高中數(shù)學(xué)第一章不等關(guān)系與基本不等式1.2.1絕對(duì)值不等式課件北師大版選修4-5.ppt

1、2含有絕對(duì)值的不等式,2.1絕對(duì)值不等式,1.實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的概念 (2)|a|的幾何意義:|a|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離. (3)兩個(gè)重要性質(zhì): ()|ab|=|a|b|; |a|b|a2b2.,(4)|x-a|的幾何意義:數(shù)軸上實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離,或數(shù)軸上表示x-a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離. (5)|x+a|的幾何意義:數(shù)軸上實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)-a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離,或數(shù)軸上表示x+a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離. 2.絕對(duì)值不等式定理 (1)定理:對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b,有|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立. (2)定理的另一種形式:對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b,有|a-

2、b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立.,名師點(diǎn)撥 絕對(duì)值不等式定理的完整形式: |a|-|b|ab|a|+|b|. 其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的條件是ab0,且|a|b|; (2)|a+b|=|a|+|b|成立的條件是ab0; (3)|a-b|=|a|-|b|成立的條件是ab0,且|a|b|; (4)|a-b|=|a|+|b|成立的條件是ab0.,【做一做】 若|lg ab|=|lg a|+|lg b|成立,則實(shí)數(shù)a,b滿足的條件可以是() A.ab1B.01 解析:由已知得|lg a+lg b|=|lg a|+|lg b|, 所以lg alg b0, 因此a1且b1或

3、0a1且0b1. 答案:C,思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)|a+b|a|+|b|中,等號(hào)成立的條件是a,b同號(hào).() (2)|a-b|=|a|+|b|成立的條件是ab0.() (3)數(shù)軸上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和都大于這兩點(diǎn)間的距離.() (4)形如|x-a|+|x-b|的代數(shù)式只有最小值沒(méi)有最大值.() 答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思維辨析,【例1】 若|a-c|a|-|c|D.|b|0,|b|=b. 因?yàn)閨a|-|c|a-c|,所以|a|-|c|b|,即選項(xiàng)C正確,這時(shí)|a|b|+|c|,即選項(xiàng)A正確. 又|c

4、|-|a|a-c|,所以|c|-|a|b|,故|c|b|+|a|,即選項(xiàng)B正確;由選項(xiàng)A成立知選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟 判斷絕對(duì)值不等式是否成立的技巧. (1)注意對(duì)影響不等號(hào)的因素進(jìn)行分析,如一個(gè)數(shù)(或式子)的正、負(fù)、零等,數(shù)(或式子)的積、平方、取倒數(shù)等都對(duì)不等號(hào)產(chǎn)生影響,注意考查這些因素在不等式中的作用. (2)如果對(duì)不等式不能直接判斷,可以對(duì)不等式化簡(jiǎn)整理或變形后再利用絕對(duì)值不等式進(jìn)行判斷. (3)注意不等式性質(zhì)尤其是傳遞性的正確應(yīng)用.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1已知實(shí)數(shù)a,b滿足ab|a-b|B.|a+b|a-b| C.|a

5、-b|a|-|b|D.|a-b|a|+|b| 解析:因?yàn)閍b0,所以|a-b|=|a|+|b|. 又|a+b|a|+|b|,所以|a+b|a-b|. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思維辨析,【例2】求解下列各題: (1)求函數(shù)f(x)=|x-4|-|x+2|的最大值和最小值. (2)若函數(shù)f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值等于5,求實(shí)數(shù)a的值. 分析(1)利用絕對(duì)值不等式求解,注意等號(hào)成立的條件;(2)先用a表示函數(shù)的最小值,再求得實(shí)數(shù)a的值. 解(1)由絕對(duì)值不等式可得|x-4|-|x+2|(x-4)-(x+2)|,即|x-4|-|x+2|6,所以-6|x-4|-|x+2|6,故函

6、數(shù)f(x)的最小值是-6,最大值是6. (2)由絕對(duì)值不等式可得|(x-a)-(x-1)|x-a|+|x-1|,即|x-a|+|x-1|1-a|,因此函數(shù)f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值為|1-a|,于是|1-a|=5,解得a=-4或a=6.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟 利用絕對(duì)值不等式求最值的技巧 (1)絕對(duì)值不等式定理反映了絕對(duì)值之間的關(guān)系,形如y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型的函數(shù)的最值,均可利用絕對(duì)值不等式或其幾何意義進(jìn)行求解. (2)一般地,函數(shù)y=|x-a|+|x-b|有最小值|a-b|,無(wú)最大值;函數(shù)y=|x-a|-|x-b|的最大

7、值為|a-b|,最小值為-|a-b|. (3)求最值時(shí),還應(yīng)注意等號(hào)成立的條件.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-4|的最小值等于. (2)若|x-2|-|x-3|m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 解析:(1)f(x)=|2x+1|+|2x-4|(2x+1)-(2x-4)|=5,所以函數(shù)的最小值為5. (2)因?yàn)楹瘮?shù)y=|x-2|-|x-3|的最小值為-1,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-,-1). 答案:(1)5(2)(-,-1),探究一,探究二,探究三,思維辨析,分析將欲證不等式左邊進(jìn)行變形,重新組合,與已知條件相對(duì)應(yīng),再利用絕對(duì)值不等式證明

8、. 證明|(A+B+C)-(a+b+c)| =|(A-a)+(B-b)+(C-c)| |A-a|+|B-b|+|C-c| 故原不等式|(A+B+C)-(a+b+c)|s成立.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟 利用絕對(duì)值不等式證明的技巧 (1)含絕對(duì)值不等式的證明一般可通過(guò)平方法、換元法去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明,或利用絕對(duì)值不等式|a|-|b|ab|a|+|b|,通過(guò)適當(dāng)?shù)奶眄?xiàng)、拆項(xiàng)證明. (2)注意與不等式的性質(zhì)及證明不等式其他方法的結(jié)合.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3已知|x-a|,|y-b|,求證:|x+3y-a-3b|4. 證明|x+3y-a-3b|

9、=|(x-a)+3(y-b)| |x-a|+|3(y-b)| =|x-a|+3|y-b|+3=4, 故原不等式成立.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,對(duì)題意理解不清致誤 【典例】 若關(guān)于x的不等式|x+5|+|x+7|a的解集不是R,則參數(shù)a的取值范圍是. 錯(cuò)解依題意,a(|x+5|+|x+7|)min,而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a2. 正解若關(guān)于x的不等式|x+5|+|x+7|a的解集是R,即該不等式恒成立,因此a(|x+5|+|x+7|)min,而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a2,故要使不等式的解集不是R,參數(shù)a的取值范圍是2,+). 糾錯(cuò)心得 本題錯(cuò)誤在

10、于對(duì)“解集不是R”的意義理解不清導(dǎo)致的,事實(shí)上,可以利用補(bǔ)集思想解決這個(gè)問(wèn)題,即先求出使不等式解集為R的a的取值范圍,再取其補(bǔ)集解得所求.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練若關(guān)于x的不等式|x+5|-|x-3|a有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 解析:因?yàn)閨x+5|-|x-3|的最大值等于8,所以當(dāng)a8時(shí),不等式|x+5|-|x-3|a無(wú)解,從而當(dāng)不等式有解時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,8). 答案:(-,8),1,2,3,4,5,1.若|a+b|a|+|b|,則必有() A.ab0 B.ab0C.ab0D.ab0 解析:因?yàn)閨a+b|a|+|b|,又|a+b|a|+|b|,所以|a+b|=|a|+|b|,因此必有ab0. 答案:B,1,2,3,4,5,2.函數(shù)f(x)=|x+2|+|x-2|的最小值為() A.4B.2 C.0D.-4 解析:因?yàn)閨x+2|+|x-2|(x+2)-(x-2)|=4,所以函數(shù)f(x)的最小值為4. 答案:A,1,2,3,4,5,3.若|x-a|h,|y-a|k,則下列不等式一定成立的是 () A.|x-y|2hB.|x-y|2k C.|x-y|h+kD.|x-y|h-k|