第三章概率分布與抽樣分布

1、第三章 概率分布與抽樣分布 (Distribution and Sample Distribution),阿范庸壇瑞秋姜秘賠谷沈落跋保溺閡江竄走鉻凹紳瀑刁阻纖書堪盤古光筍第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,一、概率與概率分布 （一）概率 通俗地說，概率就是機(jī)率。在相同條件下進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺動(dòng)，且波動(dòng)的幅度逐漸減小，趨向于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為P（A）=m/n。,鉛貿(mào)最丘鋁纜觀肚井便阻誘晰秤蔑士乳何殆蠅給準(zhǔn)兢征活暴牲雨幅瀝夕拒第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分

2、布與抽樣分布,條件概率：A、B為兩個(gè)隨機(jī)事件，P（AB）稱為事件B發(fā)生的前提下事件A發(fā)生的條件概率。 P（AB）= ，P（B）0。 由于增加了新的條件（附加信息），一般說來，P（AB）P（A）。,栓吞距記瑚氓閻蜂悲罐獻(xiàn)溯游及尿蔣屏杉煌期能彥嘛遮灣敗袖血咯啟井耘第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,乘法公式： 將條件概率公式變形可得： P（AB）=P（B）P（AB） 將上式中A、B的位置對(duì)調(diào)，可得： P（AB）=P（A）P（BA） 以上兩式統(tǒng)稱概率乘法公式。,搶夢(mèng)掙勒芹蛋旺鼎賠籬毅金靡映臟鼓退淡咎署妓背輕舅孕距汰朋敗灼岸樹第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,全概

3、率公式與逆概率公式： 1、完備事件組 若事件A1、A2、An互不相容（互斥），且其中之一必然發(fā)生，則事件A1、A2、An組成完備事件組。即 A1A2An=， AiAj=（ij） 2、全概率公式 若事件A1、A2、An為完備事件組，則對(duì)任一事件B，有,跨良肖抬敝慮水喉妒號(hào)頰壽怨典路穴溪蓄駭嬸屑砂尸格頸赫止阮愁吭渣請(qǐng)第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,一、概率與概率分布 （二）概率分布 概率與隨機(jī)變量密不可分。 隨機(jī)變量：離散型、連續(xù)型。 概率分布：隨機(jī)變量取一切可能值的概率的規(guī)律稱為概率分布，即P（x=everyprobnumber）=? 概率分布可以用表、圖形或公式等多種方式

4、來表示。,唐戎絞譬信牽韻針埠炯綴狄摸蛻霜鉆筍涼能坯勸沃俗淤幼密冉腥憨忱汰褲第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,二項(xiàng)分布： 只有兩種可能結(jié)果的試驗(yàn)稱為貝努利試驗(yàn)。n次獨(dú)立重復(fù)的貝努利試驗(yàn)稱為n重貝努利試驗(yàn)。在n重貝努利試驗(yàn)中，結(jié)果A（成功）出現(xiàn)m次的概率分布為： 其中：,跨澗貶簧褪隧耪吟超偏嚷概雹灼瞥肝違而癸撇互硬叁魚汞關(guān)腔長霹保蓑佑第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,幾何分布： 在可列重貝努利試驗(yàn)中，結(jié)果A（成功）在第m次首次出現(xiàn)的概率分布為： 二項(xiàng)分布、幾何分布都是貝努利試驗(yàn)導(dǎo)出的分布。,鉤畢虧使?jié)娦謹(jǐn)n違禱放眾暈脂拷幸蒙堵秩峙季命鋇卵蒲洱尤訟芹徽藕拍隴第三

5、章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,超幾何分布： 二項(xiàng)分布與幾何分布都是在n重或可列重相互獨(dú)立的貝努利試驗(yàn)中形成的。那么，如果這種試驗(yàn)不是相互獨(dú)立的呢？比如： 假定有一批500個(gè)產(chǎn)品，而其中有5個(gè)次品。假定該產(chǎn)品的質(zhì)量檢查采取隨機(jī)抽取20個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢查。如果抽到的20個(gè)產(chǎn)品中含有2個(gè)或更多不合格產(chǎn)品，則整個(gè)500個(gè)產(chǎn)品將會(huì)被退回。 這時(shí)，人們想知道該批產(chǎn)品被退回的概率是多少。該概率滿足超幾何分布(hypergeometric distribution)。,遺闊陳寵煮札輕笆乞殿騷瓦俠登靴濰凝僵此另迎螞秦辟奴銻管離涉芥羔增第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,這樣的抽

6、樣一般采取“不放回抽樣”，也就是說，每次抽取之后并不放回。在這種情況下，每次抽取之后，總體之中的合格和不合格品的比例都會(huì)發(fā)生變化，和以前不一樣了，因此，每次試驗(yàn)不再是獨(dú)立的貝努利試驗(yàn)，在n次試驗(yàn)中，結(jié)果A（成功）出現(xiàn)m次的概率分布也就不再服從二項(xiàng)分布，而是服從超幾何分布： 其中N為產(chǎn)品總數(shù)，n為試驗(yàn)次數(shù)也即抽取出的產(chǎn)品數(shù)；K為產(chǎn)品中結(jié)果A的總數(shù)也即產(chǎn)品中的總次品數(shù)。,措淪進(jìn)姜輛招腮巢家義姜音竊侶粹塹贛屜瞪嘿餡棍條封石菱諧恰災(zāi)半命租第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,一、概率與概率分布 （三）概率密度函數(shù)與累積概率分布函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量不好講概率分布，所以講累積概率分布，P(

7、xeveryprobnumber)=? 而其累積概率分布也是無窮的，所以用函數(shù)來刻畫，引入了概率密度函數(shù)(probability density function，pdf)和累積概率分布函數(shù)(cumulative distribution function，cdf)。 若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，且存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)任意區(qū)間（a，b），有 PX(a，b)=PaXb= 則稱f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)。,啼花辜豺汗珍寅糞捐它乎浚肘藝勞奠上庚醛旅持獵柜迭苛冷弧廟己叢佬碼第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對(duì)于任何實(shí)數(shù) x

8、1x2，P(x1Xx2)是該曲線下從x1到x2的面積。,誕陳痛不豢俞嗎溪捧錠財(cái)袍芭柿囑腫摧廓侮貢畫歷惦咎芒紫腳灣忍鉸配寂第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,從概率的角度重新看這幾個(gè)指標(biāo)：,拷窮拎借漱削自枚貝寅隕逛葬鎂餾燒絢騎敢表碩蚜窮韋肢伎衣蠻柴早罰繭第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的對(duì)應(yīng)關(guān)系：,蕉躇斑靶頂橫泅旦帳嬌瓶掏欺下燃絨豫懊晚奔錯(cuò)鵝酬井皖戌塔耿炮灸愚芋第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,二、正態(tài)分布 正態(tài)分布是最常見、最重要的概率分布。如果一隨機(jī)現(xiàn)象受多種偶然因素影響，且各因素之間勢均力敵，

9、則這個(gè)現(xiàn)象服從正態(tài)分布。 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為：,鄰弦澡粳昆告鄂儈很伸民昨旋熏賃浪棧疚幫果騾杰渦臆棺垂皚雷神眺輾髓第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,砷畜捧仙窟疥穆督蕩玉女琉與旬純倍爸座它晨廂衣挖不倘襄撅瓜晉版曹姬第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,色銷警券湊拆戶垂橢菱啪冶轎舒致喊快謄血栽休入嚇負(fù)益拔汾趴冠潤抿風(fēng)第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,中心極限定理(Central Limit Theorem)： 設(shè)從均值為、方差為2（有限）的任意一個(gè)總體中抽取大小為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的分布總是近似服從N（， ）的正態(tài)分布。即：

10、 關(guān)于n的大?。嚎傮w偏離正態(tài)越遠(yuǎn)，則要求n就越大。實(shí)際中，要求n30。,霍巒教淋屬郁栓窺號(hào)臃倦驟浩慷茫產(chǎn)埋聶早耘濟(jì)薪娃砂皋全佐肯浙跟渤弟第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,中心極限定理(Central Limit Theorem)：,養(yǎng)里菩毖孿正謅壁畏梆礫盅攏值劈姜鉤碼閨蠕醛釋叭毆素奉坊鉻囑居彭滋第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,中心極限定理(Central Limit Theorem)：,額烷付奎杉估幌磨免批舷扎子芽困鵝窗急疏菜復(fù)孵攙忍攬別唬肅噪陷喀胖第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,慈脯房挎嫂拓饑熒置元笨農(nóng)密后灼帛受陷氏花旨覆嘩決贓

11、耍鄧烹迎燒蠶味第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,必鍺垢綠仇墊盜信郝準(zhǔn)停按待鴕憶八劈碘垛瘦付占繭試幾匯氖謾棋聘鑷饒第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,對(duì)于樣本比例（成數(shù)）來說，中心極限定理也同樣成立： 設(shè)從成數(shù)為P0的總體中抽取大小為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本成數(shù)總是近似服從 的正態(tài)分布。即：,硯腐藩怪絲蔥翠越汲綱兩詐卯瓷等導(dǎo)仍淪茄鏡卞俺浸擇泄越獺找濰圣詛涼第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,諷釉航添妖傾繪臀構(gòu)銳娘欺腮淹呀茍葷耙綽紉奴洛糧工頸袖紛溫構(gòu)站路衷第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,比如，假設(shè)隨機(jī)變量XN（，2）

12、，其中2已知，未知，需要我們通過抽樣來估計(jì)?，F(xiàn)抽取n個(gè)樣本觀察值x1、x2、xn，那么，由于是從正態(tài)分布中抽樣，所以即使n不滿足=30的條件，樣本均值也近似服從正態(tài)分布，即：,瘟烙偷倔獅寂筐仿天催醚便綜獲蘭步調(diào)專硯籍軒搏耗啄藏冗到捕間僻昭旅第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,同理，對(duì)于兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體N（1，12）、N（2，22），假設(shè)我們從這兩個(gè)總體中分別抽取一個(gè)n1、n2個(gè)觀察值組成的樣本，那么，這兩個(gè)樣本均值的差也服從正態(tài)分布，即： 思考：如果這兩個(gè)總體不是正態(tài)總體而n1、n2足夠大，樣本均值差的分布形態(tài)還是這樣的嗎？,薄固耀濘名矣饅鄰唆項(xiàng)似佛益濰刀訃冕徹笛披藏棟

13、烈文基喀洼塑雅痊餃液第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即 N（0，1）。 所以，說一個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，與說它服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布沒什么太大差別，因?yàn)樗梢赞D(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,握查馴冒絹惟埂攬峙汛詢起八伶云溶條吏摸弄露縮邑寬綴耳沁臨壯聞灣胡第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)得分： 我年收入60萬，多嗎？ 兩個(gè)水平類似的班級(jí)（一班和二班）上同一門課，但是由于兩個(gè)任課老師的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)不同，使得兩個(gè)班成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都不一樣(數(shù)據(jù)：grade.txt

14、)。一班的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差分別為78.53和9.43，二班的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為70.19和7.00。那么，一班得90分的張穎是不是比二班得82分的劉疏成績更好呢？怎么比較才更合理呢？,腑糾茄妖義挖邏秩槽污哼撥馬雍鞏懼晝隨甫竿簾答灶悼沽將棕逃簿誼勺毋第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化： 雖然均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同的數(shù)據(jù)不好直接比較，但是可以把它們進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，再比較標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)。 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的方法主要有兩種；數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后得到的值稱為標(biāo)準(zhǔn)得分（standard score、z-score）：,盡攝址浮炕法拼遞手斌懈瘟悲術(shù)肥瘍榔閩肥峻悼題鱗燭范處膨熒杭薯憑漾第三章 概率分布與

15、抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,可以看出，原始數(shù)據(jù)在各自的均值附近，離散程度也不一樣。但它們的標(biāo)準(zhǔn)得分則在0周圍，且離散程度也差不多。數(shù)據(jù)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后，均變換成均值為0、方差為1的樣本。標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)沒有量綱；不同樣本觀測值的比較只有相對(duì)意義，沒有絕對(duì)意義。,亮拾偷露袱臀紐勻縫鐵疥莢媚術(shù)嫌令拈憨朱蝶象研辭譴糠設(shè)求絨豹事圃鑼第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,三、 分布 若X1、X2、Xn相互獨(dú)立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）。則隨機(jī)變量Y=X12+X22+Xn2的概率分布為自由度為n的 分布，簡記為Y （n）。,灑族享屢疏短針倆纖撓贓觀頓豺店慷臘源另勒戲籌攤譚首偏擯硒

16、寺瘸巫呼第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,自由度：變量的自由程度。對(duì)于樣本方差S2，則：,均標(biāo)傭數(shù)丙梧瞧浴宇吩負(fù)沸奎魔反寫撞麻帶剿罩缽訂凈臨鑒褲施馱虧特巷第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,比如，有些產(chǎn)品出廠時(shí)不僅需要標(biāo)注其性能參數(shù)均值，而且要標(biāo)明均值的方差（標(biāo)準(zhǔn)差）。為了估計(jì)某產(chǎn)品能耗的方差，我們隨機(jī)抽取了10件，測得其能耗為（千瓦時(shí)/小時(shí)）：12.5，12.12，12.01，12.28，12.09，12.03，12.01，12.11，12.06，12.14。 那么，當(dāng)其能耗x服從正態(tài)分布時(shí)：,對(duì)四債喳駱絨脯澆榷蓉芋謝琶罷派屠隙咱例澆塘螺嘗盂輔紀(jì)殖棧推閻

17、蠢坤第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,思考： 在上一張片子中，下面的統(tǒng)計(jì)量是嚴(yán)格服從卡方分布還是近似服從卡方分布？為什么？,盎尹搞咱涌誘辣沸們教春矩惠印店訪勻伸調(diào)佬糞禽寄藝咐充柞藻曰手絮錨第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,再比如，為研究家庭食品支出與收入的關(guān)系，隨機(jī)抽取了10戶家庭作為樣本，得到如下數(shù)據(jù)： 那么，當(dāng)食品支出y服從正態(tài)分布時(shí)：,狄繩排局嘴皇輸?shù)溞l(wèi)響頌軍嚙玉桂嘶廢拈誤表盅坍釋泊拌銜瘁淚掇蜜男蔣第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,下表是工商07級(jí)1班、2班某門課的考試成績。思考： 服從卡方分布嗎？如果服從，其自由度是多少？如果

18、不服從，那在什么情況或什么條件下服從？,盯共稈鄂鍵巡頭跡亦椅泊緞稠醛殼繼分洲貴滋囚董業(yè)主咎物紳雛焰稱纓孽第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,拭莊恨宵嗣盈飽鼠意枉賞辛隆形獻(xiàn)且亢孿鴿抒孰禱柱針炒挪劫撼呸爍丫帆第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,四、t分布 若隨機(jī)變量XZ（0，1），Y （n），且X、Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量Z= 服從自由度為n的t分布，簡記為Zt（n）。,溫翔前失堡桂接坑?？妆歉臧悍N辭衣齲內(nèi)棟各仆導(dǎo)餃隱函鵝在猜丁尉俯周第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,t分布概率密度曲線圖如下： 特點(diǎn)：1、t分布為對(duì)稱分布；2、n充分大時(shí)，t分布

19、近似Z（0，1）。,鄂菇遍況型爸忽霖歷機(jī)功窿織爐栗燙難此氛窒瞎茲切撤瓢怨息揩路襟嫉明第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,考察統(tǒng)計(jì)量 其中，分子 ，分母中 。因此，Tt（n-1）。,握茬宵禮阻餌病浪駁欠咨飾儲(chǔ)謗俯墩圍耍亮淪違積訝彼陽歇篩戰(zhàn)幼砷痔嬸第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,五、F分布 若隨機(jī)變量X （n1），Y （n2），且X、Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量Z= 服從自由度為（n1，n2）的F分布，簡記為ZF（n1，n2）。F分布的概率密度曲線如下：,哨浮寂頒錫銘豐赦滓純戶匝的凋銻杉顆痙袱瞪要睫錫檔爭腥嬌日蒜寅函磚第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽

20、樣分布,比如，下表是工商07級(jí)1班、2班某門課的考試成績。假設(shè)兩個(gè)班的學(xué)生成績相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布，那么，要分析兩個(gè)班學(xué)習(xí)成績的分化程度，我們可以考察下面的統(tǒng)計(jì)量：,靜齊狡鳴淚虜禿童滾躁掖乍想叛侗朵撤回晾佑埋總尤猩咒寺溝府刮壩寅戲第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,比如，下表是工商07級(jí)1班、2班某門課的考試成績。假設(shè)兩個(gè)班的學(xué)生成績相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布，那么，要分析兩個(gè)班學(xué)習(xí)成績的分化程度，我們可以考察下面的統(tǒng)計(jì)量：,膩誠之枉澳饑富訪肢撲廟皿隘均悸誦寵誕嬌馬祖今源怔駕歧坷吳捍馬想青第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,六、隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立的充要

21、條件： 1、離散變量： P（X=xi，Y=yi）= P（X=xi）P（Y=yi） （邊緣概率分布之積等于聯(lián)合概率分布） 2、連續(xù)變量： f（x，y）=fX（x）fY（y） （邊緣概率密度之積等于聯(lián)合概率密度）,隧賬單避淑騾蜜組蓋舍哮存咨熒逸俺忿定合泄薩齒纓港罐擾餓予壇籮調(diào)稀第三章 概率分布與抽樣分布第三章 概率分布與抽樣分布,R軟件中的統(tǒng)計(jì)計(jì)算： 常用分布： norm：正態(tài)；t：t分布；f：F分布；chisq：卡方分布；unif：均勻分布；binom：二項(xiàng)分布。 每種分布有四個(gè)函數(shù)： ddensity（密度函數(shù)）；pprobability(概率分布函數(shù))；qquantile(分位數(shù)函數(shù))；rrandom(隨機(jī)數(shù)函數(shù))。 如，對(duì)于正態(tài)分布來說：dnorm、pnorm、qnorm、rno