單輸入單輸出控制系統(tǒng)的分析.ppt

1、1,2.1 單輸入單輸出（SISO）控制系統(tǒng) 的模型及其轉(zhuǎn)換,2.2 單輸入單輸出（SISO）線性控制系統(tǒng)分析,第二章 單輸入單輸出控制系統(tǒng)的分析,2,對于控制系統(tǒng)通常有3個基本要求： 穩(wěn)、準、快 “穩(wěn)”指的是穩(wěn)定性，穩(wěn)定性是系統(tǒng)正常工作的前提條件； “準” 指的是準確性，它要求過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差比較小； “快” 指的是快速性，它要求系統(tǒng)的響應速度快、過渡過程時間短、超調(diào)量小。,七、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,3,一個線性自動控制系統(tǒng)能夠正常工作的前提條件是系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。,系統(tǒng)穩(wěn)定性是自動控制系統(tǒng)自身的一種固有的特性，它僅僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，

2、與外作用、初始條件無關(guān)。,系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指當系統(tǒng)受到干擾的影響時，輸出發(fā)生一定變化，使系統(tǒng)的平衡狀態(tài)也發(fā)生改變，但是經(jīng)過一定的時間，系統(tǒng)能夠恢復到原來的平衡狀態(tài)，這樣的系統(tǒng)就是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,4,1.特征方程法 設一個LTI SISO系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 其中， 為系統(tǒng)特征多項式。令D(s)=0，則可得到系統(tǒng)的特征方程。,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,5,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件: 系統(tǒng)的特征方程的根（即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點）全都是負實數(shù)和具有負實部的共軛復數(shù)，也就是說，全部極點都在復平面s的左半平面。,2.2.1 SISO線性控制

3、系統(tǒng)的時域分析,6,如果系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點都在s平面左半部，則系統(tǒng)的暫態(tài)分量會逐漸消失為零，在這種情況下系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 如果系統(tǒng)有一對共軛復數(shù)極點在s平面的虛軸上，則系統(tǒng)的暫態(tài)分量會作等幅振蕩，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，但實際上，在這種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的； 如果在s平面右半部有系統(tǒng)的閉環(huán)極點存在，則系統(tǒng)的暫態(tài)分量會逐漸發(fā)散，在這種情況下系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。,7,因此，采用特征方程法來判別LTI SISO系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，就可以解出系統(tǒng)特征方程的所有的根，再根據(jù)上面的方法來判別。 用手工對三階以上的代數(shù)方程式進行求根是一件麻煩的工作，而現(xiàn)在采用MATLAB軟件提供的函數(shù)，就可以很容易的達到判別LTI

4、SISO系統(tǒng)的穩(wěn)定性的目的。,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,8,例設系統(tǒng)的特征方程為： 試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：我們可以利用MATLAB函數(shù)roots(c)來求解多項式的根。其中，c是關(guān)于多項式系數(shù)的向量，并且按降冪排列。,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,9,在MATLAB Command Window中輸入： c=1,4,10,5,6; roots(c) 按“Enter”鍵后可得結(jié)果為： ans = -1.8611 + 2.1849i -1.8611 - 2.1849i -0.1389 + 0.8421i -0.1389 - 0.8421i,系統(tǒng)特征方程的所有的

5、根都是具有負實部的共軛復數(shù)，全部極點都在復平面s的左半平面，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,10,例 設系統(tǒng)的特征方程為： (1) (2) 試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：利用函數(shù)roots(c)求解特征方程的根。,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,11,結(jié)果為： ans = -9.3181 0.1791 + 1.2930i 0.1791 - 1.2930i -0.5200 + 0.2108i -0.5200 - 0.2108i,(1) 在MATLAB Command Window中輸入： c=1,10,8,17,16,5; roots(c),系統(tǒng)特征方程

6、有兩個根是具有正實部的共軛復數(shù)，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,12,(2) 在MATLAB Command Window中輸入： c=1,4,8,8,7,4; roots(c),結(jié)果為： ans = -1.5000 + 1.3229i -1.5000 - 1.3229i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i -1.0000,系統(tǒng)特征方程的5個根中，有2個根是具有負實部的共軛復數(shù)，有一對共軛復數(shù)根在s平面的虛軸上，還有一個根是負實數(shù)，因此系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，實 際是不穩(wěn)定的。,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,13

7、,2. 代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)法 根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)來判斷特征方程根的實部符號，再判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種方法稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)法，它是一種間接方法。常用的有：勞斯（Routh）判據(jù)和胡爾維茨（Hurwitz）判據(jù)。,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,14,2.2 單輸入單輸出（SISO）線性控制系統(tǒng)分析,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,15,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,根軌跡法是W.R.Evans在1948年提出的直接由開環(huán)傳遞函數(shù)確定閉環(huán)傳遞函數(shù)特征根的方法，是在工程上獲

8、得廣泛應用的一種非常有效的圖解方法。,16,根軌跡是閉環(huán)極點在s平面上的運動軌跡。我們可以根據(jù)根軌跡的繪制規(guī)則，比較方便地繪制出當某個系統(tǒng)參數(shù)從零到無窮變化時，閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征根在s平面上移動的軌跡，利用根軌跡圖，我們可以進而對LTI系統(tǒng)進行分析和設計。,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,17,閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點（即閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征根）決定了整個系統(tǒng)是否是穩(wěn)定的；對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點又決定了暫態(tài)響應的特性。 由于閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點在s平面上的位置，是在設計當中要著重考慮的一個問題，因此當一個系統(tǒng)參數(shù)變化時，掌握這些閉環(huán)極點的位置變化是非常重要的。閉環(huán)極點的位置變化

9、對于系統(tǒng)穩(wěn)定性和暫態(tài)響應的影響，可以參考有關(guān)書籍。,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,18,一、根軌跡的繪制規(guī)則 （1）確定根軌跡的起點和終點：根軌跡的起點（指根軌跡增益K=0時根軌跡的點）是開環(huán)極點，根軌跡的終點（指根軌跡增益K=時根軌跡的點）是開環(huán)零點。 （2）確定根軌跡的分支數(shù)：根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)極點數(shù)。根軌跡是連續(xù)的，而且是對稱于實軸的。,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,19,（3）確定在實軸上的根軌跡：在實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)實極點和開環(huán)實零點數(shù)目之和應該是奇數(shù)。,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,20,（4）確定根軌跡的漸進線：當開環(huán)

10、極點數(shù)n大于開環(huán)零點數(shù)m時，就存在根軌跡的漸進線。 漸進線與實軸正方向的夾角為：,漸進線與實軸交點的坐標為：,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,21,（5）確定根軌跡的出射角和入射角；根軌跡的出射角和入射角是根軌跡在起點和終點的切線與水平正方向的夾角。 根軌跡的出射角為：,其中， j 表示該極點到其它極點的角度；,i 表示零點到該極點的角度。,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,22,i 表示其他零點到該零點的角度。,根軌跡的入射角為：,其中，j 表示極點到該零點的角度；,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,23,就可以求得分離點和會合點。但要注意，解出的分離點

11、和會合點可能有幾個值，要舍去不在根軌跡上的值。,（6）確定根軌跡的分離點和會合點：如果開環(huán)傳遞函數(shù)為,令,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,24,（7）確定根軌跡與虛軸的交點：根軌跡與虛軸的交點上的根軌跡增益K和相應的值可以用勞斯判據(jù)確定。,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,25,二、繪制系統(tǒng)的根軌跡 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中，提供了繪制系統(tǒng)的根軌跡的函數(shù)rlocus()。,函數(shù)rlocus()的格式為： rlocus(sys); rlocus(sys,k); r,k= rlocus(sys); r= rlocus(sys,k);,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的

12、根軌跡分析,26,rlocus(sys) 計算并且繪制SISO LTI系統(tǒng)sys的根軌跡圖。 rlocus(sys,k) 使用指定的增益向量k計算并且繪制SISO LTI系統(tǒng)sys的根軌跡圖。 r,k= rlocus(sys) 在輸出向量中返回r和k，向量k是系統(tǒng)計算的增益，向量r是閉環(huán)系統(tǒng)對應的極點。只計算數(shù)據(jù)，不繪制根軌跡圖。 r = rlocus(sys,k) 使用指定的增益向量k來計算SISO LTI系統(tǒng)sys的根軌跡數(shù)據(jù)，在輸出向量中返回r，向量r是閉環(huán)系統(tǒng)對應的極點。只計算數(shù)據(jù)，不繪制根軌跡圖。,27,MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中，還提供了計算給定根的根軌跡增益和相應極點位置的函數(shù)

13、rlocfind()。 函數(shù)rlocfind()的格式為： k,poles=rlocfind(sys) k,poles=rlocfind(sys,p),2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,28,k,poles=rlocfind(sys) 這是一種交互式的方式。在SISO LTI系統(tǒng)sys的根軌跡（該根軌跡要先由函數(shù)rlocus()繪制好）中，用十字形光標選擇根軌跡上的一點，則相應的根軌跡增益由變量k保存，所有極點的位置保存在變量poles中。 k,poles=rlocfind(sys,p) 將一些要觀察的根的位置保存在變量p中，然后計算這些根對應的根軌跡增益及所有極點的坐標位置。,2

14、.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,29,繪制當K從0到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。,例 已知單位負反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,30,解：在MATLAB Command Window中輸入： num=conv(0.5,-1,0.5,-1); den=conv(0.5,1,2,-1); g=tf(num,den); rlocus(g) 結(jié)果為：,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,31,32,繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,33,解：在MATLAB Command W

15、indow中輸入： z=-1; p=0,0,-4,-2; k=1; g=zpk(z,p,k); rlocus(g) 結(jié)果為：,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,34,35,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,36,解：在MATLAB Command Window中輸入： z=-2,-3; p=0,-1; k=1; g=zpk(z,p,k); rlocus(g); 結(jié)果為：,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,37,38,解：在MATLAB Command Window中輸入： z=-2,-3; p=0,-1

16、; k=1; g=zpk(z,p,k); rlocus(g); axis(-3.1,3.1,-3.1,3.1) %使X、Y坐標軸刻度相等，便于觀察圖形的真實形狀 結(jié)果為：,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,39,系統(tǒng)的全部根軌跡都在虛軸的左邊，因此，對于所有的根軌跡增益，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。,40,例 已知單位負反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,41,解：在MATLAB Editor/debugger窗口中新建一個M文件，輸入如下程序： clear all;clc; num=1,1; den=conv(1,0,conv(1

17、,4,1,2,5); g=tf(num,den); rlocus(g); k, poles=rlocfind(g); k poles 結(jié)果為:,42,43,當光標移動到上圖的窗口中時，會變成十字形光標，我們將十字形光標移動到根軌跡與虛軸相交的那一點上，單擊鼠標左鍵，在MATLAB Command Window中出現(xiàn)下面的參數(shù)，這些參數(shù)是根軌跡與虛軸交點的根軌跡增益k以及及所有極點的坐標位置，并且在根軌跡圖上用紅色的十字形符號標出了系統(tǒng)閉環(huán)極點的位置：,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,44,Select a point in the graphics window selected

18、_point = -0.0092 + 3.0409i k = 35.2200 poles = -5.2794 0.0023 + 3.0330i 0.0023 - 3.0330i -0.7252,45,46,例 已知單位負反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,試確定閉環(huán)極點均為負實數(shù)的開環(huán)增益K的大致范圍。,47,解： Matlab環(huán)境下輸入,num=1 1; den=conv(1 0 0,0.1 1); sys=tf(num,den); rlocus(sys); k,poles=rlocfind(sys),48,49,閉環(huán)極點均為負實數(shù)的開環(huán)增益K的大致范圍是3.125K3.199,50,根軌跡法是一種圖解

19、求根的方法。利用這種方法可以直接由開環(huán)傳遞函數(shù)確定閉環(huán)傳遞函數(shù)特征根。我們可以繪制出當某個系統(tǒng)參數(shù)從零到無窮變化時，閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征根在s平面上移動的軌跡，利用根軌跡圖，我們可以對LTI系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析。,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,51,2.2 單輸入單輸出（SISO）線性控制系統(tǒng)分析,2.2.1 SISO線性控制系統(tǒng)的時域分析,2.2.2 SISO線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,52,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,頻域分析方法是一種間接方法，也是一種圖解分析方法。 系統(tǒng)的頻率特性可以比較容易地用圖形繪制出來，利用這些

20、頻率特性圖，可以很直觀地根據(jù)開環(huán)頻率特性來分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)性能等，也可以分析參數(shù)對性能的影響。 因此方便而準確地繪制出用于分析和設計的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線是非常重要的。,53,頻域法已經(jīng)在工程上得到了廣泛地應用，并可推廣應用于某些非線性系統(tǒng)的分析。,另外，如果從圖形分析出系統(tǒng)的性能不能滿足實際要求，則可以通過修改頻率特性圖以達到改進和設計控制系統(tǒng)的目的。所以，利用系統(tǒng)的頻率特性圖就可以簡化系統(tǒng) 的分析和設計工作。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,54,一、 頻率特性 頻域分析主要基于系統(tǒng)的頻率特性模型。系統(tǒng)的頻率特性與其傳遞函數(shù)之間有一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系。系統(tǒng)的頻率特性與其傳遞

21、函數(shù)具有下面的簡單關(guān)系：,如果求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，將s用j代替就可以求得系統(tǒng)的頻率特性。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,55,頻率特性具有明顯的物理意義。設有一個穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，在正弦信號的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量是同頻率的正弦函數(shù)，其振幅與輸入正弦信號的振幅之比 A() 稱為幅頻特性；其相位與輸入正弦信號的相位之差 稱為相頻特性。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,56,頻域分析方法的一個主要優(yōu)點是，可以通過實驗方法測出它的頻率特性，從而獲得它的頻率特性模型。,系統(tǒng)的頻率響應與輸入正弦信號的復數(shù)比稱為系統(tǒng)的頻率特性?？梢杂孟旅娴氖阶颖硎荆?2.2.3 SISO線性

22、控制系統(tǒng)的頻域分析,57,二、 頻率特性的幾何表示方法 用曲線來表示系統(tǒng)的頻率特性，經(jīng)常使用的有下面的幾種方法：,（1）幅相頻率特性曲線（又稱奈奎斯特（Nyquist）曲線、極坐標圖）：它是以 為參變量，以復平面上的矢量表示 的一種方法。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,58,（2）對數(shù)頻率特性曲線（伯德（Bode）圖） 這種方法是用兩條曲線分別表示幅頻特性和相頻特性。橫坐標為，但按常用對數(shù) lg分度。對數(shù)幅頻特性的縱坐標為 單位為分貝（dB）；而對數(shù)相頻特性的縱坐標為 ，單位為度()。 和 都是線性分度。橫坐標按 lg分度可以擴大頻率的表示范圍，幅頻特性采用 可以方便繪圖工作。,

23、2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,59,（3）對數(shù)幅相頻率特性曲線（尼柯爾斯（Nichols）曲線） 這種方法是以為參變量， 為橫坐標， 為縱坐標，繪制而成的一張圖。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,60,三、系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的繪制 （1）繪制開環(huán)幅相頻率特性曲線 與根軌跡的分析情況相同，也是由開環(huán)系統(tǒng)來分析閉環(huán)系統(tǒng)的特性的。,MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供的函數(shù)nyquist()，可以用于求解、繪制系統(tǒng)的奈奎斯 特曲線。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,61,利用Nyquist曲線，可以分析包括增益裕 度、相位裕度以及穩(wěn)定性等系統(tǒng)特性。 當使用該函數(shù)，并且

24、沒有返回輸出變量時，nyquist()函數(shù)會在屏幕上直接繪制出 Nyquist曲線。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,62,它的常用的格式為： nyquist(sys); nyquist(sys,wmin,wmax); nyquist(sys,w); nyquist(sys1,sys2,sys3,sysN,w); re,im=nyquist(sys,w); re,im,w=nyquist(sys);,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,63,nyquist(sys) 繪制LTI系統(tǒng)sys的Nyquist曲線，LTI系統(tǒng)sys可以是用TF、ZPK、SS、FRD模型描述的。頻率

25、范圍和頻率點由MATLAB自動選擇。 nyquist(sys,wmin,wmax) 繪制LTI系統(tǒng)sys的Nyquist曲線，指定的頻率范圍在wmin和wmax之間，頻率的單位是弧度/秒（radians/second）。特別要注意的是，在定義頻率范圍時，其格式為wmin,wmax, 同時還應該滿足條件：0wminwmax。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,64,nyquist(sys,w) 使用用戶指定的頻率向量 （單位是弧度/秒），由MATLAB計算后繪制LTI系統(tǒng)sys的Nyquist曲線。,nyquist(sys1,sys2,sys3,sysN,w) 在一張圖里繪制多個LTI

26、系統(tǒng)sys1,sys2,sys3,sysN的Nyquist曲線。頻率向量w是可以選擇的。用戶還可以指定Nyquist曲線的顏色、線形，用以區(qū)別各個系統(tǒng)的曲線，例如：nyquist(sys1,r,sys2,y-,sys3,gx)。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,65,re,im=nyquist(sys,w) 返回頻率響應的實部re和虛部im的數(shù)據(jù)。不在屏幕上繪制Nyquist曲線。re和im均為3維向量。對于SISO系統(tǒng)來說，re和im是標量，re(1,1,k)表示頻率響應在頻率點的實部，im(1,1,k)表示頻率響應在頻率點的虛部，也就是說，對于SISO系統(tǒng)，在頻率點的頻率響應為

27、： re(1,1,k)+j im(1,1,k)。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,66,re,im,w=nyquist(sys) 返回頻率響應的實部re、虛部im和頻率向量的數(shù)據(jù)。其他內(nèi)容與 re,im=nyquist(sys,w)相同。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,67,穩(wěn)定性分析 根據(jù)開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是一種間接方法。系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可以通過實驗方法測出，比較方便、實用。 MATLAB環(huán)境中經(jīng)常采用這種方法。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,68,奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)： 對于下圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)：,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,

28、2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,69,系統(tǒng)的特征方程為：,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的內(nèi)容如下：,(1) 如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（系統(tǒng)的特征方程的根都在左半s平面），當頻率由負無窮變到正無窮時，如果奈奎斯特曲線不包圍(-1,j0)點，則系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下是不穩(wěn)定的。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,70,(2) 如果開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（系統(tǒng)的特征方程的根有n個在右半s平面），當頻率由負無窮變到正無窮時，如果奈奎斯特曲線逆時針包圍(-1,j0)點n圈，則系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下是不穩(wěn)定的。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,

29、71,MATLAB環(huán)境中，我們可以利用函數(shù)Nyquist()繪制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線，并按照奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的內(nèi)容分析其穩(wěn)定性。,開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，可以用幅值裕度h 和相角裕度 這兩個指標來衡量系統(tǒng)穩(wěn)定程度的高低（穩(wěn)定裕度）。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,72,相角裕度是當系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的幅值等于1時，此時對應的頻率為零分貝頻率c ，則相角裕度表示為： =180+ (c) 其中，(c) 表示開環(huán)頻率特性在零分貝頻率c 處的相角。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,73,幅值裕度 h 是當系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性的相角等于-180時，此時對應的頻率為相角交界頻率 g

30、 ，則幅值裕度表示為：,在Bode圖上，幅值裕度 h 是用分貝為單位表示的，即：,hdB=20log10(h),2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,74,對于LTI SISO 系統(tǒng)來講，如果閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么就有相角裕度 0，幅值裕度 h dB1。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,75,例 已知單位負反饋系統(tǒng)，其開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試繪制其Nyquist曲線。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,76,解：在MATLAB Command Window中輸入： num=10; den= conv(5,1,10,1); g=tf(num,den); nyquist

31、(g) gc=feedback(g,1); n1,d1=tfdata(gc,v); c=d1; roots(c) 結(jié)果為:,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,77,開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當頻率由負無窮變到正無窮時，奈奎斯特曲線不包圍-1+j0點，則系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下穩(wěn)定。,78,閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根 ans = -0.1500 + 0.4444i -0.1500 - 0.4444i,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,79,例 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試繪制其Nyquist曲線。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,80,解：在MATLAB Command Window中輸入

32、： num=10; den= conv(1,0,conv(5,1,10,1); g=tf(num,den); nyquist(g,0.1,100) 結(jié)果為:,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,81,開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，而奈奎斯特曲線包圍了-1+j0點，則系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下不穩(wěn)定。,82,另外，要善于使用nyquist(sys,wmin,wmax)格式來繪制LTI系統(tǒng)sys的Nyquist曲線，指定的頻率范圍非常重要，選擇合理的頻率范圍可以非常清楚地繪制并觀察系統(tǒng)的奈奎斯特曲線，才能夠得到正確的結(jié)果。 在本例中，如果我們將nyquist(g,0.1,100)中的頻率范圍0.1,100去掉，變?yōu)?/p>

33、nyquist(g)將無法辨別奈奎斯特曲線是否包圍了-1+j0點，也無法下結(jié)論。,83,84,例 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試繪制其Nyquist曲線。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,85,解：在MATLAB Command Window中輸入： num=1; den=conv(1,0,conv(1,1,conv(0.2,1,0.1,1); g=tf(num,den); nyquist(g ,1,100) 結(jié)果為:,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,86,開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，奈奎斯特曲線沒有包圍-1+j0點，則系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下穩(wěn)定。,87,nyquist(g)時的結(jié)果,88,

34、例 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試繪制其Nyquist曲線。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,89,解：在MATLAB Command Window中輸入： num= 5,0.96,9.6; den=conv(conv(1,2,1,1,0.384,2.56), 1 0); g=tf(num,den); nyquist(g,1,100) 結(jié)果為:,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,90,開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，但奈奎斯特曲線順時針包圍-1+j0點，則系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下不穩(wěn)定。,91,如果將開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)改為：,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,92,在MATLAB Comm

35、and Window中輸入： g=0.3*tf(5,0.96,9.6,conv(1,2,1,1,0.384,2.56),0); nyquist(g,0.1,100) 結(jié)果為:,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,93,nyquist(g,0.1,100),94,nyquist(g,1,100),開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，奈奎斯特曲線在原點附近比較復雜，但并沒有包圍-1+j0點，則系統(tǒng)在閉環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的。,95,閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應,96,（2）繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線,MATLAB函數(shù)Bode()用于繪制LTI系統(tǒng)sys的伯德（Bode）圖，LTI系統(tǒng)sys可以是用TF、ZPK、SS模型描述的。,2

36、.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,97,常用的函數(shù)Bode()的格式為： bode(sys); bode(sys,wmin,wmax); bode(sys,w); bode(sys1,sys2,sysN,w); mag,phase=bode(sys,w); mag,phase,w=bode(sys);,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,98,bode(sys)、bode(sys,wmin,wmax)、bode(sys,w)、bode(sys1,sys2,sysN,w)的相關(guān)參數(shù)、規(guī)定與函數(shù)nyquist()完全相同，可以參考函數(shù)nyquist()。 mag,phase=bod

37、e(sys,w) 返回頻率響應的幅值和相位（單位是度）。不在屏幕上繪制Bode圖。要使幅值的單位為分貝（dB），可以用公式進行處理：magdB = 20*log10(mag)。 mag,phase,w=bode(sys) 返回頻率響應的幅值、相位（單位是度）和頻率向量w。其他內(nèi)容與mag,phase=bode(sys,w)相同。,99,例 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試繪制其Bode圖。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,100,解：在MATLAB Command Window中輸入： num=10; den=conv(5,1,10,1); g=tf(num,den); bode(g,

38、0.001,100) 結(jié)果為：,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,101,102,因為當系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性的幅值等于1（相應的分貝值為0dB）時，相角裕度 大于零，具體的數(shù)據(jù)為=38.94，相應的零分貝頻率為0.419rad/sec。并且系統(tǒng)的幅值裕度等于無窮大。因此閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,103,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,margin( ),函數(shù),可直接獲得精確的頻率響應性能參數(shù)。格式為：,margin(sys ),Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin( ),104,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,num=1

39、0; den=conv(5,1,10,1); g=tf(num,den); bode(g,0.001,100),上例中,margin(g),105,Pm,106,例 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試繪制其Bode圖。,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,107,解：在MATLAB Command Window中輸入： num=10; den= conv(1,0,conv(5,1,10,1); g=tf(num,den); bode(g,0.0001,100);grid on; figure,margin(g); Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(g) 結(jié)果為：,2.2.3 SISO

40、線性控制系統(tǒng)的頻域分析,108,Pm,Gm,109,Pm,Gm,110,Gm = 0.0300 Pm = -60.7504 Wcg = 0.1414 Wcp = 0.5707,111,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,練習1 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試用Bode法判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并用階躍響應曲線驗證。,112,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,解：在MATLAB Command Window中輸入： s=tf(s); G=75*(0.2*s+1)/s/(s*s+16*s+100) bode(G,0.1,1000); figure,margin(G); Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G) figure,step(feedback(G,1) 結(jié)果為：,113,114,115,116,Transfer function: 15 s + 75 - s3 + 16 s2 + 100 s,Gm = Inf Pm = 91.6644,Wcg = Inf Wcp = 0.7573,117,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,練習2 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試用Bode法判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并用階躍響應曲線驗證。,118,2.2.3 SISO線性控制系統(tǒng)的頻域分析,解：在MATLAB Command Window中輸入： s