V(x)對任意的x0恒為零，因此由定理5-5中2)可知，該系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定，但非漸近穩(wěn)定。,(3) 不穩(wěn)定性定理 定理5-6 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=f(x,t)，其中xe=0為其平衡態(tài)。若存在一個有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)V(x,t)，滿足下述條件

7、: 1) V(x,t)為正定的，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是不穩(wěn)定的; 2) 若V(x,t)為正半定的，且對任意的t0和任意的x(t0)0， V(x,t)在tt0時不恒為零，那么該平衡態(tài)xe亦是不穩(wěn)定的。,例5-7 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。,解： 顯然，原點(diǎn)(0,0)是給定系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)，如果我們選擇李雅普諾夫函數(shù)為,則,由于V(x)正半定，但其只在x1=0，x2=0時才恒為零，而在其他狀態(tài)不恒為零，因此由定理5-6的2)可知，系統(tǒng)的該平衡態(tài)為不穩(wěn)定的。,下面將前面討論的李雅普諾夫穩(wěn)定性的判定方法作一小結(jié),V(x),V(x),結(jié)論,正定(0),負(fù)定(0),該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定

8、,正定(0),負(fù)半定(0)且不恒為0 (對任意非零的初始狀態(tài)的解),該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定,正定(0),負(fù)半定(0)且恒為0 (對某一非零的初始狀態(tài)的解),該平衡態(tài)穩(wěn)定 但非漸近穩(wěn)定,正定(0),正定(0),該平衡態(tài)不穩(wěn)定,正定(0),正半定(0)且不恒為0 (對任意非零的初始狀態(tài)的解),該平衡態(tài)不穩(wěn)定,5.4 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 本節(jié)主要研究李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。 討論的主要問題有: 基本方法: 1.線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 2.矩陣?yán)钛牌罩Z夫方程的求解,由上節(jié)知，李雅普諾夫第二法是分析動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的有效方法，但具體運(yùn)用時將涉及到如何選取適宜的李雅普諾夫函數(shù)來分

9、析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 由于各類系統(tǒng)的復(fù)雜性,在應(yīng)用李雅普諾夫第二法時，難于建立統(tǒng)一的定義李雅普諾夫函數(shù)的方法。 目前的處理方法是，針對系統(tǒng)的不同分類和特性，分別尋找建立李雅普諾夫函數(shù)的方法。,設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x=Ax 這樣的線性系統(tǒng)具有如下特點(diǎn): 1) 當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為非奇異時，系統(tǒng)有且僅有一個平衡態(tài)xe=0，即為狀態(tài)空間原點(diǎn); 2) 若該系統(tǒng)在平衡態(tài)xe=0的某個鄰域上是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的; 3) 對于該線性系統(tǒng)，其李雅普諾夫函數(shù)一定可以選取為二次型函數(shù)的形式。,上述第(3)點(diǎn)可由如下定理中得到說明。 定理5-7 線性定常連續(xù)系統(tǒng) x=Ax 的平衡態(tài)xe=0為漸近

10、穩(wěn)定的充要條件為: 對任意給定的一個正定矩陣Q，都存在一個正定矩陣P為矩陣方程 PA+ATP=-Q 的解，并且正定函數(shù)V(x)=xTPx即為系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。,上述定理給出了一個判別線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的簡便方法，該方法 不需尋找李雅普諾夫函數(shù)， 不需求解系統(tǒng)矩陣A的特征值，只需解一個矩陣代數(shù)方程即可，計算簡便。 該矩陣方程又稱為李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程。 由上述定理，可得如下關(guān)于正定矩陣P是李雅普諾夫矩陣方程的唯一解的推論。,推論5-1 如果線性定常系統(tǒng)x=Ax在平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的，那么李雅普諾夫代數(shù)方程 PA+ATP=-Q 對給定的任意正定矩陣Q，存在唯一的正定矩陣解P

11、。,由定理5-7及其推論5-1可知，運(yùn)用此方法判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性時，最方便的是選取Q為單位矩陣，即Q=I。 于是，矩陣P的元素可按如下李雅普諾夫代數(shù)方程: PA+ATP=-I 求解，然后根據(jù)P的正定性來判定系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。,例5-9 試確定用如下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。,解: 設(shè)選取的李雅普諾夫函數(shù)為 V(x)=xTPx 由定理5-7可知，上式中的正定矩陣P滿足李雅普諾夫方程 PA+ATP=-I.,于是，令對稱矩陣P為,將P代入李雅普諾夫方程，可得,展開后得，有:,因此，得如下聯(lián)立方程組:,解出p11、p12和p22，得,為了驗(yàn)證對稱矩陣P的正定性，用合同變換法檢驗(yàn)如下:,由于變

12、換后的對角線矩陣的對角線上的元素都大于零，故矩陣P為正定的。因此，系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的。 此時，系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)和它沿狀態(tài)軌線對時間t的全導(dǎo)數(shù)分別為,例5-10 控制系統(tǒng)方塊圖如下圖所示。 要求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，試確定增益的取值范圍。,解: 由圖可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,不難看出，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。 選取Q為非負(fù)定實(shí)對稱矩陣，則,由于為非負(fù)定，且只在原點(diǎn)處才恒為零，其他非零狀態(tài)軌跡不恒為零。 因此，對上述非負(fù)定的Q，李雅普諾夫代數(shù)方程和相應(yīng)結(jié)論依然成立。,設(shè)P為實(shí)對稱矩陣并代入李雅普諾夫方程，可得,求得,為使原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的，矩陣P須為正定。,采用合同變換法，有,從而得到P為正定矩陣的條件,即 0k6 由上例可知，選擇Q為某些非負(fù)定矩陣，也可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，益處是可使數(shù)學(xué)運(yùn)算得到簡化。,本章小結(jié) 穩(wěn)定性問題是控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的主要問題,也是系統(tǒng)綜合的主要目標(biāo)。 本章討論動力學(xué)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。 它深刻刻畫了動力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)部運(yùn)動狀態(tài)的發(fā)展變化規(guī)律,是具有普遍性的穩(wěn)定性方法。 5.2節(jié)首先給出了動力學(xué)系統(tǒng)的平衡態(tài)定義、穩(wěn)定性的局部性概