命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

1、第二節(jié) 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件,【知識梳理】 1.必會知識教材回扣填一填 (1)命題: 用語言、符號或式子表達(dá)的,可以_的陳述句叫做命題.其中 _的語句叫做真命題,_的語句叫做假命題.,判斷真假,判斷為真,判斷為假,(2)四種命題及其相互關(guān)系:,(3)充要條件:,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,2.必備結(jié)論教材提煉記一記 (1)四種命題中的等價關(guān)系: 原命題等價于_,否命題等價于_,在四種形式的命題 中真命題的個數(shù)只能是0或2或4. (2)等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件: p是q的充分不必要條件,等價于q是p的_條件.其他 情況依次類推.,逆否命題,逆命

2、題,充分不必要,(3)用集合的關(guān)系判斷充分條件、必要條件:,AB,BA,A B,B A,A=B,3.必用技法核心總結(jié)看一看 (1)常用方法:充分條件、必要條件的判斷方法:定義法、集合法、等價轉(zhuǎn)化法. (2)數(shù)學(xué)思想:化歸與轉(zhuǎn)化思想. (3)記憶口訣:真假能判是命題,條件結(jié)論很清楚. 命題形式有四種,分成兩雙同真假. 若p則q真命題,p是q充分條件, q是p必要條件,原逆皆真稱充要.,【小題快練】 1.思考辨析靜心思考判一判 (1)語句x2-3x+2=0是命題.() (2)一個命題的逆命題與否命題,它們的真假沒有關(guān)系.() (3)命題“如果p不成立,則q不成立”等價于“如果q成立,則p成立”.(

3、) (4)“p是q的充分不必要條件”與“p的充分不必要條件是q”表達(dá)的意義相同.(),【解析】(1)錯誤.無法判斷真假,故不是命題. (2)錯誤.一個命題的逆命題與否命題是互為逆否命題,它們的真假性 相同. (3)正確.一個命題與其逆否命題等價. (4)錯誤.“p是q的充分不必要條件”即為“pq且q p”,“p的充 分不必要條件是q”即為“qp且p q”. 答案:(1)(2)(3)(4),2.教材改編鏈接教材練一練 (1)(選修1-1P8T2(1)改編)命題“若a,b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆否命題為. 【解析】“a,b都是偶數(shù)”的否定為“a,b不都是偶數(shù),”“a+b是偶數(shù)”的否定為“a+

4、b不是偶數(shù)”,故其逆否命題為“若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是偶數(shù)”. 答案:若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是偶數(shù),(2)(選修1-1P10T3(2)改編)“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的 條件. 【解析】x=a(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立,因此“(x-a)(x-b) =0”是“x=a”的必要不充分條件. 答案:必要不充分,3.真題小試感悟考題試一試 (1)(2014北京高考)設(shè)a,b是實數(shù),則“ab”是“a2b2”的() A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題提示】驗證充分性與必要性. 【解析】選D.“ab”推不出

5、“a2b2”, 例如,2-3,但4b2”也推不出“ab”, 例如,94,但-32.,(2)(2014浙江高考)設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC,BD,則“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 【解析】選A.“四邊形ABCD為菱形”“ACBD”,“ACBD”推不出“四邊形ABCD為菱形”,所以“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的充分不必要條件.,(3)(2015焦作模擬)已知命題:如果x3,那么x5;命題:如果x3,那么x5;命題:如果x5,那么x3.關(guān)于這三個命題之間的關(guān)系.下列三種說法正確的是() 命

6、題是命題的否命題,且命題是命題的逆命題; 命題是命題的逆命題,且命題是命題的否命題; 命題是命題的否命題,且命題是命題的逆否命題. A.B.C.D.,【解析】選A.本題考查命題的四種形式,逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換,否命題是把原命題的條件和結(jié)論都加以否定,逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定然后互換所得,故正確,錯誤,正確,選A.,考點1四種命題及其真假判斷 【典例1】(1)已知命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函數(shù),則m1”,則下列結(jié)論正確的是() A.否命題是“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+)上是減函數(shù),則m1”是真命題 B.逆命題是“若m1,則函數(shù)f(x

7、)=ex-mx在(0,+)上是增函數(shù)”是假命題,C.逆否命題是“若m1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+)上是減函數(shù)”是真命題 D.逆否命題是“若m1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增函數(shù)”是真命題,(2)(2014陜西高考)原命題為“若 nN+,則an為遞 減數(shù)列”,關(guān)于其逆命題,否命題,逆否命題真假性的判斷依次如下, 正確的是() A.真,真,真B.假,假,真 C.真,真,假D.假,假,假,【解題提示】(1)先判斷否命題,逆命題、逆否命題是否正確,再判斷其真假. (2)寫出逆命題,利用原命題與逆否命題,逆命題與否命題等價來判斷.,【規(guī)范解答】(1)選D.f(x)=ex-m

8、,由f(x)在(0,+)上是增函數(shù)知f(x)0,即mex在x(0,+)上恒成立,又ex1,從而m1,則原命題是真命題.對于A,否命題寫錯,故A錯;對于B,逆命題寫對,但逆命題是真命題,故B錯;對于C,逆否命題寫錯,故C錯;對于D.逆否命題寫對,且為真命題,故選D. (2)選A.由已知條件可以判斷原命題為真,所以它的逆否命題也是真;而它的逆命題為真,所以它的否命題亦為真,故選A.,【易錯警示】解答本例題(1)有兩點容易出錯: (1)根據(jù)f(x)是增函數(shù)求錯m的取值范圍. (2)把“f(x)是增函數(shù)”的否定錯誤地認(rèn)為是“f(x)是減函數(shù)”.,【規(guī)律方法】 1.書寫否命題和逆否命題的關(guān)注點 (1)一

9、些常見詞語及其否定表示:,(2)構(gòu)造否命題和逆否命題的方法、注意點: 方法:首先要把條件和結(jié)論分清楚,其次把其中的關(guān)鍵詞搞清楚. 注意點:注意其中易混的關(guān)鍵詞,如“都不是”和“不都是”,其中“都不是”是指的一個也不是,“不都是”指的是其中有些不是. 2.命題真假的判斷方法 (1)聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進(jìn)行正面直接判斷. (2)利用原命題與逆否命題,逆命題與否命題的等價關(guān)系進(jìn)行判斷.,【變式訓(xùn)練】命題“若f(x)是奇函數(shù),則f(-x)是奇函數(shù)”的否命題是() A.若f(x)是偶函數(shù),則f(-x)是偶函數(shù) B.若f(x)不是奇函數(shù),則f(-x)不是奇函數(shù) C.若f(-x)是奇函數(shù),則f(x

10、)是奇函數(shù) D.若f(-x)不是奇函數(shù),則f(x)不是奇函數(shù),【解析】選B.條件的否定是“f(x)不是奇函數(shù)”,結(jié)論的否定是“f(-x)不是奇函數(shù)”,故該命題的否命題是“若f(x)不是奇函數(shù),則f(-x)不是奇函數(shù)”.,【加固訓(xùn)練】1.命題“若= ,則tan=1”的逆否命題是() A.若 ,則tan1B.若= ,則tan1 C.若tan1,則 D.若tan1,則= 【解析】選C.原命題的逆否命題是“若tan1,則 ”, 故選C.,2.關(guān)于命題“若拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,則x|ax2+bx+c0 ”的逆命題、否命題、逆否命題的真假性,下列結(jié)論成立的是 () A.都真B.都假 C.否

11、命題真D.逆否命題真 【解析】選D.原命題為真命題,則其逆否命題為真命題.,考點2充分條件、必要條件的判斷 知考情 充分條件、必要條件的判斷是高考命題的熱點,常以選擇題的形式出現(xiàn),作為一個重要載體,考查的知識面很廣,幾乎涉及數(shù)學(xué)知識的各個方面,如函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、平面向量、解析幾何、立體幾何等知識.,明角度 命題角度1:定義法判斷充分條件、必要條件 【典例2】(2014湖北高考)設(shè)U為全集,A,B是集合,則“存在集合C使得AC,BUC”是“AB=”的() A.充分而不必要的條件 B.必要而不充分的條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要的條件,【解題提示】考查集合與集合的關(guān)系、充分條件與

12、必要條件的判斷. 【規(guī)范解答】選C.依題意,若AC,則UCUA,當(dāng)BUC,可得AB=;若AB=,不妨令C=A,顯然滿足AC,BUC,故滿足條件的集合C是存在的.,命題角度2:集合法判斷充分條件、必要條件 【典例3】(2014安徽高考)“x0”是“l(fā)n(x+1)0”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題提示】分清條件和結(jié)論,根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷. 【解析】選B.由ln(x+1)0,得0x+11,即-1x0, 由于x|-1x0 x|x0, 故“x0”是“l(fā)n(x+1)0”的必要不充分條件.,命題角度3:等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、

13、必要條件 【典例4】(2013山東高考)給定兩個命題p,q.若p是q的必要而不充分條件,則p是q的() A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,【解題提示】借助原命題與逆否命題等價判斷. 【規(guī)范解答】選A.因為p是q的必要不充分條件,則qp但p q,其逆否命題為pq但q p,所以p是q的充分不必要條件.,悟技法 充要條件的三種判斷方法 (1)定義法:根據(jù)pq,qp進(jìn)行判斷. (2)集合法:根據(jù)p,q成立的對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷. (3)等價轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個方法特別適合以否定

14、形式給出的問題,如“xy1”是“x1或y1”的何種條件,即可轉(zhuǎn)化為判斷“x=1且y=1”是“xy=1”的何種條件.,通一類 1.(2014新課標(biāo)全國卷)函數(shù)f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)存在,若p:f(x0)=0;q:x=x0是f(x)的極值點,則() A.p是q的充分必要條件 B.p是q的充分條件,但不是q的必要條件 C.p是q的必要條件,但不是q的充分條件 D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件,【解析】選C.因為若f(x0)=0,則x0不一定是極值點, 所以命題p不是q的充分條件; 因為若x0是極值點,則f(x0)=0,所以命題p是q的必要條件.,2.(2013湖南高考)“1x2”是“x

15、2”成立的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選A.因為集合(1,2)是集合(-,2)的真子集,所以“1x2”是“x2”成立的充分不必要條件,故選A.,3.(2013上海高考)錢大姐常說“便宜沒好貨”,她這句話的意思是:“不便宜”是“好貨”的() A.充分條件 B.必要條件 C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件 【解析】選B.“便宜沒好貨”等價于“好貨不便宜”,故選B.,考點3充分條件、必要條件的應(yīng)用 【典例5】(1)函數(shù)f(x)= 有且只有一個零點的充分不 必要條件是() A.a1 (2)設(shè)條件p:2x2-3x+10;條件q

16、:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是 q的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是.,【解題提示】(1)先找出充要條件,再根據(jù)集合之間的關(guān)系確定答案. (2)先解不等式把條件p,q具體化,再由互為逆否命題的等價性確定p,q之間的關(guān)系,最后根據(jù)集合間的關(guān)系列不等式組求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.因為函數(shù)f(x)過點(1,0),所以函數(shù)f(x)有且只 有一個零點函數(shù)y=-2x+a(x0)沒有零點函數(shù)y=2x(x0)與直線 y=a無公共點.由數(shù)形結(jié)合,可得a0或a1. 觀察選項,根據(jù)集合間關(guān)系a|a1,故選A.,(2)由2x2-3x+10得 x1, 由x2-(2a+1)x+a(a+1)0得a

17、xa+1. 由p是q的必要不充分條件知,p是q的充分不必要條件,則有 x| x1 x|axa+1, 所以 解得0a . 答案:0, ,【規(guī)律方法】 1.與充要條件有關(guān)的參數(shù)問題的求解方法 解決此類問題一般是根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,并由此列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解. 提醒:求解時要注意區(qū)間端點值的檢驗.,2.充要條件的證明方法 在解答題中證明一個論斷是另一個論斷的充要條件時,其基本方法是分“充分性”和“必要性”兩個方面進(jìn)行證明.這類試題一般有兩種設(shè)置格式. (1)證明:A成立是B成立的充要條件,其中充分性是AB,必要性是BA. (2)證明:A成立的充要條件是B,此時的條件是B,故

18、充分性是BA,必要性是AB.,提醒:在分充分性與必要性分別進(jìn)行證明的試題中,需要分清命題的條件是什么,結(jié)論是什么;在一些問題中充分性和必要性可以同時進(jìn)行證明,即用等價轉(zhuǎn)化法進(jìn)行推理證明.,【變式訓(xùn)練】已知P=x|x2-8x-200,S=x|1-mx1+m. (1)是否存在實數(shù)m,使xP是xS的充要條件,若存在,求出m的取值范圍. (2)是否存在實數(shù)m,使xP是xS的必要條件,若存在,求出m的取值范圍.,【解析】由x2-8x-200得-2x10, 所以P=x|-2x10, (1)因為xP是xS的充要條件,所以P=S, 所以 所以 這樣的m不存在. (2)由題意xP是xS的必要條件,則SP, 當(dāng)S=時,1-m1+m,解得m0,當(dāng)S時,由題意可得 所以m3. 綜上,可知m3時,xP是xS的必要條件.,【加固訓(xùn)練】1.若“x21”是“x1得x1或x1或x-1, 所以a-1,從而a的最大值為-1. 答案:-1,2.已