31回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用.ppt

1、3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用,高二數(shù)學 選修2-3 第三章 統(tǒng)計案例,比數(shù)學3中“回歸”增加的內(nèi)容,數(shù)學統(tǒng)計 畫散點圖 了解最小二乘法的思想 求回歸直線方程 ybxa 用回歸直線方程解決應(yīng)用問題,選修2-3統(tǒng)計案例 引入線性回歸模型 ybxae 了解模型中隨機誤差項e產(chǎn)生的原因 了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關(guān)系 了解殘差圖的作用 利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題 正確理解分析方法與結(jié)果,復(fù)習回顧,2、數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機誤差的效應(yīng)，稱 為殘差。,3、對每名女大學生計算這個差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學符號表示為： 稱為殘差平方和

2、，它代表了隨機誤差的效應(yīng)。,4、兩個指標： （1）類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用作 為 的估計量， 越小，預(yù)報精度越高。,（2）我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其 計算公式是：,R2 1，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差。,在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。,5、殘差分析與殘差圖的定義：,然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。,我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估

3、計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。,案例2 一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中：,（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測溫度為28oC時產(chǎn)卵數(shù)目。 （2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？,非線性回歸問題,假設(shè)線性回歸方程為 ：=bx+a,選 模 型,由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73 相關(guān)指數(shù)R2=r20.8642=0.7464,估計參數(shù),解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù) 為預(yù)報變量y。,所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。,探索新知,方案1,分析和預(yù)測,當x=28時，y =19.8728-4

4、63.73 93,一元線性模型,奇怪？,9366 ? 模型不好？,方案2,問題3,合作探究,t=x2,二次函數(shù)模型,方案2解答,平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a,作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.543，相關(guān)指數(shù)R2=0.802,將t=x2代入線性回歸方程得： y=0.367x2 -202.543 當x=28時，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802， 所以，二次函數(shù)模型中溫度解 釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。,產(chǎn)卵數(shù),氣溫,指數(shù)函數(shù)模型,方

5、案3,合作探究,對數(shù),方案3解答,當x=28oC 時，y 44 ，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化,由計算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程 為,對數(shù)變換：在 中兩邊取常用對數(shù)得,令 ，則 就轉(zhuǎn)換為z=bx+a.,相關(guān)指數(shù)R2=0.98,最好的模型是哪個?,線性模型,二次函數(shù)模型,指數(shù)函數(shù)模型,比一比,最好的模型是哪個?,回歸分析（二）,則回歸方程的殘差計算公式分別為：,由計算可得：,因此模型（1）的擬合效果遠遠優(yōu)于模型（2）。,總 結(jié),對于給定的樣本點 兩個含有未知參數(shù)的模型：,其中a和b都是未知參數(shù)。擬合效果比較的步驟為： （1）分別建立對應(yīng)于兩個模型的回歸方程 與 其中 和 分

6、別是參數(shù)a和b的估計值； （2）分別計算兩個回歸方程的殘差平方和 與 （3）若 則 的效果比 的好；反之， 的效果不如 的好。,練習：為了研究某種細菌隨時間x變化，繁殖的個數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：,（1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個數(shù)作預(yù)報變量，作出這些 數(shù)據(jù)的散點圖； （2） 描述解釋變量與預(yù)報變量 之間的關(guān)系； （3） 計算殘差、相關(guān)指數(shù)R2.,解：（1）散點圖如右所示,（2）由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)y= 的周圍，于是令Z=lny,則,由計數(shù)器算得 則有,（3）,即解釋變量天數(shù)對預(yù)報變量繁殖細菌得個數(shù)解釋了99.99%.,練習 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用 y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料。,若由資料知,y對x呈線