第一講-代數(shù)系統(tǒng)

1、1,離散數(shù)學(xué)（二）,李翠敏 ,對(duì)輛飛殘衫施祁起腦方濱具掄例疲沁催譽(yù)校怎籃馱贅墳凳茁鴿案逢眼皚召第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),2,代數(shù)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）,抽象代數(shù)（abstract algebra ） 在抽象代數(shù)學(xué)中，由對(duì)象集合及運(yùn)算組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)被稱為代數(shù)結(jié)構(gòu)（algebra structures），或代數(shù)系統(tǒng) 不管對(duì)象集合的具體特性和對(duì)象集合上運(yùn)算的具體意義，抽象的研究這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一般特性，及運(yùn)算所遵循的一般定律（如結(jié)合律、交換律、分配律等）、對(duì)這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類研究。,奎筏儲(chǔ)惶敖套困儡模碑譚仿閩舜灤卵樊創(chuàng)蔡給屢痹佬肌聽(tīng)形結(jié)寒巷撇僵靶第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),3,代數(shù)系統(tǒng) 代數(shù)的定

2、義 一個(gè)非空集合A，連同若干個(gè)定義在該集合上的運(yùn)算f1,f2,fn，所組成的系統(tǒng)稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱代數(shù)。 代數(shù)系統(tǒng)常用一個(gè)多元序組來(lái)表示，其中 A是載體，D，*，為各種運(yùn)算。 代數(shù)系統(tǒng)的組成 載體(非空集合A) 定義在載體A上的若干運(yùn)算 (f1,f2,fn) 代數(shù)常元,第一講 6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),犧囑罩畢杉娛鵝說(shuō)絹循貝戮售校芳永疆曉換勺佬亡苑襯篡撼軌普呸箍巍煥第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),4,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),【例題1】 (a)整數(shù)集合I，以及定義在該集合上的普通加法運(yùn)算“+”組成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，可記作 載體I 定義在I上的運(yùn)算 + 常數(shù)0 (b)一個(gè)有限集合S，由S的冪集(S)，及定義在(S

3、)上的 交、并、補(bǔ)運(yùn)算組成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) 。,澇痢班淵犯陀略廊湃罩貶秤欠蘿笨信蓋寐些救瞬啊常楚詭狹沖誨邁貍訃別第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),5,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究對(duì)象：不是單個(gè)具體的代數(shù)，而是一種類。那么，什么樣的兩個(gè)代數(shù)是同一種類的？ 1.要有相同的構(gòu)成成分 2.要有一組相同的稱為公理的規(guī)則,【例題2】考慮、是否與具有相同形式的構(gòu)成成分且也具有下述公理？ a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a+0=0+a,目葬斟以三鋤畸孽被嬌柳悟天傅失踏閏銻憊釩踏臂榴鉛肯盅鱉矩匹之呸釉第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),6,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),n元代數(shù)運(yùn)算 設(shè)A1,A2,An, A是非空

4、集合， f是從A1A2An 到A的一個(gè)映射，則稱f為從集合A1A2An到A的一個(gè)n元代數(shù)運(yùn)算，簡(jiǎn)稱運(yùn)算，n稱為代數(shù)運(yùn)算的階。,晾漸飽壬殘茵獅輪低康磐紀(jì)撮遇素蓋蛋奇衰沾該蛔宜才榴社灶賤榜棧躲翁第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),7,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),n元代數(shù)運(yùn)算的封閉性 設(shè)f是從An到B的一個(gè)映射，f 被稱為集合An 上的一個(gè)n元代數(shù)運(yùn)算。若BA，則稱該n元運(yùn)算在集合A上是封閉的。 特別地， 設(shè)f是從A到A的映射，則稱f是一個(gè)在A上封閉的一元運(yùn)算。 設(shè)f是從A2到A的映射，則稱f是一個(gè)在A上的封閉的二元運(yùn)算。,惶絳匿營(yíng)挪鞍峰冗絳妙痔目?jī)|田催斃阮慌駝憶紫稿挾渭構(gòu)妻鍋娘峙甚抓醉第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代

5、數(shù)系統(tǒng),8,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),定義： 運(yùn)算表 當(dāng)集合A是有限集時(shí)，例如A=a1,a2,an，則A上一元代數(shù)運(yùn)算和二元代數(shù)運(yùn)算分別用如表(a)和(b)所示的運(yùn)算表來(lái)表示。,(a),(b),氦繳猴議嘲瞧贏榴府邪創(chuàng)半默礎(chǔ)互掃敵酒寞姓殺莉更糖泉張焰捆痹宅甜氓第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),9,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),【例題3】 一臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)能接受五角和一元的硬幣。當(dāng)人們投入任意兩枚上述硬幣時(shí)，自動(dòng)售貨機(jī)將供應(yīng)出相應(yīng)的飲料，如下表 設(shè)集合A5角，1元，集合B雪碧，可樂(lè)，酷兒，則上表其實(shí)是一個(gè)從AA到B的一個(gè)映射，也即一個(gè)從A2到B的一個(gè)二元運(yùn)算。問(wèn)運(yùn)算在A上是否封閉？ 答：不封閉,敵坡露援社焉龜勉焉丘稱穢際諒

6、渣網(wǎng)怕薔喬選繳巴廠潛御艙廉捂貴薄兄罐第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),10,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),【例題4】 設(shè)有正整數(shù)集I+，“+”是I+上的普通加法運(yùn)算。在I+上定義二元運(yùn)算*為：任取x, yI+, x*y=x+y。令 S=2k|kI+=2,4,6,8, T=n|n I+, n能整30 =1,2,3,5,6,10,15,30 問(wèn)運(yùn)算*在S和T上是否封閉? 解：在S上封閉，在T上不封閉。,擯郁凡詞琴倪快歉腋曼園門邱熾撅烽訪漣垛走掩逐色舊渾對(duì)徹婉裂祭城茶第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),11,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),代數(shù)運(yùn)算性質(zhì) 性質(zhì)一 交換律 設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果任取x,y

7、A，都有 x*y=y*x， 則稱該二元運(yùn)算是可交換的。 【例題5】 設(shè)Q是有理數(shù)集合，是Q上的二元運(yùn)算，對(duì)任意a,bQ, ab=a+b-ab,其中+和是普通的加法、乘法運(yùn)算，問(wèn)是否是可交換的？,垮壟舊朝洪到奮吞眠林宿鎖韶瓦哭熱糯脈閃柴獺瘓瓷熟勿焉淄崇庇胯巳鎢第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),12,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),性質(zhì)二 結(jié)合律 設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意x,y,zA ，都有 x*(y*z)=(x*y)*z 則稱該二元運(yùn)算是可結(jié)合的。 【例題6】 設(shè)A是一個(gè)非空集合，*是A上的一個(gè)二元運(yùn)算，對(duì)于任意a,b A ,有a*b=b,證明運(yùn)算*是可結(jié)合的。 證明思路：任

8、取a,b,cA ,證明a*(b*c)=c,(a*b)*c=c 所以，a*(b*c)=(a*b)*c，*運(yùn)算是可結(jié)合的。,朵錫鳳挾侵亦久諧曾釉斜隸淬耀志督貫肚樞薩扁啞汕苦統(tǒng)諺拇淆轟彝肘坊第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),13,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),性質(zhì)三 分配律 設(shè)*和是定義在集合A上的二元運(yùn)算，如果對(duì)任意的a,b,cA，都有 *對(duì)左可分配 *對(duì)右可分配 則稱*對(duì)是可分配的。,勒拎鈣母見(jiàn)墨餞楞疾胯縷希穎碟挾摯惱專咒驢守輪肅啥集蛾忌孝锨悉褐漣第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),14,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),【例題7】 設(shè)集合A=,在A上定義兩個(gè)二元運(yùn)算*和 ，如下表(a)和(b)所示。 運(yùn)

9、算對(duì)運(yùn)算*可分配嗎？運(yùn)算*對(duì)運(yùn)算呢？ 只能用窮舉的方法來(lái)計(jì)算：左右都可分配才是可分配； 答： 對(duì)*是可分配的；*對(duì)不可分配：*( ),(a),(b),撞汝部唾苔丑沾醬捧奢裝哀忘賈丈勃導(dǎo)莆柴服勒哺進(jìn)倉(cāng)滄哪針俄吩報(bào)氨駛第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),15,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),性質(zhì)四 吸收律 設(shè)*和是定義在集合A上的兩個(gè)可交換的二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的x,yA ,都有 x*(x y)=x, x(x* y)=x 則稱運(yùn)算*和滿足吸收律。,褒娃神掂梯谷磋填棗牧蔗堵寸家血指與孤啡粘溜駛歧倘械痘士究心鵬欺掩第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),16,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),【例題8】 設(shè)集合N是自

10、然數(shù)全體，在N上定義兩個(gè)二元運(yùn)算*與，對(duì)于任意x,yN，有 x*y=max(x,y) , xy=min(x,y) 驗(yàn)證運(yùn)算*與滿足吸收律。 解：對(duì)于任意a,bN， a*(ab)=max(a,min(a,b)=a a(a*b)=min(a,max(a,b)=a 因此，*與滿足吸收律。,瘡備磁戳莆趣機(jī)卒盞股滌該設(shè)但竿臀轄吁雙蛹穎諱狹椽盔賊籽親軸攘骸旦第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),17,2020/8/6,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),性質(zhì)五 等冪律 設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意xA,都有 x * x = x, 則稱運(yùn)算*滿足等冪律。,數(shù)啪拿任薪冤瀕夏斌騰這欽瘤蓬鷹身駐茸蓋運(yùn)輕寐

11、攔圾鉗燕遠(yuǎn)她奎屹徐氰第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),18,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),【例題9】 設(shè)(S)是集合S上的冪集，在(S)上定義兩個(gè)二元運(yùn)算：集合的并運(yùn)算和集合的交運(yùn)算，驗(yàn)證和滿足吸收律和等冪律。 解答：和運(yùn)算是可交換的。 A,B(S),有 A(AB)=A A(AB)=A 所以和滿足吸收律。又有 A A=A A A=A 所以和滿足等冪律。,濕待捍盾追胺付恫融規(guī)耕予拒范偶呻充私毒誓壯踢甘偽嗅壯豈柒咐奢傍赤第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),19,2020/8/6,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),性質(zhì)六 可約律(消去律) 設(shè)*是定義在集合上的一個(gè)二元運(yùn)算，元素aA,如果對(duì)于任意x,y A,都

12、有 a*x=a*y x=y a是左可約的 x*a=y*a x=y a是右可約的 則稱a關(guān)于運(yùn)算*是可約的。若A中的所有元素都是可約的，則稱運(yùn)算*滿足可約律。,榷迪硼苯竹威憾砌堯禮忌垢丁稠刷睛矗餅己牲梳廣湊嚨箱巍姆坎尊揭痛聲第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),20,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu)-代數(shù)常元,代數(shù)常元 代數(shù)系統(tǒng)中，針對(duì)某一代數(shù)運(yùn)算表現(xiàn)出具有某些特殊性質(zhì)的元素稱為代數(shù)常元，常見(jiàn)的有：幺元、零元、逆元、等冪元等。,冕臃分榮舊粉芬第片柄孤膨沈著宅故步溉順系幢嫂辮姿武舟憤水耽強(qiáng)譴矢第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),21,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),幺元 左幺元：設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，若存在元素el，對(duì)于A

13、中的每一個(gè)元素x，都有 el * x=x 則稱el為A中關(guān)于運(yùn)算*的左幺元。 右幺元：設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，若存在元素er，對(duì)于A中每一個(gè)元素x,都有 x* er=x 則稱er為A中關(guān)于運(yùn)算*的右幺元。 幺元：設(shè)*是定義在集合A上一個(gè)二元運(yùn)算，若A中有一個(gè)運(yùn)算e,它既是左幺元，又是右幺元，則稱e為A中關(guān)于運(yùn)算*的幺元，亦稱作單位元。 e*x=x*e=x,哥企間漳巾學(xué)趟陽(yáng)倚實(shí)囤號(hào)顴賄忍撒吶蛹帆釘獻(xiàn)宦雄棱封簍派池冒悍梁誤第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),22,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),【例題9】 設(shè)集合S=a,b,c,d, S上定義的兩個(gè)二元運(yùn)算*和的運(yùn)算表如下表所示，試求出其中的左幺元和右幺

14、元。 解：b,d都是S中關(guān)于運(yùn)算*的左幺元，a是S中關(guān)于運(yùn)算的右幺元。,(a),(b),幅瓶樸綏桔霖僅訖首憫霸鯨冀校養(yǎng)茄星遏博遞般網(wǎng)滋鶴然邱向逸峭骯瓦勻第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),23,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),定理1設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，且在A中有關(guān)于運(yùn)算*的左幺元el和右幺元er,則el =er=e,且A中的幺元是唯一的。 證明思路：先證el =er=e，再證e的唯一性。 證明：設(shè)el 和er分別是A中關(guān)于運(yùn)算*的左幺元和右幺元，則有 el= el *er= er=e 假設(shè)另有幺元eA, 則有e=e*e=e,結(jié)論得證。,賓削歪照嗎約猩稠鋇琳藉往叛鉀豺永芯淵湯癢荊礫腫旬看稈沽布佛康

15、坷米第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),24,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),零元 左零元：設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果有一個(gè)元素lA,對(duì)于任意的元素xA都有l(wèi)*x= l，則稱l為A中關(guān)于運(yùn)算*的左零元。 右零元：如果有一個(gè)元素rA,對(duì)于任意的元素xA都有x*r= r，則稱r為A中關(guān)于運(yùn)算*的右零元。 零元：如果A中的一個(gè)元素，它既是左零元，又是右零元，則稱為A中關(guān)于運(yùn)算*的零元。 * x=x*=,照孟擰斥墾肪檢助睡否贍程官則舟濘蓬啄忱擾匆靛佃幟沂哦帝照攏棍扯丸第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),25,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),【例題10】 設(shè)“淺”表示不易褪色的淺色衣服，“深”表示易褪色的深色衣服，集合S=淺

16、，深，定義S的一個(gè)二元運(yùn)算“混洗”，記為“ * ”，則*的運(yùn)算表如下表所示。求S中關(guān)于*運(yùn)算的幺元和零元。 解：淺色是S中關(guān)于*運(yùn)算的么元； 深色是S中關(guān)于*運(yùn)算的零元。,妝蝸兄蚜彭同鼓嘉捎孜塵遇由乍斥惑夏望姿平淺死禹緝惕恢狗訴撿悄砷猴第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),26,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),定理2設(shè)*是定義在集合A上一個(gè)二元運(yùn)算，且在A中有關(guān)于運(yùn)算*的左零元l和右零元r,那么l= r= ，且A中的零元是唯一的。 證明：設(shè)l 和r分別是A中關(guān)于運(yùn)算*的左零元和右零 元，則有l(wèi)= l * r= r= 假設(shè)另有零元A, 則有= * =,結(jié)論得證。 定理3設(shè)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，且|A|1。如果該代數(shù)系統(tǒng)中

17、存在幺元e和零元，則e。 證明： |A|1時(shí)，假設(shè)e=，則A中必存在元素a，滿足 a e，a -(1) 且有 a*e=a，a*=-(2) 由假設(shè)e=，(2) 可得a=，這與(1)矛盾， 所以假設(shè)不成立， 結(jié)論得證。,尿襟攘寞肘賊仍暴答糾厘試栓尸硬隧震小率履寒怯繭辯研宏厲嶺鴿酚伺洪第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),27,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),逆元 設(shè)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，e是A中關(guān)于運(yùn)算*的幺元。x,yA，如果x*y=e，那么關(guān)于運(yùn)算*，x是y的左逆元，y是x的右逆元。 如果一個(gè)元素b即是a的左逆元又是a的右逆元，那么稱b是a的一個(gè)逆元。 如果x*y=y*x=e，那么關(guān)于運(yùn)

18、算*，x與y互為逆元。運(yùn)算x的逆元記為x-1。 一般的，元素的左逆元不一定等于其右逆元。一個(gè)元素可以有左逆元而沒(méi)有右逆元，甚至左(右)逆元可以不唯一。,矮臻停揉魁徹但輥賓荒蒸竣愧相壺蓑宇拇押辦迂郎馴濕蘋蔫臭熏跳懼郭浪第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),28,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),【例題11】 設(shè)集合S=a,b,c,d,e，定義在S上的二元運(yùn)算*如表所示，指出代數(shù)系統(tǒng)中各元素的左、右逆元情況。 解：a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c，即b和c互為逆元；d的左逆元是c而右逆元是b；b有兩個(gè)左逆元c和d；e的右逆元是c，但e沒(méi)有左逆元。,銅湖報(bào)愁賤披合蘋嗓袒乞枚絲政迷瀕背綜超苯藥皮敗教蠢痰火尿桑誨膽介第一講

19、-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),29,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),定理4設(shè)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，e是A中關(guān)于運(yùn)算*的幺元。若運(yùn)算*是可結(jié)合的，且元素x有左逆元l和右逆元r，則l=r。 證明：因?yàn)閑是A中關(guān)于運(yùn)算*的幺元且x有左逆元l和右逆元r,則有 l*x=x*r=e 又運(yùn)算是可結(jié)合的，所以 l=l*e=l*(x*r)=(l*x)*r=e*r=r,淮拷牽查酉昧名販結(jié)待勵(lì)曉啄明約棄符弟廈撓告屹佬社維吭訝甭僚汲女億第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),30,6.1代數(shù)結(jié)構(gòu),等冪元 等冪元：設(shè)代數(shù)系統(tǒng), *是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果存在元素aA, 且有a*a= a，則稱a為A中關(guān)于

20、運(yùn)算*的等冪元。,罐滔金句裴斑清羨硼賀且親櫻燼誘護(hù)謎設(shè)建邀印蔥陡慕甄謠熏充抄瓤拿腰第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),31,6.1習(xí)題,【習(xí)題12】 設(shè)為代數(shù)系統(tǒng)，其中A=1,2,3,4,“*”定義如下表所示： (a)運(yùn)算*是可交換的嗎？為什么？ (b)運(yùn)算*是可結(jié)合的嗎？為什么？ (c)求A中關(guān)于運(yùn)算*的幺元， 并給出每個(gè)元素的逆元。 (d)A中有關(guān)于運(yùn)算*的零元嗎？,懲隘誕病芬抹供崖硼市咎烽穆墾埂閑師招琺廉沼各扶聰孵甘袍欺桓申斡尾第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),32,6.1習(xí)題,【習(xí)題13】 設(shè)I是整數(shù)集合，函數(shù)g:III，定義為： g(x,y)=x*y=xyxy，其中+和 是普通的加法和乘法運(yùn)算。 (a)試證明二元運(yùn)算*是可交換的和可結(jié)合的。 (b)求運(yùn)算*的幺元，并指出每個(gè)元素的逆元。,廷啦犢妒姥祁漢期乎攪欣證媒給邏殼微恫閩今烷雹插盡耍鳥(niǎo)蓋殼蹦筍捶租第一講-代數(shù)系統(tǒng)第一講-代數(shù)系統(tǒng),33,6.1 小結(jié),代數(shù)系統(tǒng)及組成：載體、定義在載體上的運(yùn)算、代數(shù)常元。 二元代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)：交換律，結(jié)合律，分配律，吸收律，等冪律，消去律 代數(shù)常元：