七年級數(shù)學(xué)下冊 1.7 平方差公式教案（一） 北師大版

1、1.7平方差公式（一） 本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了單項式乘法、單項式與多項式乘法及多項式乘法之后的一節(jié)課。從知識上來講，實際上不是新知識，而是上一節(jié)整式乘法的一個特例。因而可以引導(dǎo)學(xué)生在已有整式乘法知識的基礎(chǔ)上，歸納這一乘法結(jié)果的普遍性，讓學(xué)生明確這一公式來源于整式乘法。除了從代數(shù)角度來認(rèn)識這個公式之外，還要引導(dǎo)學(xué)生理解這個乘法公式的幾何背景，可以加深學(xué)生對這個乘法公式的直觀印象，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式乘法，對多項式乘法法則的形成及幾何意義有一定的了解，這對學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識有一定的幫助。相信，在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生應(yīng)該和樂意用自己已學(xué)的知識來發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，學(xué)習(xí)新的知識。這一

2、點是與新課程標(biāo)準(zhǔn)中讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成過程的要求相符的。但是對學(xué)生來說，如何從項的角度來理解平方差公式的特征，以區(qū)別與其他多項式相乘的算式會有一定的困難，再加上要學(xué)生用圖形來解釋所得的乘法公式，要求有點高，估計學(xué)生會需要老師的幫助。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在認(rèn)識發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)之上。強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探索、交流、獲得知識，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義，掌握必要的基礎(chǔ)知識與基本技能，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識和能力，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信。平方差公式第一課時教學(xué)設(shè)計說明一、教學(xué)任務(wù)分析一方面

3、由于本課內(nèi)容的特點所決定，運(yùn)用平方差公式的關(guān)鍵是認(rèn)清兩個多項式相乘是否具有(a+b)(a-b)的形式，由于兩個多項式相乘的形式復(fù)雜多變，學(xué)生較易被假象所述惑，另一方面學(xué)生初學(xué)公式只有原始的換元思想，有些同學(xué)多項式相乘還不夠熟練，我校生源不夠好. 由此，根據(jù)課標(biāo)要求，我確定本節(jié)課的目的如下：(1)知識與技能：經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展符號感和推理能力;會推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計算。(2)過程與方法：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中建立平方差公式模型，感受數(shù)學(xué)公式的意義和作用。(3)情感與態(tài)度：讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)既來源于生活實際，又是解決生活中許多問題的工具，從而促使學(xué)

4、生熱愛數(shù)學(xué).二、教學(xué)設(shè)計分析本節(jié)課的設(shè)計理念是：遵循“教學(xué)、學(xué)習(xí)、研究”同步協(xié)調(diào)的原則，重組教材，恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)情境、激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析并創(chuàng)造性地解決問題，教師為學(xué)生構(gòu)建開放的學(xué)習(xí)環(huán)境引導(dǎo)學(xué)生體驗探索、研究的過程，通過學(xué)生的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造活動，體驗“數(shù)學(xué)化”的過程，使學(xué)生在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的同時，真正經(jīng)歷知識的“生長過程”.讓學(xué)生在探究合作交流的過程中，展示思維過程，讓學(xué)生的思維全過程得到充分暴露，學(xué)生在再發(fā)現(xiàn)、再發(fā)明的過程中，思維火花發(fā)生強(qiáng)烈碰撞，數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、生成為自然的事情.第一環(huán)節(jié) 發(fā)現(xiàn)特征、探索規(guī)律，親歷建構(gòu)過程?；顒觾?nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)

5、過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應(yīng)該有幾項?合并同類項以后，積可能會是三項嗎?積可能是二項嗎?請舉出例子讓學(xué)生動腦、動筆進(jìn)行探討，并發(fā)表自己的見解，教師根據(jù)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式?為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是兩項呢?而它們的積又有什么特征?(當(dāng)乘式是兩個數(shù)之和以及這兩個數(shù)之差相乘時，積是二項式這是因為具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四個項中，會出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項，合并這兩項的結(jié)果為零，于是就剩下兩項了而它們的積等于乘式中這兩個數(shù)的平方差)學(xué)生思考后出示題目，看誰算得快：(1) (x+2)(x-2)(2

6、) (1+3a)(1-3a)(3) (x+5y)(x-5y)(4) (-m+n)(-m-n)提出問題：你們能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運(yùn)用公式進(jìn)行計算以后經(jīng)常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用語言敘述公式.總結(jié)公式結(jié)構(gòu)特征: (1) 公式左邊兩個二項式必須是相同兩數(shù)的和與差相乘；相同兩數(shù)的和與差相乘；且左邊兩括號內(nèi)的第一項相等、第二項符號相反互為相反數(shù)(式);(2) 公式右邊是這兩個數(shù)的平方差；即右邊是左

7、邊括號內(nèi)的第一項的平方減去第二項的平方. (3) 公式中的 a和b 可以代表數(shù)，也可以是代數(shù)式活動目的：在這設(shè)計過程中，我充分考慮發(fā)揮的學(xué)生主體作用。首先，這節(jié)課的主題兩數(shù)和與兩數(shù)差的積等于兩數(shù)的平方差及其特點，應(yīng)該由學(xué)生發(fā)現(xiàn)得出結(jié)論。其次，學(xué)生的活動不能停留在簡單的、機(jī)械的操作活動上，而是要立足于復(fù)雜的思維活動，學(xué)生根據(jù)公式特點，自己去尋找對象，發(fā)散性大，這樣學(xué)生的創(chuàng)造的自由度大，使得在這過程中，學(xué)生一方面要動用他全部的知識經(jīng)驗；另一方面，要運(yùn)用許多思維操作，如比較、類比、觀察、想象、分析、綜合等等。第三，教師隨著學(xué)生的思路，及時的加以引導(dǎo)，而不是把學(xué)生的思路、想法，強(qiáng)拉到自己的思路上來，這

8、也是由數(shù)學(xué)教學(xué)的特點決定的。將“兩個二項式相乘，積可能有幾項”的問題作為課題引入，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能在兩個二項式相乘其積可能為四項、三項、兩項中找出積為兩項的特征，上升到一定的理論認(rèn)識，加以實踐檢驗，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、概括的能力第二環(huán)節(jié) 運(yùn)用知識，解決問題，形成數(shù)學(xué)意識?；顒觾?nèi)容：（1）直接運(yùn)用新知，解決第一層次問題。例1計算：(2x +3 ) (2x3) (2 a +3b ) (2 a3b) （ 1 + 2a ） ( 1 2a)（2）間接運(yùn)用新知，解決第二層次問題。例2計算：(2x +3 ) (3+2x) (3b+2a) (2 a3 b) 例3計算：(-4a-1)(-4a+1

9、)活動目的：教學(xué)不僅使學(xué)生掌握在日常生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識和基本技能，還要在學(xué)生獲取知識和技能的同時，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，并使智力得到發(fā)展，能力得到培養(yǎng)。但是，知識的掌握，技能的形成，智力的開發(fā)，能力的培養(yǎng)，以及良好學(xué)風(fēng)的養(yǎng)成，必須通過一定量的練習(xí)才能實現(xiàn)。練習(xí)的設(shè)計要遵循：由易到難，由簡到繁，由基本到變式，由低級到高級的發(fā)展順序；要從數(shù)量和質(zhì)量這兩個方面去考慮，盡力做到在有限的時間里，取得最佳的練習(xí)效果，這是我們優(yōu)化課堂教學(xué)始終要追求的一個目標(biāo)。第三環(huán)節(jié) 鞏固深化，拓展思維活動內(nèi)容：例4 計算：(1)(xyz)(xyz)；(2)(abc)(abc)活動目

10、的：讓學(xué)生認(rèn)識到平方差公式中的a、b可以是單項式，也可以是多項式，在平方時，應(yīng)把單項式或多項式加括號；學(xué)會靈活運(yùn)用平方差公式。實際教學(xué)效果：(1)題中可利用整體思想，把xy看作一個整體，則此題中相同項是(xy)，相反項是z和z；(2)題中的每個因式都可利用加法交換律寫成(acb)(acb)的形式，則(ac)是相同項，相反項是b和b第四環(huán)節(jié) 感受問題、體驗探索成功?；顒觾?nèi)容：練習(xí)11(+) (-) = _2(+3) (-3) = ( ) 2( )= _3(+) (-) = ( ) 2( )= _4(-) (1+)=( ) 2( ) = _5 (2a+5b) (2a-5b) = ( ) 2( )

11、= _6 (-2b-5) (-2b+5) = ( ) 2( ) = _7 (-1+4x) (-1-4x) = ( ) 2( ) = _練習(xí)2 下列式子可用平方差公式計算嗎? 為什么? 如果能夠，怎樣計算? (1) (a+b)(-ab) ； (2) (ab)(ba) ;(3) (a+2b)(2b+a); (4) -(ab)(a+b) ;(5) (-2x+y)(y2x). 練習(xí)3 填空(1) ( x+2y) ( -x+2y) =_(2) (3m-5n)(5n+3m)=_(3) ( -1 + x) (-1- x ) = _(4) (-2b- 5) (2b -5) =_練習(xí)4 提高題（1）（m+2）(m-2)(m2+4) （2）（a+b+2）(a+b-2)活動目的：由于初學(xué)公式等原因出錯是正常現(xiàn)象，但在問題討論，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，鞏固訓(xùn)練的過程中，學(xué)生與學(xué)生積極交流，討論、思維活躍，師生的信息交流暢通，反饋評價及時，第五環(huán)節(jié) 歸納總結(jié)，形成知識網(wǎng)絡(luò)活動內(nèi)容：小結(jié)1 敘述公式（B，C組學(xué)生回答） 2公式中的字母可以代表什么？（A組學(xué)生回答）（數(shù)字、單項式、多項式） 只要習(xí)題符合平方差公式的結(jié)構(gòu)，都可應(yīng)用其計算。活動目的：鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談自己的收獲與感想。第六環(huán)節(jié) 布置作業(yè)四、教學(xué)設(shè)計反思本節(jié)課從學(xué)生練習(xí)情況上來看，學(xué)生掌握的很好。但從教學(xué)過程中來看，并沒有完全達(dá)到新課標(biāo)中所要求的應(yīng)