第六章頻率特性分析法(修改版).ppt

1、華南理工大學(xué) 自動化科學(xué)與工程學(xué)院,自動控制原理電子課件版本 2.02011年6月主編修改版,第六章 頻率特性分析法版本2.02011年6月主編修改版,華南理工大學(xué) 自動化科學(xué)與工程學(xué)院,制作:羅家祥 審校:胥布工,第六章 頻率特性分析,6.1 引言 6.2 頻率特性的基本概念 6.3 頻率特性圖示法 6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 6.6 穩(wěn)定裕度 6.7 基于開環(huán)對數(shù)頻率特性的系統(tǒng)性能分析 6.8 閉環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能指標(biāo) 6.9 利用MATLAB進(jìn)行控制系統(tǒng)的頻率特性分析 6.10 小結(jié),基本要求,1. 正確理解頻率特性的概念。 2. 熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，

2、熟記其幅相特性曲線及對數(shù)頻率特性曲線。 3. 熟練掌握由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線及開環(huán)對數(shù)相頻曲線的方法。 4. 熟練掌握由具有最小相位性質(zhì)的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)的方法。,返回子目錄,5. 熟練掌握乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)及其它們的應(yīng)用。 6. 熟練掌握穩(wěn)定裕度的概念及計算穩(wěn)定裕度的方法。 7. 理解閉環(huán)頻率特性的特征量與控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系。 8. 理解開環(huán)對數(shù)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系及三頻段的概念，會用三頻段的分析方法對兩個系統(tǒng)進(jìn)行分析與比較。,Part 6.1 引言,頻率特性： 是指一個系統(tǒng)對不同頻率的正弦波輸入時的響應(yīng)特性 頻

3、域分析法： 用研究頻率特性的方法研究控制系統(tǒng)的方法 頻域分析法的優(yōu)點： 1）不必特征根，采用圖解方法就可研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 2）系統(tǒng)的頻率特性可用實驗方法測出，具有明確的物理意義； 3）可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)； 4）用頻率法設(shè)計系統(tǒng)，可方便設(shè)計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。,6.2 頻率特性的基本概念,6.2.1 頻率響應(yīng)與頻率特性的定義,線性定常系統(tǒng)的頻率響應(yīng)： 在零初始條件下，系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 線性定常系統(tǒng)的頻率特性： 輸入：正弦信號； 輸出：正弦信號，頻率不變，幅值和相位發(fā)生變化。,若采用極坐標(biāo)將系統(tǒng)的正弦輸入信號和正弦輸出響應(yīng)表示為復(fù)數(shù)，則系統(tǒng)的頻率特性定義為： 系統(tǒng)的輸出

4、與輸入之復(fù)數(shù)比。,.1 頻率特性的基本概念(174頁),1.1 頻率特性的定義,RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù),輸入正弦信號,拉氏反變換，得電容端電壓,輸出電壓瞬態(tài)分量,穩(wěn)態(tài)分量,時，第一項趨于零， RC網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表示為,輸入正弦信號與輸出穩(wěn)態(tài)分量關(guān)系圖,6.2 頻率特性的基本概念,分析：該電路起到了低通濾波的作用。 1）當(dāng)頻率較低時，穩(wěn)態(tài)輸出電壓和輸入電壓幅值幾乎相等，且相位滯后較小，電路主要表現(xiàn)出電阻特性（=0時，輸入與穩(wěn)態(tài)輸出均為大小相等的直流電壓）。 2）隨著增大，穩(wěn)態(tài)輸出電壓的幅值迅速減小，相位滯后隨之增大，電路電容特性增強。 3）當(dāng)+，輸出電壓的幅值接近0，而相位滯后接近90，電路近似為一

5、電容。,幅頻特性,相頻特性,實頻特性,虛特性,稱為系統(tǒng)的頻率特性，描述系統(tǒng)在正弦輸入時，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和相角隨輸入頻率變化的規(guī)律。,頻率特性表達(dá)式,傳遞函數(shù)表達(dá)式,即,頻率特性的描述,課程小結(jié)（1）,1. 頻率響應(yīng) 頻率特性,定義一：,定義二：,定義三：,頻率特性的概念,設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，,由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。,給系統(tǒng)輸入一個幅值不變頻率不斷增大的正弦，,Ar=1 =0.5,=1,=2,=2.5,=4,曲線如下:,給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入,同頻率的正弦，幅值隨而變，相角也是的函數(shù)。,()大于零時稱相角超前，小于零時稱相角滯后。,頻率特性的物理意義,幅值A(chǔ)()隨著頻率升高而衰

6、減,例:,低頻信號,高頻信號,頻率特性反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì),與外界因素?zé)o關(guān)!,頻率特性表征了系統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入的響應(yīng)特性。,傳遞函數(shù)的一般形式,為傳函的極點。,輸入,輸出的拉氏變換,待定系數(shù),系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),時，瞬態(tài)分量為零,當(dāng)穩(wěn)定系統(tǒng)，極點實部為負(fù),求拉氏反變換，得系統(tǒng)輸出,頻率特性的一般形式,設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，正弦輸入時的輸出為：,系統(tǒng)穩(wěn)定，,頻率特性的推導(dǎo),頻率特性也是描述系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型，頻率響應(yīng)法 從頻率特性出發(fā)研究系統(tǒng)。,系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)情況下的衰減（或放大）特性；,幅頻特性,相頻特性,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出對不同頻率輸入信號的相位滯后（或超前）特性。,理論上可將頻率特

7、性的概念推廣到不穩(wěn)定系統(tǒng)，但是不穩(wěn)定系統(tǒng)的瞬態(tài)分量不會消失，瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量始終同時存在，不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性觀察不到。,穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，正弦信號的作用下 輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是正弦信號，和輸入頻率相同; 振幅與輸入信號振幅之比為幅頻特性； 相位與輸入信號相位差為相頻特性。 輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比得頻率特性。,頻率特性的定義:,幾點說明,輸出幅值與輸入幅值之比,為幅頻特性 A() =,為相頻特性() =, (j)=,稱為頻率特性,輸出相角與輸入相角之差,當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時,終值定理與解析條件,6.2 頻率特性的基本概念,頻率特性的實驗測量方法 按頻率特性的定義，系統(tǒng)（或元件）的頻率特性

8、也可方便地通過實驗方法求得，能通過實驗方法來建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是頻率特性法的突出特點。,在所關(guān)心的頻率范圍，按一定間隔改變輸入信號的頻率值，分別測得對應(yīng)的幅值比和相位差即可求得系統(tǒng)的頻率特性曲線。,6.2 頻率特性的基本概念 pass,將圖6-5所示控制系統(tǒng)視為信號處理單元，分別對輸入和輸出作傅立葉反變換得,分析：T(j)為反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。從快速性和準(zhǔn)確性的角度出發(fā)，最理想的情況為y(t)r(t)，T(j)=1。 理想的閉環(huán)曲線為矩形，矩形頻段內(nèi)的相位為0： 1）通常系統(tǒng)的有效信號往往集中于中低頻段，要求T(j)=1。 2）高頻段：|R(j)|0，如虛線所示。系統(tǒng)高頻段需濾除噪聲，

9、也要求|T(j)|0。,6.2.3 反饋控制系統(tǒng)的典型頻率特性,6.2 頻率特性的基本概念,理想的矩形閉環(huán)頻率特性很難實現(xiàn)，而閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型頻率特性如圖6-7： 閉環(huán)頻域性能指標(biāo)： M(0): 零頻振幅比 Mr: 諧振峰值 r: 諧振頻率 b: 帶寬頻率,閉環(huán)控制系統(tǒng)的幅頻特性M()=|T(j)|曲線有以下特點： （1）低頻部分幅值M()=變化比較平緩； （2）由于典型的閉環(huán)系統(tǒng)往往設(shè)計成欠阻尼的，有一對共軛主導(dǎo)極點，對某個頻率的輸入信號由最大值，M()出現(xiàn)峰值； （3）在峰值之后，曲線以較大的陡度衰減直至為零，即實際控制系統(tǒng)通常具有低通作用，因而存在一定的帶寬。,6.2 頻率特性的基本概

10、念,閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬取決于對重現(xiàn)信號能力的要求（對應(yīng)于時域響應(yīng)速度）和對高頻噪聲過濾的要求兩者的折衷。 例如，考慮兩個2階閉環(huán)系統(tǒng)如下：,兩個閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的峰值時間分別為：,6.2 頻率特性的基本概念,可見，系統(tǒng)帶寬越大，時域響應(yīng)的速度越快。,系統(tǒng)的頻率響應(yīng)很難直接求解時域響應(yīng)，因而直接在頻域內(nèi)分析系統(tǒng)； 頻率分析法的主要任務(wù)就是研究系統(tǒng)頻率響應(yīng)與時域響應(yīng)之間的關(guān)系，建立頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)之間的定量關(guān)系。,采用頻率響應(yīng)來分析控制系統(tǒng)時域響應(yīng)的基本思路：,頻率特性分析設(shè)計系統(tǒng)用幾何曲線表示，這些曲線有：,6.3 頻率特性圖示法,幅相頻率特性曲線,對數(shù)頻率特性曲線,對數(shù)幅相特性曲線,6.3 頻率

11、特性圖示法,P(): 實頻特性 Q(): 虛頻特性,A(): 幅頻特性 : 相頻特性,G(j)復(fù)平面上的表示,G(j)在復(fù)平面上滑過的軌跡,用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)表示頻率特性：,6.3 頻率特性圖示法,6.3.1 幅相頻率特性曲線,奈奎斯特曲線：(幅相頻率特性曲線，極坐標(biāo)曲線 ） G(j)隨從0變至+在復(fù)平面上連續(xù)變化而形成一條曲線，,曲線特征: 極坐標(biāo)：A(), , =0（或者 0）； +， 箭頭表明增大時軌跡的走向,特點： P()和A()為的偶函數(shù), Q()和()關(guān)于的奇函數(shù)，因此關(guān)于實軸對稱； 負(fù)頻率部分奈奎斯特曲線通常以虛線形式表示，無物理意義，有幾何意義。,為變量，幅值和相角表示在同一復(fù)

12、數(shù)平面圖上， 時，向量的端點在復(fù)平面上的運動軌跡即 的幅相頻率特性曲線。,繪制幅相特性曲線有兩種方法 對每一個 值計算幅值 和相角 ，然后將這些點 連成光滑曲線；,對每一個 值計算 ， 然后連接成光滑曲線。,圖示是慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線，為半圓。正實軸方向相角為零度線，逆時針方向正角度，順時針方向負(fù)角度。曲線上標(biāo)注 增大的方向。,1.幅相頻率特性曲線：簡稱幅相曲線（乃氏曲線、極坐標(biāo)圖）,6.3 頻率特性圖示法,6.3.2 對數(shù)頻率特性曲線（伯德圖，對數(shù)坐標(biāo)曲線）,橫坐標(biāo)： lg()的均勻刻度，但直接標(biāo)注 ，單位：rad/s 十倍頻程： 變化10倍稱一個十倍頻程(記dec）；,特點： 1）兩個頻率間

13、的幾何距離為：lg2-lg1，而不是2- 1。 2）橫坐標(biāo)采用對數(shù)刻度，相對展寬了低頻段而壓縮了高頻段，既有利于刻畫更廣頻率范圍的系統(tǒng)特性，又突出了低頻段的特性細(xì)節(jié)。,6.3 頻率特性圖示法,縱坐標(biāo)： 1)對數(shù)幅值，縱坐標(biāo)均勻刻 度，單位是分貝(dB）。 2)對數(shù)相頻特性的縱坐標(biāo)為相角，單位是度()。,優(yōu)點： 1) 將乘除運算轉(zhuǎn)化為加減運算，故可通過簡單的圖像疊加快速繪制高階系統(tǒng)的伯德圖 ； 若考慮G(j )= A1() ej1() +A2()ej 2()，則有 |G(j )|= lgA1()+lgA2() 2) 伯德圖還可通過實驗方法繪制，經(jīng)分段直線近似整理后，很容易得到實驗對象的頻率特性表

14、達(dá)式或傳遞函數(shù).,2對數(shù)頻率特性曲線（對數(shù)坐標(biāo)圖或伯德圖）,包括對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線。,頻率特性,對數(shù)幅頻特性,對數(shù)相頻特性,定義：,橫坐標(biāo)是頻率 ，采用對數(shù)分度，單位是rad/s。,對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)為對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是dB。,對數(shù)相頻特性曲線的縱坐標(biāo)為相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是。,繪制伯德圖時需要用半對數(shù)坐標(biāo)紙。,幅值相乘變?yōu)橄嗉樱喕鲌D。,對數(shù)坐標(biāo)系, 頻率特性的基本概念 （4）,5.1.3 頻率特性 G(jw) 的表示方法,幅頻,相頻,. 頻率特性,. 幅相特性(Nyquist),. 對數(shù)頻率特性(Bode),. 對數(shù)幅相特性(Nich

15、ols),對數(shù)幅頻,對數(shù)相頻,6.3 頻率特性圖示法,6.3.3 對數(shù)幅相特性曲線（尼科爾斯（N.B.Nichols）曲線）,橫坐標(biāo)為相位() 縱坐標(biāo)為對數(shù)幅值L()=20lgA(),繪制過程： 從伯德圖中分別讀取各頻率下L()和()的值， 在尼科爾斯坐標(biāo)系中確定相應(yīng)的點并將頻率作為參變量標(biāo)于各點旁， 然后以光滑曲線連接各點即可得到尼科爾斯曲線。,比例環(huán)節(jié),微分環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié),一階微分,二階微分,慣性環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié),6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,典型環(huán)節(jié),熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性及幾何圖形。,6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,n階線性定常系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性一般可表示為如下形式：,下面考慮四種基本因式

16、的頻率特性:,滿足上述系數(shù)要求的系統(tǒng)（6-17）為最小相位系統(tǒng)（定義見6.4.4節(jié)）。注意到控制系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，但閉環(huán)可以是穩(wěn)定的。顯然，需要擴(kuò)展式（6-17）中因式的類型。,幅相特性,G(s)=K,1 比例環(huán)節(jié),對數(shù)頻率特性,與頻率無關(guān)。 是實軸上的一個點，坐標(biāo)為（k，j0）。,幅相曲線,一個負(fù)的純虛矢量,矢量的模隨著的增大而減小,2 積分環(huán)節(jié),-20dB/dec,-20dB/dec,-20dB/dec,900,00,-900,相角均為-900,是一條直線，斜率-20dB/dec,積分環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性曲線,對數(shù)曲線求斜率,a,b,La,Lb,a,b,斜率=,=,La-Lb, a- b,例5.

17、1,求交接頻率c,c =0.4,斜率=,-7.96,lg1,=1時,則有,令,=1得：,(-21.94),lg5,L(1) = -7.96,= 20lg k,k=0.4,幅相曲線,G(s)=s,一個純虛矢量,1,2,3,4,矢量的模隨著的增大而增大,3 微分環(huán)節(jié),+20dB/dec,+20dB/dec,微分環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性曲線,相角均為900,+20dB/dec,900,00,-900,是一條直線，斜率+20dB/dec,4 慣性環(huán)節(jié),() = -tg-10.5 ,0,1,-14.5,0.97,-26.6,0.89,-45,0.71,-63. -68.2 -76 -84,0.45 0.37 0

18、.24 0.05,幅相曲線,幅相頻率特性 ( Nyquist )（3）,5.2.1 典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性,證明：慣性環(huán)節(jié) 的幅相特性為半圓,（下半圓）,幅相頻率特性 ( Nyquist )（4）,幅相特性,例3 系統(tǒng)的幅相曲線如圖所試，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,由曲線形狀有,由起點：,由j0：,慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻漸近曲線的分析,水平線低頻漸近線,斜率-20dB/dec的斜線高頻漸近線,慣性環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性曲線,-20,-20,26dB,=1/T為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率,交接頻率=5,交接頻率=2,4段直線方程怎么求得？,用漸近線的方式表示幅頻特性,必然存在誤差。最大誤差發(fā)生在交接頻率處，最大誤差為,利用

19、誤差曲線對近似曲線修正即得精確曲線 。 （圖示誤差曲線）,幅相曲線,實部衡為1，虛部隨增大而增大的矢量,矢量的模隨著的增大從1變化到無窮,G(s)= Ts+1,5 一階微分,+20,+20,=1/T為微分環(huán)節(jié)的交接頻率,與慣性環(huán)節(jié)以橫軸互為鏡像對稱,一階微分對數(shù)頻率特性曲線,交接頻率=2,交接頻率=0.4 增益K=0.03 20lg0.03=-30dB,5.2 幅相頻率特性 ( Nyquist )（6）, 振蕩環(huán)節(jié),5.2.1 典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線,振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線起始于點（1,j0），終止于點(0,j0)。曲線與虛軸 的交點坐標(biāo)為 ，此時的頻率為n，其曲線如圖5-16所示。,5.

20、2 幅相頻率特性 ( Nyquist )（7）,諧振頻率wr 和諧振峰值Mr,例4:當(dāng) ，時,5.2 幅相頻率特性 ( Nyquist )（8）,諧振頻率,諧振峰值,wr, Mr 不存在,面積一定，垂直的兩邊之積最小,5.2 幅相頻率特性 ( Nyquist )（9）,幅相特性,例5 系統(tǒng)的幅相曲線如圖所試，求傳遞函數(shù)。,由曲線形狀有,由起點：,由j(w0)：,由|G(w0)|：,振蕩環(huán)節(jié)L()漸近線分析,振蕩環(huán)節(jié)L(),-40,較小時，在=n附近，A()出現(xiàn)峰值，即 產(chǎn)生諧振。,出現(xiàn)諧振的條件是 0.707,諧振峰值 Mr對應(yīng)的頻率為諧振頻率r。,振蕩環(huán)節(jié)再分析,n,r,-40,2,n,n,

21、2,2,n,S,2,S,k,(s),G,w,+,w,+,w,=,(0 0.707),幅相曲線,矢量的虛部始終為正,1,7 二階微分,G(s)=T2s2+2Ts+1,二階微分的對數(shù)頻率特性,對數(shù)幅頻漸近曲線,+40,n,00.707時有峰值：,對數(shù)坐標(biāo)圖的對比,二階微分與振蕩環(huán)節(jié),積分與微分環(huán)節(jié),一階微分與慣性環(huán)節(jié),動畫,5.2 幅相頻率特性 ( Nyquist )（12）, 延遲環(huán)節(jié),5.3.1 開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性 （1）,5.3.1 開環(huán)幅相特性曲線的繪制,5.3.1 開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性 （2）,5.2.2 開環(huán)系統(tǒng)幅相特性曲線的繪制,例6,起點,終點, 5.3.1 開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻

22、率特性 （3）,例7, 5.3.1 開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性 （4）,例8,A:,B:, 5.3.1 開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性 （5）,例9 ，畫G(jw)曲線。,解,漸近線：,與實軸交點：,例5.2,解：,求交點：,曲線如圖所示：,開環(huán)幅相曲線的繪制,無實數(shù)解，所以與虛軸無交點,頻率特性,例5.5 繪制 開環(huán)幅相曲線。,解：,曲線位于第三象限,曲線位于第二象限,5.3.2 開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性 ( Bode) （1）,5.3.2 開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的繪制,-20,0,-20,例5.6已知,繪制其開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。,20lgK,L1,L1,L3,K比例環(huán)節(jié),-20,解：三個典型環(huán)節(jié)：比例K 、

23、積分 和慣性環(huán)節(jié) ， 各典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性曲線，如圖示。,-40,-20,0,-20,例5.6已知,繪制其開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。,20lgK,L1,L1,1,L3,3,1,K比例環(huán)節(jié),-20,解：三個典型環(huán)節(jié)：比例K 、積分 和慣性環(huán)節(jié) ， 各典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性曲線，如圖示。,-40,（1）低頻段斜率為-20vdB/dec，v是開環(huán)系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；,（2） 時，低頻段或延長線（ 的頻率范圍內(nèi)有交接頻率）的分貝值是 。低頻段或延長線與零分貝線的交點頻率為 。,（3）典型環(huán)節(jié)交接頻率處，斜率變化。遇到 環(huán)節(jié)，斜率改變20 dB/dec；遇到 環(huán)節(jié)，斜率改變40 dB/dec。,繪制對數(shù)幅

24、頻特性曲線的步驟：,（1）將開環(huán)傳遞函數(shù)化成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的標(biāo)準(zhǔn)形式；,（2）根據(jù)開環(huán)增益K，計算20lgK的分貝值；,（3） 在=1處，標(biāo)出L(1)=20lgK點，過（20lgK，1）點繪制斜率為-20vdB/dec的低頻段；,（4）根據(jù)交接頻率繪制出相應(yīng)線段；,（5）若有必要，利用誤差修正曲線，對交接頻率附近的曲線修正，得到精確的特性曲線。,-20,-40,-20,-40,52,38,5,14,-10,繪制 的對數(shù)曲線。,解：,對數(shù)相頻：相頻特性的畫法為：起點，終點，轉(zhuǎn)折點。,例5.8,-90o,-114.7o,對數(shù)幅頻：低頻段：20/s -20,轉(zhuǎn)折頻率：1 5 10,斜率： -40

25、0 -40,修正值：,各環(huán)節(jié)角度：,-20,-40,-40,繪制曲線, 交接頻率: 1=0.2，2=1，3=5； =0.2，斜率-20變?yōu)?40； =1， 斜率-40變?yōu)?20； =5， 斜率-20變?yōu)?60。, ， 。,例5.9繪制 對數(shù)幅頻特性曲線。,解整理成典型環(huán)節(jié)的串聯(lián),低頻段漸近線=1,L(1)=6.02 dB，過（6.02，1）點畫-20 dB/dec的直線。,對曲線進(jìn)行必要的修正。,曲線如圖,5.3.3 由對數(shù)頻率特性曲線確定開環(huán)傳遞函數(shù) （1）,例4 已知 Bode 圖，確定 G(s)。,解,解法,解法,解法,證明：,含義：40是斜率，H是高度,5.3.3 由對數(shù)頻率特性曲線確

26、定開環(huán)傳遞函數(shù) （2）,例5 已知 L(w)，寫出G(s)，繪制 j(w), G(jw)。,6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,6.4.4 最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng),考慮線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，若在右半s平面上既無零點也無極點，則稱其為最小相位傳遞函數(shù)，否則，稱其為非最小相位傳遞函數(shù)；對應(yīng)的系統(tǒng)分別稱為最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)。,最小相位的概念來源于網(wǎng)絡(luò)理論，其含義是：在(0, +)上具有完全相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當(dāng)從0至無窮大變化時，最小相位系統(tǒng)的相角變化量最小，故而得名。,1最小相位和非最小相位傳遞函數(shù),6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,對比可見，非最小相位系統(tǒng)對階躍響應(yīng) 相對變化滯后。這是

27、由于相對于正向疊 加s ，反向疊加s起到了延緩輸出變化 的作用。當(dāng)輸入信號變化迅速，其微分 作用較大，反向疊加會導(dǎo)致輸出出現(xiàn)反向響應(yīng)。,6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,例6-5 已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線如圖6-36所示。試寫出其傳遞函數(shù)。,由最小相位系統(tǒng)的幅頻特性，能唯一確定其相頻特性，反之亦然。,轉(zhuǎn)折頻率：1=2, 2=10,漸近線斜率：,6.4 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,2延遲環(huán)節(jié),幅相頻率特性： 圓：圓心為原點,半徑為1； 當(dāng)=0+，相角不斷變負(fù)，即特性由(1, j0)開始，順時針周而復(fù)始地轉(zhuǎn)動，且越大，轉(zhuǎn)動越快。,對數(shù)頻率特性: 漸近線與橫坐標(biāo)(0dB線)重合； = 0 +，相角不斷

28、變負(fù)。,延遲環(huán)節(jié)本身以及任何含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)均為非最小相位系統(tǒng)。 越大，滯后越大。這種滯后對反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性非常不利，具有大延遲時間的對象也因此被認(rèn)為是難以控制的。,例題,-20,0,L(),-20,3.06,+40,-28,最小相角系統(tǒng)，由L()求G(s)例,2.93,1,L()dB,0dB,40,-1.94,24.08,-20,-40,-40,-20,8,最小相角系統(tǒng)，由L()求G(s)例,3,1,2,30,50,9.49,0.78,0.1,47.2,L()dB,0dB,-20,-40,-40,-20,最小相角系統(tǒng)，由L()求G(s)例,4,3,-4.4,1,43.4,最小相角系統(tǒng)，由L

29、()求G(s)例,時曲線斜率均為-20(n-m)dB/dec； 時的相角是否等于-90(n-m)，判斷系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。,只有比例、積分、微分、慣性、振蕩、一階微分和二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。,6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),通過F(s) 函數(shù)映射，在F(s)平面有封閉曲線F,2幅角原理 （證明略）,s平面任選一點s=+j，通過F(s) 映射,在F(s)平面找到相應(yīng)的象。（如圖）,任選一條不過F(s)零極點的封閉曲線S，包圍F（s)一個零點,其他零極點在S外,F(s) 零、極點分布,F(s)映射,研究s在s平面上沿封閉曲線S順時針運動旋轉(zhuǎn)一周， F包圍坐標(biāo)原點的次數(shù)和運動方向。,F(s

30、)為s的有理分式，分子分母同階,若s平面上s包圍F(s)的Z個零點，和P個極點，且s不通過F(s)的任一零、極點；,當(dāng)s沿s順時針旋轉(zhuǎn)一圈時，F(xiàn)(s)的相角變化為,F(s)相角為,若s 包圍了F(s) 一個零點，F(xiàn)(s)的其它零極點都位于s 之外,當(dāng)s在s平面上沿s順時針運動一周時，向量s-zi相角變化-2，其他向量相角變化為零，則,F(s)的相角變化-2；即F(s)曲線在F平面繞原點順時針轉(zhuǎn)一圈；,2幅角原理（續(xù)）,幅角原理（續(xù)）,若s平面上的封閉曲線s包圍F(s)的Z個零點、P個極點，且不通過F(s)的任一零點和極點,當(dāng)s沿s順時針旋轉(zhuǎn)一圈時，F(xiàn)(s)曲線繞原點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為,表示曲線

31、逆時針包圍平面坐標(biāo)原點的周數(shù)，,表示不包圍坐標(biāo)原點。,表示曲線順時針包圍平面坐標(biāo)原點的周數(shù)，,注意： F(s)的Z個零點個數(shù)必須為0，否則不穩(wěn)定；因為F(s)的零點就是閉環(huán)的極點,6.5.2幅角原理的應(yīng)用,順時針方向包圍s平面整個右半平面， 由虛軸和半徑 R 半圓組成。幅角原理中的Z和P表示F（s ）位于右半s平面的零極點數(shù)。,s沿 正虛軸變化, 通過 映射到 平面, 是開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖;,s沿 半徑無窮大的半圓變化， 因nm,當(dāng) 時, ，映射到平面上即坐標(biāo)原點；,曲線由三部分組成 (1)正虛軸，即 ， 從0到 ; (2)半徑為無窮大的右半圓; (3)負(fù)虛軸,即 ， 從 變化到0。,s沿

32、 的負(fù)虛軸變化，在 平面映射是極坐標(biāo)圖關(guān)于實軸的鏡像,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為Z=0，即N =P。 若閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，奈氏曲線穿過臨界點，這時奈氏曲線逆時針包圍臨界點的周數(shù)不定。,N奈氏曲線即s沿虛軸 到 取值，頻率特性 的幅相曲線逆時針包圍臨界點 的周數(shù)；,P輔助函數(shù)右半s平面極點數(shù)； （開環(huán)的極點在右半s平面）,Z輔助函數(shù)右半s平面零點數(shù)。（閉環(huán)的極點在右半s平面）,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:奈氏曲線逆時針包圍 (-1,j0)的周數(shù)R等于開環(huán)傳遞函數(shù)右半S平面極點數(shù)P，即N =P；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)正實部特征根個數(shù)Z按下式確定,奈氏判據(jù)可表述如下：,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（續(xù)）,例5.11

33、,應(yīng)用奈氏判據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，下面是開環(huán)傳函,由0+變化,開環(huán)幅相特性曲線與負(fù)實軸的交點為,如圖中的實線所示。以實軸對稱軸，繪出時的幅相曲線，圖中虛線。,奈氏曲線順時針包原點2周，,閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點數(shù)為,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,例5.12 系統(tǒng) 開環(huán)頻率特性,由0+變化,開環(huán)幅相特性曲線與負(fù)實軸的交點為,圖中的實線。以實軸為對稱軸，繪出 的幅相曲線，圖中的虛線。,奈氏曲線（圖中的虛線和實線合成的曲線）不包圍(-1,j0),閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點數(shù),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,解：,解:,繪制=0+幅相曲線, 如圖中實線; 繪制=-0幅相曲線，如圖中虛線.,G(s)H(s)在右半S平面的極點數(shù)為1，即P=

34、1,由奈氏判據(jù)求出閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點數(shù)為,奈氏曲線逆時針包圍(-1,j0)點1周，即R=1。,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,6.5.3 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用,10型開環(huán)系統(tǒng),例6-6 判斷兩個單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性,起點：0型系統(tǒng)，其奈奎斯特曲線起始于點(K,j0); 終點：以(n m)90=180方向終止于坐標(biāo)原點。因此其奈奎斯特曲線不可能包圍(1, j0)點。N=0。,Z=N+P=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。,6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),起點：0型系統(tǒng)，其奈奎斯特曲線起始于點(K, j0); 終點：以(n m)90=270方向終止于坐標(biāo)原點。當(dāng)=0時，奈奎斯特曲線與負(fù)實軸的交點隨著K的增

35、大向左移動， 當(dāng)K較少時，曲線不包圍(1, j0)點。Z=N+P=0，系統(tǒng)穩(wěn)定; 當(dāng)K較大時，曲線包圍(1, j0)點。Z=2+0=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。F(s)在右半s平面有兩個零點(T(s)在右半s平面2個極點)。,6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),比較：,兩者區(qū)別僅在于后者添加了一個小慣性環(huán)節(jié)，兩者的頻率特性在低頻段幾乎沒有差別。但當(dāng)開環(huán)系數(shù)K較大時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性卻有本質(zhì)區(qū)別。情況（2）中的小慣性環(huán)節(jié)引入了附加相位滯后，使其奈奎斯特曲線穿過負(fù)實軸進(jìn)入了第二象限，因而在開環(huán)系數(shù)較大時，可能包圍臨界點(1, j0)。 在一些實際控制系統(tǒng)中，傳感、執(zhí)行、放大等環(huán)節(jié)的時間常數(shù)相對于對象的時間常數(shù)而言非常小

36、，建模時常被忽略?？赡艿玫藉e誤結(jié)果。,6.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),例6-7 某反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，判斷穩(wěn)定性。,當(dāng)K1時，奈奎斯特曲線逆時針（與最小相位傳遞函數(shù)情況不同）包圍點(1, j0)一圈，由于P=1，Z=N+P= 1+1=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)K1時，則奈奎斯特曲線不包圍點(1, j0)， P=1，Z=N+P=0+1=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 當(dāng)K=1 時，奈奎斯特曲線穿過(1, j0)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,幅角原理定義封閉曲線 不穿過F(s)的任一零極點，原點有開環(huán)極點，不能直接應(yīng)用,封閉曲線 在坐標(biāo)原點以半徑 的半圓從右側(cè)繞過開 環(huán)極點所在的坐標(biāo)原點，其它不變，如圖示,2含有積分環(huán)節(jié)的開

37、環(huán)系統(tǒng),圖中小半圓的表達(dá)式,逆時針方向,在其平面上的映射為,半徑無窮大的圓弧順時針方向從v90經(jīng)過0轉(zhuǎn)到-v90,若S取圖中實軸上半部，s沿四分之一無窮小圓弧逆時針變化，即=00+時，=0+90，G(s)H(s)曲線沿著半徑為無窮大的圓弧順時針方向轉(zhuǎn)過v90。, 從G(j0+)H(j0+)開始，逆時針補畫R，角度為v90的圓弧， G(j)H(j)曲線的方向是順時針，對應(yīng)的是00+。將這兩部分銜接起來，得到有積分環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)的幅相曲線。如圖示,綜上所述，有積分環(huán)節(jié)幅相曲線的繪制：, 繪制=0 0+以外的幅相曲線，其起點對應(yīng)=0+；,通常只繪制=0的幅相曲線，根據(jù)公式,Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則

38、，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定;,Z=閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù),實用方式:通過開環(huán)幅相曲線在（-1,j0）點左側(cè)負(fù)實軸上的穿越次數(shù)獲得N。,增大時，曲線自上而下通過（-1,j0）點左側(cè)的負(fù)實軸，為正穿越；(如圖),增大時，曲線自下而上穿過（-1,j0）點左側(cè)的負(fù)實軸，為負(fù)穿越。(如圖),z,=,p,_,2N,閉環(huán)特征根在s右半平面的個數(shù),開環(huán)極點在s右半平面的個數(shù),自下向上為負(fù)穿越，用N表示；,自上向下為正穿越，用N表示；,G(j)H (j)起于1之左實軸，為半次穿越,開環(huán)幅相曲線穿越1之左實軸的次數(shù),N=N-N,關(guān)于半次穿越,例5.14已知,應(yīng)用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解:,開環(huán)幅相曲線如圖,因N=

39、0， P=0， 所以Z=P-2N=0-0=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,K變化時，曲線與負(fù)實軸的交點頻率1、2、3不變， 僅幅相曲線與負(fù)實軸的交點沿負(fù)實軸移動。,例3.15確定圖示系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。（K=10，P=0，v=1）,已知,1，2，3,K=K1、K2和K3時，幅相曲線與負(fù)實軸的交點 （G(j1),j0，（G(j2),j0，G(j3),j0）位于（-1,j0）點。,解:三個交點頻率為1，2，3，且321， 開環(huán)傳遞函數(shù)的形式,當(dāng)K=10時,即,對應(yīng)值,曲線如圖,閉環(huán)穩(wěn)定K值范圍,在L()0dB的頻段中，看()穿越-線的次數(shù)。,從上向下為負(fù)穿越，從下向上為正穿越,單位圓對應(yīng)0分貝線,單位圓之外對

40、應(yīng)0分貝線以上,單位圓之內(nèi)對應(yīng)0分貝線以下,6.5.4對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù),負(fù)實軸對應(yīng)于-180線。,奈氏判據(jù)的另一種形式,正穿越 對數(shù)相頻特性曲線在增大時,從下向上穿越180線(相角滯后減小 )；,L()0范圍內(nèi)與180線的穿越點,負(fù)穿越 對數(shù)相頻特性曲線在增大時，從上向下穿越180線( 相角滯后增大)。,(-1, j0) 左側(cè)實軸穿越點,開環(huán)特征方程不穩(wěn)定根，p=0, 正負(fù)穿越數(shù)之和-1,閉環(huán)不穩(wěn)定。,p=0,z=2,Z=p-2N=-（）,存在積分環(huán)節(jié)，在相頻特性曲線 處，逆時針 方向補畫相角v900虛線，v是積分環(huán)個數(shù)。計算正負(fù)穿 越次數(shù)時，虛線看成曲線的一部分。,綜述如下： 反饋系統(tǒng)，閉環(huán)

41、特征方程正實部根的個數(shù)Z，根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)右半平面極點數(shù)P和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻特性曲線與 線的正負(fù)穿越數(shù)之 差確定,Z為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,6.5.4. 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù) (2),例6 已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。,6.5.4 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù) (3),6.5.4 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù) (6),包圍(-1,j0)點，不穩(wěn)定,階躍響應(yīng)c(t)發(fā)散,過(-1,j0)點，臨界穩(wěn)定,c(t)等幅振蕩,不包圍(-1,j0)點，閉環(huán)穩(wěn)定,c(t)收斂,c(t)收斂,系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性即穩(wěn)定裕度用幅值裕度Kg和相位裕度來度量。,幅相曲線距 (-1,j0)點越遠(yuǎn)。相對穩(wěn)定性越好,6.

42、6 穩(wěn)定裕度,不包圍(-1,j0)點，閉環(huán)穩(wěn)定,j,0,1,g,G(j),-1,6.6.1幅值裕度和相位裕度,1. 幅值裕度Kg,相頻特性為-180時，其幅值的倒數(shù)定義為幅值裕度，對應(yīng)的頻率g為相位穿越頻率。,物理意義：閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)增益再放大Kg倍，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,Kg1，即Kg(dB)0，幅值裕度為正系統(tǒng)穩(wěn)定 Kg1，即Kg(dB)0，幅值裕度為負(fù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定,一般選擇幅值裕度Kg(dB)為（620）dB,幅值裕度,j,0,1,c,G(j)(jc),G(jc)(jc),-1,2. 相位裕度,開環(huán)頻率特性的幅值為1時，其相角與180之和定義為相位裕度，對應(yīng)的頻率c為截止頻率。,物理意義：閉環(huán)

43、穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性再滯后度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,從負(fù)實軸算起，逆時針為正，順時針為負(fù)； 穩(wěn)定系統(tǒng)，相位裕度為正，即0 不穩(wěn)定系統(tǒng)，相位裕度為負(fù)，即0,越大，穩(wěn)定性越好。但過大會影響系統(tǒng)其他性能， 一般為3060,相位裕度,動畫,穩(wěn)定性方面，幅值裕度大優(yōu)于幅值裕度小的系統(tǒng)， 但幅值裕度不能完全表示系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如圖兩個系統(tǒng)幅值裕度相同，但曲線A表示的系統(tǒng)比B表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性好。,Kg相同,穩(wěn)定程度不同,有些系統(tǒng)僅用相位裕度證明穩(wěn)定性即可，但有許多系統(tǒng)則不行。最小相位系統(tǒng)可以用相位裕度證明穩(wěn)定性。,0dB,-180o,c, = 180o +G(jc) (jc),伯德圖對應(yīng)的g和,幅值裕度

44、,相位裕度,z=1-,=2,不穩(wěn)定,對數(shù)判據(jù)例題,方法1：令開環(huán)頻率特性虛部等于零，求得g，將g代入實 部求與實軸的交點，可求解Kg 。 方法2：根據(jù)(g)=-180，用試探法求g，可求解Kg 。,求取c是重點和難點,一般利用典型環(huán)節(jié)漸近特性。步驟為,3. 截止頻率c的計算,（1） 分段寫對數(shù)幅頻特性曲線的漸近方程表達(dá)式，即,(2) 求Ai()=1的解，考查i-1i是否成立。若成立，c=，停止計算；否則，令i=i+1，重新計算Ai()=1。,4. Kg的計算,求K=1和K=20時的Kg(dB)和。,例5.17已知,解：,P=0，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,K=1,圖示, 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,(2) K=20，

45、,圖示,閉環(huán)不穩(wěn)定。,例5.24如圖系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線。 求：(1) ？(2) 要求=30時K=？,解：最小相位系統(tǒng)，得,得K=10,(1) 0.1c10，有,得c=1,（2） 求=30的c，c滿足,試探得c=0.17,=30時的K，又知0.1c10，有,解:(1) K=5，得20lg 5=14 dB。 L(1)=14dB，1=1,2=10，,例5.25,(1) K=5，繪制伯德圖，求c和； (2)用頻域法求臨界穩(wěn)定的K值。,由圖知，1c10,于是有 ，,得c2.24,（2)求臨界穩(wěn)定的K值，令,試探法g=3.1，則,幅值裕度,所以，K增大為K=52.112=10.56時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,例5.28 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，已知k=10,T=0.1,c=5。要求c不變，如何改變k和T才能使相角裕度提高到45o?,近似,解:,下一次,6.6 穩(wěn)定裕度,6.6.2 穩(wěn)定裕度與時域性能指標(biāo)的關(guān)系,穩(wěn)定裕度與閉環(huán)時域性能指標(biāo)之間的聯(lián)系，通常以研究相位裕度與時域性能指標(biāo)之間的量化關(guān)系為主,6.6 穩(wěn)定裕度,6.6.2 穩(wěn)定裕度與時域性能指標(biāo)的關(guān)系,穩(wěn)定裕度與閉環(huán)時域性能指標(biāo)之間的聯(lián)系，通常以研究相位裕度與時域性能指標(biāo)之間的量化關(guān)系為主,1、典型二階閉環(huán)系統(tǒng)的