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1、表示統(tǒng)計資料的特征數(shù)有哪些？ 幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)各適合于什么情況？ 計算樣本方差與總體方差公式有何區(qū)別？,統(tǒng)計資料的三類特征數(shù) 表示集中位置的特征數(shù) 表示變異(或分散)程度的特征數(shù) 表示偏倚程度的特征數(shù),3.1 表示集中位置的特征數(shù),3.1.1 平均數(shù),算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,幾何平均數(shù)（Geometric Mean）,調(diào)和平均數(shù)（Harmonic Mean）,定義： 一組n個觀測值x1,x2 ,，xn的算術(shù)平均數(shù)，定義為,(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,如果資料已經(jīng)分組，組數(shù)為k，用x1,x2 ,，xk 表示各組中點(平均值)，f1，

2、f2,fk 表示相應(yīng)的頻數(shù)，那么,(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,表3-1 某校125位大學(xué)一年級新生體重表,(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,其平均體重：,(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,證明：,(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmetic average）,在數(shù)據(jù)為環(huán)比類型的問題中(例如，人口增長率或是金融投資利息率)，算術(shù)平均數(shù)是不適用的。例如下表是天津市工業(yè)總產(chǎn)值在“十五”期間的逐年增長率，如求該期間平均增長率，算術(shù)平均數(shù)是不恰當(dāng)?shù)摹缀纹骄鶖?shù)可以解決這個問題

3、。,(2)幾何平均數(shù)（Geometric Mean）,表3-2 天津市工業(yè)總產(chǎn)值,（天津市2005統(tǒng)計年鑒）,(2)幾何平均數(shù)（Geometric Mean）,定義: 一組n個數(shù)據(jù)的幾何平均數(shù)定義為,在上式中，,依次為14.0，19.6，24.1，,十五期間天津市工業(yè)總產(chǎn)值年均增長率為21.8%。,31.0，20.8，于是幾何平均數(shù)：,(2)幾何平均數(shù)（Geometric Mean）,性質(zhì)： 設(shè)觀測數(shù)據(jù)為 (上例中為各年的工業(yè)總產(chǎn) 值)，令 則 由 ，得,(2)幾何平均數(shù)（Geometric Mean）,(2)幾何平均數(shù)（Geometric Mean）,表 黑龍江省糧食總產(chǎn)量,(2)幾何平均數(shù)

4、（Geometric Mean）,由公式：,可得：,依次為11.48，10.5，10.49,10.66，10.30，11.52，11.16.,代入公式（n=7）：,得,過去7年黑龍江省糧食總產(chǎn)值年均增長率為10.86%,當(dāng)數(shù)據(jù)是相對變化率(行程問題，相對價格)，求平均數(shù)時，算術(shù)平均數(shù)也不恰當(dāng)。 例如：甲乙兩地相距120公里，某人乘車往返甲乙兩地之間，去時速度每小時20公里，回來時速度為每小時30公里，若求平均速度，這時用算術(shù)平均數(shù)是不對的，但調(diào)和平均數(shù)可解決此類問題。,(3)調(diào)和平均數(shù),在上例中，,（公里/小時）,定義：,一組n個數(shù)據(jù) 的調(diào)和平均數(shù)H， 由下式定義:,(3)調(diào)和平均數(shù),(3)調(diào)

5、和平均數(shù),例：設(shè)有三種水果，水果甲為1元/公斤，乙為1.5元/公斤，丙為2元/公斤，若各買一公斤，則水果的平均價格是多少？,解：,算術(shù)平均數(shù)表示了集中位置特征，它照顧到每一個值，但它不見得是出現(xiàn)次數(shù)最多的值（甚至也可能不是觀測值中的一個）。所以有必要研究表示集中位置的其它的特征數(shù)。,3.1.2眾數(shù)（Mode）,定義：對于有頻數(shù)分布的變量，它的眾數(shù)指頻數(shù)最大的變量的值。,表3-3 頻數(shù)分布表,對于已分組且等組距的頻數(shù)分布，根據(jù)最大頻數(shù)，可求得眾數(shù)所在組。根據(jù)眾數(shù)定義，可知眾數(shù)不唯一。,3.1.2眾數(shù)（Mode）,算術(shù)平均數(shù)作為集中位置的特征還有一缺點，就是受觀測值中極端值的影響很大，而一組觀測值

6、中的極端值常常沒有代表性。中位數(shù)將避免這種影響。,3.1.3 中位數(shù)（Median）,一組n個觀測值按數(shù)值大小排列，處于中央位置的值稱為中位數(shù)，用 表示，,，當(dāng)n為奇數(shù),，當(dāng)n為偶數(shù),定義：,即,3.1.3 中位數(shù)（Median）,(1)一組觀測值中，小于和大于中位數(shù)的個數(shù)相等(無 重復(fù)的情況下)。 (2)絕對離差之和，即 當(dāng) 時取最小值。,性質(zhì)：,第25百分位數(shù)又稱第一個四分位數(shù)（First Quartile） ,用Q1 表示；第50百分位數(shù)又稱第二個四分位數(shù) （Second Quartile），用Q2表示；第75百分位數(shù) 又稱第三個四分位數(shù)（Third Quartile）,用Q3表示。,中

7、位數(shù)是第50百分位數(shù),一組n個觀測值按數(shù)值大小排列如x1,x2,x3,x4 處于p%位置的值稱第p百分位數(shù)。,定義：,3.1.4 百分位數(shù)（ Percentile）,第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得至少有p%的數(shù)據(jù) 項小于或者等于這個值，至少有(100-p)% 的數(shù)據(jù)項 大于或者等于這個值。,如何計算百分位數(shù),引例：某產(chǎn)品的市場報價分別是4.3，6.5，7.8，6.2，9.6， 15.9，7.6，8.1，10，12.3，11，3，求它們的第50，80百分 位數(shù)。 解：由小大到依次排列： 3，4.3，6.2，6.5，7.6，7.8， 8.1 9.6，10，11，12.3，15.9 則，計算i=n

8、p%，其中n=12，p=50，80 當(dāng)p=50時，i=6，則Q2=1/2(7.8+8.1)=7.95 當(dāng)p=80時，i=9.6，則80百分位數(shù)為：11,如何計算百分位數(shù),3.1.5 四分位數(shù)(Quartile),人們經(jīng)常將數(shù)據(jù)劃分為四個部分，每一個部分大約包含有四分之一，即25%的數(shù)據(jù)。這種劃分的臨界點即為四分位數(shù)，分別稱為第一個四分位數(shù)，第二個四分位數(shù)和第三個四分位數(shù)。 即四分位數(shù)分別定義為第25、第50 、第75百分位數(shù)，因此，其計算方法和百分位數(shù)的計算相同。,算例 對12個月薪數(shù)據(jù)的樣本，按照遞增順序排列如下： 2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 244

9、0 2450 2550 2630 2825 試計算Q1， Q2，Q3。 以Q1為例，計算i=np%，其中n=12,p=25, 則i=3，所以，Q1=1/2(2350+2380)=2365 同樣算得Q2=2405，Q3=2500,3.2 表示變異（分散）程度的特征數(shù),定義 其中xmax和xmin分別為數(shù)據(jù)中的極大值和極小值。 3.2.2四分位間距(Quartile deviation) 能夠克服極端值影響的一種衡量變異程度的量度是四 分位間距(IQR)。 定義 IQR = Q3-Q1,3.2.1極差（或稱全距 Range）R,對于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）,定義,平均差M.D.是離差( )的絕

10、對值的平均數(shù)，即,3.2.3 平均差（Mean Absolute Deviation）,3.2.3 平均差（Mean Absolute Deviation）,對已知分組頻數(shù)的平均差(k組),其中,3.2.3 平均差（Mean Absolute Deviation）,例：已知職工工資的分組數(shù)據(jù)如下表，計算平均差。,則,方差,樣本,對于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）,總體,樣本,總體,3.2.4 方差（Variance），標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation）,標(biāo)準(zhǔn)差,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,總體標(biāo)準(zhǔn)差,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,總體標(biāo)準(zhǔn)差,對于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）,3.2.4 方差（Variance），標(biāo)準(zhǔn)

11、差（Standard Deviation）,例:考察一臺機器的生產(chǎn)能力，利用抽樣程序來檢驗生產(chǎn)出來的產(chǎn)品質(zhì)量，假設(shè)搜集的數(shù)據(jù)如下： 根據(jù)該行業(yè)通用法則：如果一個樣本中的14個數(shù)據(jù)項的方差大于0.005，則該機器必須關(guān)閉待修。問此時的機器是否必須關(guān)閉？ 解：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，計算 因此，該機器工作正常。,3.2.4 方差（Variance），標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation）,定義 變異系數(shù)C,是一個無量綱的量。它適于用在比較有不同算術(shù)平均數(shù)或有不同量綱的兩組數(shù)據(jù)的情況。例如比較大學(xué)生身高與小學(xué)生身高，或比較130名大學(xué)生身高和體重哪個變化波動范圍比較大時，都可用變異系數(shù)。,3.2.5變

12、異系數(shù)（Coefficient of Variation）,例如：考慮某兩個班的成績變異情況 A:平均成績?yōu)?0,標(biāo)準(zhǔn)差為10 B:平均成績?yōu)?0,標(biāo)準(zhǔn)差為8 初看起來，A班的標(biāo)準(zhǔn)差較大，較為不整齊，若把平 均值考慮進去，則其實A班的成績較為整齊。 即，CA=10/80=1/8CB=8/40=1/5。,3.2.5變異系數(shù)（Coefficient of Variation）,3.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對位置,下圖列舉出了對稱的、具有左偏態(tài)（負(fù)偏態(tài)）和右偏態(tài)（正偏態(tài)）的頻數(shù)分布的例子。注意到它們的特點是：,對稱的分布的眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)相同；,具有偏倚性的分布，算術(shù)平均數(shù)突出

13、在外，偏向分布的尾端，而中位數(shù)則介于眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之間。,偏倚性是表示各觀測值分布的不對稱情況或程度。,3.3 表示偏倚情況或程度的特征數(shù),圖3-1,3.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對位置,MeMo,MeMo,=Me=Mo,可以看出，對于單峰的分布，,對稱態(tài)：,左偏態(tài)：,右偏態(tài)：,3.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對位置,（1）Pearson偏倚系數(shù),Pearson,分布對稱，則k=0,左偏態(tài)，則k0,右偏態(tài)，則k0,3.3.2 定量地描述偏倚性，常用的兩個公式,（2）用標(biāo)準(zhǔn)化的三階矩陣g表示,3.3.2 定量地描述偏倚性，常用的兩個公式,3.4 五數(shù)概括法,首先將數(shù)據(jù)按遞

14、增順序排列，然后很容易就能確定最小值、3個四分位數(shù)和最大值了。對12個月薪數(shù)據(jù)的樣本，按照遞增順序排列如下： 2210 2255 2350 | 2380 2380 2390 | 2420 2440 2450 | 2550 2630 2825 Q12365 Q22405 Q32500 上述起薪數(shù)據(jù)以五數(shù)概括為： 2210，2365，2405，2500，2825。,3.4 五數(shù)概括法,盒形圖實際上是以圖形來概括數(shù)據(jù)。關(guān)鍵是計算中位數(shù)和四分位數(shù)Q1和Q3。此外還將用到四分位數(shù)間距IQRQ3Q1 。 盒形圖的畫法步驟如下： （1）畫一個方盒，其邊界恰好是第1和第3四分位數(shù)。對于上述的起薪數(shù)據(jù)，Q12365，Q32500。 這個方盒包含了中間的50的數(shù)據(jù)。 （2）在方盒上中位數(shù)的位置畫一條垂線（對起薪數(shù)據(jù)，中位數(shù)為2405）。因此中位數(shù)將數(shù)據(jù)分為相等的兩個部分。,3.5 盒形圖,（3）利用四分位數(shù)間距IQR=Q3Q1，來設(shè)定界限。盒形圖的界限定于低于Q