《誤差理論與測量平差基礎教學課件》第十九講

1、第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,以上各章所述平差方法，其參數的最優(yōu)線性無偏估計是基于觀測數據僅含偶然誤差和隨機模型正確為前提的。因此，一個完整的最優(yōu)的平差系統(tǒng)，除了采用最小二乘準則對平差參數進行最優(yōu)估計外，還要保證觀測數據的正確性和平差數學模型的精確性。后者要借助于數理統(tǒng)計的方法，對觀測數據和平差模型進行假設檢驗，這是保證平差系統(tǒng)質量的一個組成部分。,學習本章內容的目的：,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,主要內容：,隨機變量的函數分布,參數的區(qū)間估計,統(tǒng)計假設檢驗,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,我們說x服從,的正態(tài)分布,第六章 參數的

2、區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,1)、,服從標準正態(tài)分布,如果,則,為正態(tài)分布的概率為a的側分位點,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,1),服從標準正態(tài)分布,雙側分位,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,2)、如果,于是,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,2)、如果,于是，從總體x和y中抽取兩組子樣，則子樣 均值之差,

3、第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,為什么我們如此關心正態(tài)分布？,第一、在相當寬的條件下，許多獨立隨機變量之和近似服從正態(tài)分布；變量個數趨于無窮大時，其總和就趨于正態(tài)分布。 第二、實用中，正態(tài)分布作為測量誤差的數學模型可以帶來計算上的便利，并且基本上是符合實際情況的。,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,2.服從 分布的隨機變量,服從標準正態(tài)分布,如果,服從標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和。,v自由度，當v趨于無窮大時， 分 布趨于正態(tài)分布,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,2.服從 分布的隨機變量,

4、密度函數,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,1.服從 分布的隨機變量,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,2.服從 分布的隨機變量,如果,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,3.服從t分布的隨機變量,設y為N（0，1），z為,變量，y、z統(tǒng)計獨立，則,唯一參數是自由度v,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,3.服從t分布的隨機變量,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,統(tǒng)計量：設x1，x2，xn是來自總體X的一個樣本，g（ x1，x2，xn ）是x1，x2，xn的一個函數，且g中不含任何未知參數，稱g（ x1

5、，x2，xn ）是一個統(tǒng)計量。 常用的樣本方差和樣本均值都是統(tǒng)計量。,一、隨機變量的函數分布,4.抽樣分布與抽樣分布定理,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,抽樣分布：統(tǒng)計量的分布 抽樣分布定理：設x1，x2，xn是來自總體 的一個樣本， 分別是樣本均值和樣本方差，于是,一、隨機變量的函數分布,4.抽樣分布與抽樣分布定理,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,一、隨機變量的函數分布,4.抽樣分布與抽樣分布定理,獨立,和,（1）,（2）,（3）,（4）,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,1）上述幾種分布均與正態(tài)分布有關系。從定義看，其它幾種分布都是正態(tài)分布的函數。而觀測值和偶然誤差服從正態(tài)分布，所以，

6、依據抽樣分布定理，我們可以得到觀測值某些函數的分布； 2）雖然各種分布都有其原始的定義，也都有具體的分布密度函數，但從實際來講，我們更需要知道的卻是，哪些統(tǒng)計量服從這些分布，以及從分布密度表中查取相應密度值。 3)在抽樣定理中，采用測量平差符號，用L代替隨機變量x，而x代表L的真值，用中誤差m代替s。,一、隨機變量的函數分布,4.綜述,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,二、參數的區(qū)間估計,1、參數估計的概念,區(qū)間估計：根據子樣觀測值對總體參數可能取值范 圍的一種估計，即總體參數以某種給定 的概率取值于多大區(qū)間內 置信概率（置信度）：給定的概率 置信區(qū)間：根據置信度確定的區(qū)間 置信限：置信區(qū)間的

7、兩端點（子樣函數）,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,二、參數的區(qū)間估計,1、參數估計的概念,置信度,置信區(qū)間,置信限,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,二、參數的區(qū)間估計,1、參數估計的概念,1）為什么我們表示平差值及其精度時總寫成,2）極限誤差的確切含義又是什么？,3）我們可以得到的置信區(qū)間到底是誰的可能取值的范圍？,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,二、參數的區(qū)間估計,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,1）根據總體均值u和方差 來估計單一觀測量 xi的置信區(qū)間,如果,則,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,二、參數的區(qū)間估計,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,1）根據總體均值u和方差 來估計單

8、一觀測量 xi的置信區(qū)間,概率表達式,Xi的置信區(qū)間,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,二、參數的區(qū)間估計,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,2）根據觀測值xi和方差 來估計總體均值u 的置信區(qū)間,概率表達式,u的置信區(qū)間,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,二、參數的區(qū)間估計,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,3）根據樣本均值 和方差 ，估計總體均值的置信區(qū)間,設樣本均值,構造統(tǒng)計量,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,二、參數的區(qū)間估計,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,3）根據樣本均值 和方差 ，估計總體均值的置信區(qū)間,概率表達式,u的置信區(qū)間,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,二、參數的區(qū)間估計

9、,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,3）根據總體均值u 和方差 ，估計樣本均值的置信區(qū)間,概率表達式,樣本均值的置信區(qū)間,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,1、假設檢驗概述,1) 統(tǒng)計假設檢驗和參數估計一起構成數理統(tǒng)計的核心內容推斷理論,參數估計理論解決由子樣確定總體分布參數問題；統(tǒng)計假設檢驗是依據子樣來推斷某些結論的可靠性和成立的條件等。 例如，正態(tài)總體的數學期望是否等于某已知的數值，正態(tài)總體的方差是否等于已知值，兩個正態(tài)總體的方差和數學期望是否相等。,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,1、假設檢驗概述,3) 統(tǒng)計假設檢驗的方法,第一、先做一個假設，稱為原假

10、設（零假設），記為H0； 第二，構造適當且分布已知的統(tǒng)計量； 第三、根據一定的置信度，確定該統(tǒng)計量應出現的區(qū)間，用子樣值計算該統(tǒng)計量的數值； 第四、如果此數值落入置信區(qū)間內，原假設正確，接受原假設； 第五、否則，由于小概率事件一般不發(fā)生，拒絕原假設，接受備選假設,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,1、假設檢驗概述,3) 統(tǒng)計假設檢驗的方法,例如，如果從正態(tài)總體中抽取容量為n的樣本，設總體方差已知，由抽樣分布定理知,標準化,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,1、假設檢驗概述,3) 統(tǒng)計假設檢驗的方法,上式中，假設方差已知，只有數學期望u未知。我們又知，如果樣本

11、來自于正態(tài)總體，就有,問題：上述總體均值u是否等于某一特定的數值u0,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,1、假設檢驗概述,3) 統(tǒng)計假設檢驗的方法,設H0：uu0；如果原假設成立，則一定有,如果樣本均值確實滿足不等式，我們沒有理由否定原假設。否則，在一次試驗中，小概率事件就發(fā)生了，我們就只能接受備選假設。,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,1、假設檢驗概述,3) 統(tǒng)計假設檢驗的方法,單尾檢驗,雙尾檢驗,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,2、u檢驗法,設從總體 抽取容量為n的子樣，則,對總體均值 u進行檢驗。這種服從正態(tài)分布的統(tǒng)計量稱為u變量

12、，所進行的檢驗方法稱u檢驗法。,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,2、u檢驗法,檢驗過程,雙尾檢驗：原假設和備選假設,依雙尾檢驗,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,2、u檢驗法,檢驗過程,得接受域,：標準正態(tài)分布函數的雙側分位數,a：雙尾處概率之和 。 檢驗u0的數值是否落于該區(qū)間,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,2、u檢驗法,檢驗過程,單尾檢驗（左尾）：原假設和備選假設,依左尾檢驗,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,2、u檢驗法,檢驗過程,接受域,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,2、u檢驗法,檢驗過

13、程,單尾檢驗（右尾）：原假設和備選假設,依右尾檢驗,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,2、u檢驗法,檢驗過程,接受域,：標準正態(tài)分布函數的上側分位數,a：右尾處概率,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,2、u檢驗法,u檢驗要求,1）,2）方差已知,說明：要滿足上述兩個條件，均要求子樣容量很大，一般情況下，當n200時，以中誤差代替方差、以及均值滿足正態(tài)分布的假設可以認為是嚴密的，當n30時，檢驗結果近似可信。容量小于30時，采用t檢驗法,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,2、t檢驗法,作用：主要用于檢驗總體和子樣均值,統(tǒng)計量,對于u檢驗，以子樣均方差代替總體方差，構成t檢驗統(tǒng)計量。此法常用于小樣本檢驗。,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,3、例,某三角網中421個三角形閉合差的平均值0.04秒，已知閉合差的均方差為0.62秒，問該閉合差的數學期望是否為0？,解：根據已知條件,我們知道如果三角形閉合差中僅含偶然誤差，則u0，原假設和備選假設： H0：u0 ； H1：u 0,第六章 參數的區(qū)間估計和假設檢驗,三、統(tǒng)計假設檢驗,3、例,構造統(tǒng)計量,帶入