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文檔簡介

1、第七章直線和圓的方程 直線的方程、簡單的線性規(guī)劃教學(xué)建議 中關(guān)村中學(xué) 徐延,一、主要教學(xué)內(nèi)容 (一)直線 直線的傾斜角和斜率的概念及計(jì)算公式、直線的方程的幾種形式、兩條直線的位置關(guān)系;點(diǎn)到直線的距離公式等 (二)線性規(guī)劃 簡單的線性規(guī)劃、研究性學(xué)習(xí)與實(shí)習(xí)作業(yè),國家教育部數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn): 高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng),讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程,發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí),二、教學(xué)建議 這一章是解析幾何初步:自法國數(shù)學(xué)家笛卡兒、費(fèi)馬在17世紀(jì)創(chuàng)立了解析幾何以來,使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期,不僅對(duì)于數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展,而且對(duì)于科學(xué)的進(jìn)步都具有重要的深遠(yuǎn)的意義解析幾何的重要思想是

2、數(shù)形結(jié)合通過建立坐標(biāo)系,用方程表示曲線,把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,把曲線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程組實(shí)數(shù)解的問題學(xué)生通過對(duì)平面解析幾何初步知識(shí)的學(xué)習(xí),領(lǐng)悟坐標(biāo)思想和數(shù)形結(jié)合思想,初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力,同時(shí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線、向量、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用打下基礎(chǔ),在教學(xué)活動(dòng)開始之前要制訂教學(xué)工作計(jì)劃, 即教學(xué)設(shè)計(jì)你希望你的學(xué)生去哪里(目標(biāo)) 你的學(xué)生現(xiàn)在在哪里(起點(diǎn)) 怎么到那去(過程) 是否到達(dá)了(目標(biāo)是否達(dá)成),關(guān)于直線(初中所學(xué)) 一次函數(shù)的圖象: 一次函數(shù)的圖象是經(jīng)過點(diǎn) 和點(diǎn) 兩點(diǎn)的一條直線,一次函數(shù)的性質(zhì): (1)在一次函數(shù)中,若k的值相同,而對(duì)于b的不同值,對(duì)應(yīng)的圖象是互相平行的直

3、線 (2)當(dāng) 時(shí):直線呈現(xiàn)出“左低右高”的變化趨勢,說明這個(gè)函數(shù)的自變量增大時(shí),因變量也隨之增大;當(dāng) 時(shí):直線呈現(xiàn)出“左高右低”的變化趨勢,說明這個(gè)函數(shù)的自變量增大時(shí),因變量隨之而減小,一次函數(shù)的應(yīng)用: 例題: 比較兩種移動(dòng)電話的收費(fèi)方法(在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖象,觀察圖象:兩圖象的交點(diǎn)處有相同的縱坐標(biāo)得出此處收費(fèi)相同、之前之后的收費(fèi)高低),在“探究與應(yīng)用”中 通過給出一個(gè)具體的二元一次方程,提出問題:(1)可否把y看成關(guān)于x的一次函數(shù)?如果可看,那么一個(gè)二元一次方程也可以對(duì)應(yīng)于直角坐標(biāo)系上的一條直線 (2)按此思路,直角坐標(biāo)系上的兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)有怎樣的意義? (3)具此,可否用

4、畫圖象的方法解二元一次方程組?_選自北京教育科學(xué)研究院 北京出版社 合編北京市義務(wù)教育課程改革實(shí)驗(yàn)教材數(shù)學(xué),這一章從方程的角度研究直線,運(yùn)用代數(shù)的方法研究直線的特征主要內(nèi)容包括:確定直線的幾何要素,直線的傾斜角和斜率的概念及計(jì)算公式,直線方程的幾種形式,判定兩條直線平行或垂直,兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)到直線的距離公式等,課本從一個(gè)具體的一次函數(shù)與它的圖象人手,引入直線的方程和方程的直線概念(只需學(xué)生對(duì)此有一個(gè)初步的了解,為今后學(xué)習(xí)曲線和方程的概念作準(zhǔn)備),為了建立直線的方程,首先引入直線的傾斜角和斜率的概念: 概念的引入要展示知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展的過程,經(jīng)歷從特殊到一般的抽象過程直線斜率的定義是體現(xiàn)

5、幾何問題與代數(shù)問題轉(zhuǎn)化的范例,滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想要引導(dǎo)學(xué)生探索和經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線傾斜程度的過程,引導(dǎo)學(xué)生通過初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì),如用 等來探索如何刻畫直線的方向?,不論用什么樣的教學(xué)方式定義斜率都要注意與學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)聯(lián)系,讓學(xué)生有一個(gè)探究的過程,在研究過程中領(lǐng)悟斜率的概念,不要將此概念直接灌給學(xué)生,關(guān)于過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式要注意: 傾斜角和斜率都是反映直線相對(duì)于x軸正方向的傾斜程度的傾斜角是直接反映這種傾斜程度的,斜率是傾斜角的正切值. 通過過兩點(diǎn)的直線的斜率公式,把斜率坐標(biāo)化,所以在解析幾何中,研究直線時(shí),使用斜率常常比使用傾斜角更方便因此,它是研究直線問

6、題的重要工具,也是學(xué)好本章的關(guān)鍵,應(yīng)用斜率公式求直線的斜率時(shí),在直線上任取兩點(diǎn)其結(jié)果都相同,不會(huì)因在直線上所取兩點(diǎn)的變化而變化; 也可以將 表示成 ,這不僅與今后學(xué)習(xí)極限導(dǎo)數(shù)中的增量所采用的符號(hào)相一致,而且形式簡單,便于記憶;,當(dāng)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)不同時(shí),直線的斜率不存在;當(dāng)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)不同時(shí),直線的斜率為0; 仍然要強(qiáng)調(diào)當(dāng) 時(shí), 不是單調(diào)遞增的;,在后繼學(xué)習(xí)中應(yīng)適當(dāng)滲透利用斜率的意義來解決一些代數(shù)問題,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,,課本介紹了直線的方向向量及與直線的斜率之間的關(guān)系,為后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊,直線的方程: 介紹了直線方程的幾種重要形式:點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式,簡單介紹了斜截

7、式、截距式,點(diǎn)斜式是基本的直線方程,建立點(diǎn)斜式的主要依據(jù)是:過直線上一個(gè)定點(diǎn)和這條直線上任意一點(diǎn)的直線是唯一的(導(dǎo)出直線點(diǎn)斜式方程的方法實(shí)質(zhì)上是后繼課程中要學(xué)習(xí)的求曲線方程的一般方法,在此不必延伸到求曲線方程的一般步驟和方法上,但應(yīng)使學(xué)生理解這一基本方法);,在推導(dǎo)直線點(diǎn)斜式方程的過程中應(yīng)明確方程變形所表示的幾何意義,在設(shè)直線 上除 點(diǎn)外的任一點(diǎn)為 后,則方程 所表示的是直線上除去點(diǎn) 外的其他點(diǎn),而方程 所表示的點(diǎn)不僅包括點(diǎn) , 而且還包括點(diǎn) 因此方程 才表示整條直線反之若點(diǎn) 滿足方程 ,當(dāng)點(diǎn) 不與 點(diǎn)重合時(shí),則 ,它表示 與 兩點(diǎn)連線的斜率為 ,即點(diǎn) P在直線 上;當(dāng)點(diǎn) 與 重合時(shí),顯然該點(diǎn)

8、也在直線 上因此,過點(diǎn) 且斜率為 的直線的方程為:,直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式、截距式都是點(diǎn)斜式直接應(yīng)用得出的它們都有適用條件,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析適用條件產(chǎn)生的原因 通過直線方程的斜截式與初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù) 的關(guān)系,溝通方程與函數(shù)的聯(lián)系,通過直線方程的一般式與直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式之間的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生理解,它們都是關(guān)于的二元一次方程,進(jìn)一步研究直線和二元一次方程的關(guān)系使學(xué)生對(duì)曲線和方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系有一個(gè)初步了解,為繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線和方程”打下基礎(chǔ),在直線方程的幾種形式學(xué)習(xí)完后,可以進(jìn)行列表歸納總結(jié),兩條直線的位置關(guān)系: ()兩條直線平行、垂直 在進(jìn)行兩條直線的位置關(guān)系的教學(xué)中,仍然從

9、學(xué)生已有的知識(shí)人手,即初中所學(xué)平面幾何中的兩條直線的關(guān)系,而在這里,我們將要運(yùn)用解析幾何的思想和方法,通過研究直線方程來判斷直線的位置關(guān)系,把初中幾何中兩條直線平行的判定和性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的語言,用傾斜角、斜率、截距來重新刻劃有關(guān)條件也可以利用現(xiàn)代教育技術(shù),通過改變兩直線方程的系數(shù),得出不同情況下直線的位置關(guān)系的展示而得到,從而讓學(xué)生經(jīng)歷操作、體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、感悟的過程; 啟發(fā)學(xué)生討論一條直線沒有斜率時(shí),怎樣通過方程研究它與其它直線是否平行,同樣可由學(xué)生自主學(xué)習(xí)兩條直線垂直的充要條件如先給出幾組直線方程 與 ; 與 讓學(xué)生畫圖觀察每一組直線之間的關(guān)系;反之再請(qǐng)學(xué)生畫出兩條互相垂直且交于坐標(biāo)原

10、點(diǎn)的直線,并研究它們的方程特點(diǎn)進(jìn)而利用兩個(gè)向量互相垂直研究一般情況,教學(xué)中注意創(chuàng)設(shè)出學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)和探索的問題情景,教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)由學(xué)生自主探究、合作交流的理念,使學(xué)生在探究過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法,()兩條直線的夾角: 用解析幾何方法研究角的問題對(duì)學(xué)生而言相對(duì)困難,因?yàn)樵趦蓷l直線不互相垂直時(shí)有兩個(gè)大小不同的角:()講清夾角與到角的定義;()講到角公式時(shí),必需考慮兩種情況.提醒學(xué)生注意:夾角與到角的區(qū)別和聯(lián)系,()兩條直線的交點(diǎn) 通過交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法即轉(zhuǎn)化為二元一次方程組解的問題的分析,滲透解析幾何的基本思想,(4)點(diǎn)到直線的距離: 是解析幾何中研究一些問題的重要工具,教科書是借助直角三角形的面

11、積公式推導(dǎo)出的 由于解析幾何中解決問題的途徑的尋找,是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)也是重點(diǎn)因此,建議在講授這個(gè)公式時(shí),不妨給出已知條件,讓學(xué)生自主探索推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式,目的: (1)讓學(xué)生在探索過程中深刻地領(lǐng)悟到蘊(yùn)涵于公式推導(dǎo)中的重要的數(shù)學(xué)思想和方法,學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合、化歸思想和分類方法,由淺入深,由特殊到一般地研究數(shù)學(xué)問題,體會(huì)解析幾何解題的真諦; (2)使學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅,增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)品質(zhì),幾種推導(dǎo)方法: 設(shè)直線 的方程為 (先假設(shè) ,求點(diǎn) 到 直線的距離,思路一: 過 P作 于點(diǎn)Q,根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線PQ的方程,由PQ與 聯(lián)立方程組,解得點(diǎn)Q坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)距離公式求得,

12、思路二:在直角PQR,或直角PQS中,求邊長與角(角與直線傾斜角有關(guān),分銳角鈍角討論),用正弦值 思路三:在直角PQR,或直角PQS中,求邊長與角(角與直線傾斜角有關(guān),分銳角鈍角討論),用余弦值,思路四:在直角PRS中,求線段PR、PS、RS,利用等面積法(不涉及角和分情況),求得線段PQ長,思路五:運(yùn)用向量工具 已知直線 的法向量 設(shè) ,則 , 因?yàn)橹本€的方向向量 , 則法向量為 ,或 或其它.取 =,由于點(diǎn)Q在直線上,所以滿足直線方程 , 解得,思路六:運(yùn)用向量的數(shù)量積推導(dǎo): 由于直線 的法向量 = , 與y軸的交點(diǎn)為 因此,向量是新教材內(nèi)容,是一種很好的數(shù)學(xué)工具,和解析幾何結(jié)合應(yīng)用是現(xiàn)在

13、新教材知識(shí)的交匯點(diǎn)要讓學(xué)生體會(huì)到向量工具的巨大作用,同時(shí),也溝通了數(shù)學(xué)各章節(jié)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,在推導(dǎo)兩條平行直線間距離時(shí),同樣應(yīng)讓學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn),()幾個(gè)常用的結(jié)論,(7)新視角 新課標(biāo):在平面解析幾何初步的教學(xué)中,教師應(yīng)幫助學(xué)生經(jīng)歷如下的過程:首先將幾何問題代數(shù)化,用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系,進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;處理代數(shù)問題;分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義,不斷幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法,簡單的線性規(guī)劃 關(guān)于線性規(guī)劃 線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分支它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法.在經(jīng)濟(jì)管理、交通運(yùn)輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中,提高

14、經(jīng)濟(jì)效果是人們不可缺少的要求,而提高經(jīng)濟(jì)效果一般通過兩種途徑:一是技術(shù)方面的改進(jìn),例如改善生產(chǎn)工藝,使用新設(shè)備和新型原材料二是生產(chǎn)組織與計(jì)劃的改進(jìn),即合理安排人力、物力資源線性規(guī)劃所研究的是:在一定條件下,合理安排人力、物力等資源,使經(jīng)濟(jì)效果達(dá)到最好,線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型的一般形式: (1)列出約束條件及目標(biāo)函數(shù) (2)畫出約束條件所表示的可行域 (3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,知識(shí)背景 它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了不等式和直線方程的基礎(chǔ)上,介紹二元一次不等式的一個(gè)簡單的應(yīng)用 不等式有著豐富的實(shí)際背景,二元不等式是刻畫區(qū)域的重要工具,而刻畫區(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的一個(gè)基本步驟,主要教學(xué)內(nèi)容 (1)二

15、元一次不等式(組)與平面區(qū)域的關(guān)系討論; (2)簡單的線形規(guī)劃問題,教學(xué)建議 (1)要上好第一節(jié)課,這節(jié)課的內(nèi)容是全新的,需要從簡單入手,逐漸深入,漸進(jìn)式展開它是本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn),在教材中起承上啟下的作用,對(duì)這一節(jié)課內(nèi)容的掌握直接影響著線性規(guī)劃問題中可行域的應(yīng)用,(2)線性規(guī)劃 從實(shí)際問題中抽象出線性規(guī)劃模型:教學(xué)時(shí),先呈現(xiàn)實(shí)際問題,如生產(chǎn)安排問題、資金分配問題、人力調(diào)配問題、資源利用問題等;再分析實(shí)際問題的已知條件和求解目標(biāo),將實(shí)際問題化歸為“在線形約束條件求線形目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值”問題,即線性規(guī)劃問題;然后用圖解法解決實(shí)際問題;最后總結(jié)解決實(shí)際問題的過程,引出與線性規(guī)劃相關(guān)的基本概念,

16、從實(shí)例分析中概括出求線形目標(biāo)函數(shù) 最大值或最小值的求解程序: ()作可行域,(即作出線形約束條件(二元一次不等式組)表示的平面區(qū)域); ()作直線 ; ()找最優(yōu)解,(即平移直線 ,依可行域判斷取得最優(yōu)解的點(diǎn),然后解相關(guān)方程組,求出最優(yōu)解; ()得出結(jié)論,(即將最優(yōu)解的值代入線形目標(biāo)函數(shù) ,得到需求的最大值或最小值,通過對(duì)具體問題的詳盡分析,幫助學(xué)生理解圖解法求解線性規(guī)劃問題的求解原理,即幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)線形目標(biāo)函數(shù)值的變化規(guī)律在此應(yīng)加強(qiáng)直觀教學(xué),建立起線形目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,如求線形目標(biāo)函數(shù) 在某個(gè)線形約束條件下的最大值時(shí),將 變形為 (化成直線的斜截式),于是Z的最大值與 的縱截距 的最大值聯(lián)系起來顯然當(dāng)縱截距 最大時(shí), 取得最大值,且在該線形約束條件確定的平面區(qū)域內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 都唯一確定縱截距 當(dāng) 變化時(shí), 表示一組與直線 平行的直線,在觀察中使學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線 經(jīng)過可行域內(nèi)哪一個(gè)點(diǎn) 時(shí),縱截距 最大,教學(xué)時(shí),可先研究z=ax+by+c,b0的情形,再研究b0的情形.,適度的變式訓(xùn)練對(duì)形成解題技能是十分有效的,(2)求 的最大值與最小值 表示點(diǎn) 與平 面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn) 連線的斜率的一半, 所以,要注意強(qiáng)化圖解法的操作程序,4. 解法1 設(shè)直線 的點(diǎn)斜式方程,分別與兩條已知直線方程聯(lián)立方程組,求出由 表示的

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