第六章-數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念.ppt

1、從本章起，我們轉(zhuǎn)入課程的第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)與概率論是兩個(gè)密切聯(lián)系的姊妹學(xué)科。 大體上可以這樣說，概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論的重要應(yīng)用。,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念,數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門什么樣的學(xué)科？,數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是這樣一門學(xué)科：它使用概率論和其它數(shù)學(xué)方法，研究怎樣收集（通過試驗(yàn)和觀察）帶有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)，并在設(shè)定的模型（稱為統(tǒng)計(jì)模型）之下，對這種數(shù)據(jù)進(jìn)行分析（稱為統(tǒng)計(jì)分析），以對所研究的問題作出推斷（稱為統(tǒng)計(jì)推斷）。 由于所收集的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（資料）只能反映事物的局部特征，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就在于從統(tǒng)計(jì)資料所反映的局部特征以概率論作為理論基礎(chǔ)去推斷事物的整體特征。,用局部推斷整

2、體，這就使得數(shù)理統(tǒng)計(jì)所作推斷的結(jié)論不可避免地存在偏差或錯(cuò)誤，而刻畫或把握這種偏差的有效方法就是概率論。概率論通過給出各種各樣的統(tǒng)計(jì)量所服從的分布或數(shù)字特征，來演繹地評價(jià)各種統(tǒng)計(jì)方法的優(yōu)劣或置信程度。,6.1 總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量 6.2 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 6.3 抽樣分布,主要內(nèi)容,6.1 總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量,6.1.1 總體與樣本,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,我們將研究對象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的值的全體稱為總體，總體中的每個(gè)元素稱為個(gè)體。,例：對電子元件我們主要關(guān)心的是其使用壽命。 某廠生產(chǎn)的所有電子元件的使用壽命值的全體， 就構(gòu)成了研究對象的全體，即總體。 可以認(rèn)為總體是一個(gè)隨機(jī)變量，常用X表示。 如：設(shè)電子元件的

3、壽命為隨機(jī)變量X，其所有可能取值的全體就構(gòu)成總體。,為方便起見,今后我們把總體與隨機(jī)變量X等同起來看， 即總體就是某隨機(jī)變量X可能取值的全體。它客觀上存在一個(gè)概率分布，但我們對其概率分布一無所知，或部分未知，正因?yàn)槿绱?，才有必要對總體進(jìn)行研究。,按機(jī)會均等的原則隨機(jī)地從客觀存在的總體中抽取一些個(gè)體進(jìn)行觀察或測試的過程稱為隨機(jī)抽樣。從總體中抽出的部分個(gè)體，叫做總體的一個(gè)樣本。,從總體中抽取樣本時(shí)，不僅要求每一個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會均等(代表性)，同時(shí)還要求每次的抽取是獨(dú)立的（獨(dú)立性），即每次抽樣的結(jié)果不影響其他各次的抽樣結(jié)果，同時(shí)也不受其他各次抽樣結(jié)果的影響。這種抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣。由簡單隨機(jī)

4、抽樣得到的樣本叫做簡單隨機(jī)樣本。往后如不作特別說明，提到“樣本”總是指簡單隨機(jī)樣本。,從總體X中抽取一個(gè)個(gè)體,就是對隨機(jī)變量X進(jìn)行一次試驗(yàn)。在抽樣時(shí)抽取n個(gè)個(gè)體就是對隨機(jī)變量X進(jìn)行n次試驗(yàn), 得到n個(gè)個(gè)體分別記為X1, X2, , Xn 。則樣本就是n維隨機(jī)變量( X1, X2 , , Xn )。在一次具體抽樣以后, (X1, X2, , Xn )就有了一組確定的值(x1, x2, , xn)，稱為樣本觀測值。稱 ( X1, X2, , Xn )為樣本，n為樣本容量.,個(gè)體的二重性： 從總體X中抽取一個(gè)個(gè)體（但抽取個(gè)體的試驗(yàn)未結(jié)束，或理解為試驗(yàn)是形式上的）,該個(gè)體的值是不確定的，此時(shí)抽取的個(gè)體

5、仍用隨機(jī)變量Xi 表示，它和總體X同分布； 從總體X中抽取一個(gè)個(gè)體（對個(gè)體的試驗(yàn)結(jié)束，或試驗(yàn)有具體結(jié)果）,該個(gè)體的值是確定的，此時(shí)抽取的個(gè)體是觀測值xi 。,根據(jù)隨機(jī)變量獨(dú)立性定義及獨(dú)立隨機(jī)變量的分布函數(shù)和密度函數(shù)的定理，有 命題6.1.1 設(shè)總體XF( ,)， (X1 , X2 , , Xn)為其樣本，則 F(,)可以是分布函數(shù)，也可以是密度函數(shù)（對連續(xù)型隨機(jī)變量），或是分布律（對離散型隨機(jī)變量）。 如對于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(,)可以是密度函數(shù)，即,例6.1.1 設(shè)總體XN(,2)， (X1 , X2 , , Xn)為其樣本，則(X1 ,X2 , , Xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,6.1.2

6、統(tǒng)計(jì)量,統(tǒng)計(jì)量的定義 設(shè)X1，X2，Xn為來自總體X的樣本，稱不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù) g(X1，X2，Xn) 為統(tǒng)計(jì)量 若x1，x2，.，xn為樣本觀測值，則稱 g(x1，x2，.，xn)為統(tǒng)計(jì)量g(X1，X2，Xn)的觀測值. 統(tǒng)計(jì)量是處理、分析數(shù)據(jù)的主要工具對統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)最基本的要求就是可以將樣本觀測值代入進(jìn)行計(jì)算，因而不能含有任何未知的參數(shù),【例】設(shè)X1，X2，Xn是來自總體X的樣本，XN(， 2)，其中 、 2為未知參數(shù)，則 X1， min X1，X2，Xn 均為統(tǒng)計(jì)量，但諸如 等均不是統(tǒng)計(jì)量，因它含有未知參數(shù) 或,6.2 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),6.3 抽樣分布,為了用概率的方法探討一個(gè)統(tǒng)計(jì)

7、量在推斷總體時(shí)的性能或把握推斷結(jié)論的置信程度，我們必須要知道統(tǒng)計(jì)量的分布或近似分布.統(tǒng)計(jì)量的分布，通常稱為抽樣分布. 先討論統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征.,6.3.1 樣本均值和樣本方差的數(shù)字特征,6.3.2 三種重要的概率分布,1. 2分布（為簡便計(jì)，不通過分布，直接給出2分布定義 ） 命題6.3.2 設(shè)X1，X2，Xn為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(0，1)分布，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為n的2分布，記為X 2 (n) 此處自由度指包含獨(dú)立變量Xi的個(gè)數(shù) 可以證明，2(n)的概率密度為 其中()稱為伽馬函數(shù).,2分布概率密度 圖6.1 2(n)分布的概率密度曲線 可以看出，隨著n的增大圖形

8、趨于“平緩”，其圖形下區(qū)域的 重心亦逐漸往右下移動,2分布具有下面性質(zhì)：,2. t分布 命題6.3.3 設(shè)X N( 0，1)，Y 2(n)，X與Y獨(dú)立，則稱隨機(jī)變 量 服從自由度為的t分布，又稱為學(xué)生氏分布 記為T t(n) 可以證明t(n)的概率密度為 圖6-2 t分布的概率密度曲線,可看出，隨著n的增大，t(n)的概率密度曲線與N(0，1)的概率密 度曲線越來越接近 可以證明t分布具有下面性質(zhì)： 即當(dāng)n趨向無窮時(shí),t(n)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1) 一般地，若 n 45，就可認(rèn)為t(n)基本與N(0，1)相差無幾了另外，經(jīng)積分可知，若 X t(n), 則,圖6.3 F分布的概率密度曲線

9、 由F分布的定義 容易看出， 若F F(m，n)，則1/F F(n，m),在統(tǒng)計(jì)推斷（區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)）中，已知總體X的分布及某概率值，需要知道X小于等于哪個(gè)數(shù)的概率為，這個(gè)數(shù)稱為X的分位數(shù)，也就是， 設(shè)X(n)(為某種分布，n為有關(guān)自由度)， 01,稱滿足 的數(shù) 為分布(n)的分位數(shù)（或分位點(diǎn)）.,6.3.3 分位數(shù),由于四大分布的密度函數(shù)的積分計(jì)算較為復(fù)雜，求分位點(diǎn)相當(dāng)于求分布函數(shù)的反函數(shù)更為復(fù)雜，求分位點(diǎn)一般采用查表的方法，這些表都是數(shù)值運(yùn)算的結(jié)果.R軟件中有專門的函數(shù)qnorm()(求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn))、qt(,n)(求自由度為n的t分布的分位點(diǎn))、qchisq(,n)（求自由度

10、為n的 2分布的分位點(diǎn)）和qf(,m,n)(求第一自由度為m、第二自由度為n的F分布的分位點(diǎn)).,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn)用 表示.,面積=,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布還有雙側(cè)分位數(shù)的定義，即,2分布的分位點(diǎn)用 表示.,t分布的分位點(diǎn)用 表示.,t分布還有雙側(cè)分位數(shù)的定義，即,F分布的分位點(diǎn)用 表示.,在分位點(diǎn)表中對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、t分布和F分布只能查到0.5的分位數(shù)，需利用對稱性間接查0.5的分位數(shù)，對稱性指的是以下三個(gè)關(guān)系式，根據(jù)這三個(gè)分布的定義和特點(diǎn)很容易得到.,例6.3.1 查表或用R軟件求,6.3.4 正態(tài)總體的抽樣分布,一、單個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布,推論6.3.1 設(shè)(X1,X2,Xn)是來自總體XN(,2)的樣本,則,證明：,且它們表示的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的,故,解：,所