九年級數(shù)學下冊 28 銳角三角函數(shù)教案 （新版）新人教版

1、第二十八章銳角三角函數(shù)直角三角形是一種特殊的三角形，在應用中有較一般三角形優(yōu)良的特點，例如面積比較好計算等，且其他三角形通過增補、分割等可以轉化為直角三角形，從而簡化計算，所以對直角三角形進行專門的研究很有必要本章將學習直角三角形中邊與角之間的關系，并運用這些關系解決一些測量等方面的問題本章第一節(jié)學習銳角的三角函數(shù)，教材中首先從學生熟悉的問題情境“汽車爬坡”引出如何描述坡面的傾斜程度，引出了直角三角形中兩直角邊的比即坡比，還引出了正切、坡角等概念教材中通過學生熟悉的一副三角板引出對于這一部分，由于學生已經學習了在直角三角形中30的角所對的直角邊等于斜邊的一半，因此可讓學生計算得到這些特殊角的三

2、角函數(shù)值，教材最后介紹了用計算器求三角函數(shù)值第二節(jié)主要是應用直角三角形知識解決一些簡單的實際問題帶領學生探索直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊的關系，同時經歷觀察、操作、歸納等學習數(shù)學的過程，感受數(shù)學說理的必要性、說理過程的嚴謹性，養(yǎng)成科學認真的學習態(tài)度讓學生了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應用三角函數(shù)讓學生掌握30，45，60等特殊角的三角函數(shù)值，并學會用計算器求銳角的三角函數(shù)值，經歷操作、歸納等學習數(shù)學的過程，感受數(shù)學思考過程的合理性，養(yǎng)成科學、嚴謹?shù)膶W習態(tài)度本章教學約需5課時，具體分配如下：281銳角三角函數(shù)3課時282解直角三角形及其應用2課時281銳角三角函數(shù)第1課時銳角三角函數(shù)知識與

3、技能了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中兩邊的比過程與方法通過銳角三角函數(shù)的學習進一步認識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應的思想，體會數(shù)學在解決實際問題中的應用情感、態(tài)度與價值觀1通過學習培養(yǎng)學生的合作意識2通過探究提高學生學習數(shù)學的興趣重點銳角三角函數(shù)的概念難點銳角三角函數(shù)概念的理解一、問題引入問題：操場上有一個旗桿，老師讓小明去測量旗桿高度(演示學校操場上的國旗圖片)小明站在離旗桿底部10米遠處，目測旗桿的頂部，視線與水平線的夾角為34，并已知目高為1米，然后他很快就算出旗桿的高度了你想知道小明是怎樣算出的嗎？師：通過前面的學習，我們知道利用相似三角形

4、的方法可以測算出旗桿的大致高度，實際上我們還可以像小明那樣通過測量一些角的度數(shù)和一些線段的長度，來測算出旗桿的高度這就是我們本章即將探討和學習的利用銳角三角函數(shù)來測算物體長度或高度的方法下面我們一起來學習銳角三角函數(shù)二、新課教授問題：為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行灌溉現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30，為使出水口的高度為35 m，那么需要準備多長的水管？分析：問題轉化為在RtABC中，C90，A30，BC35 m，求AB.根據(jù)“在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半”，即，可得AB2BC70 m，即需要準備70

5、m長的水管思考1：在上面的問題中，如果使出水口的高度為50 m，那么需要準備多長的水管？學生按與上面相似的過程，自主解決結論：在一個直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于.思考2：如圖，任意畫一個RtABC，使C90，A45，計算A的對邊與斜邊的比，能得到什么結論？分析：在RtABC中，C90，由于A45，所以RtABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB 2AC 2BC 22BC 2，ABBC，.結論：在一個直角三角形中，如果一個銳角等于45，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于.從上面這兩個問題的結論中可知，在一個Rt

6、ABC中，C90，當A30時，A的對邊與斜邊的比都等于，是一個固定值當A45時，A的對邊與斜邊的比都等于，也是一個固定值這就引發(fā)我們產生這樣一個疑問：當A取其他一定度數(shù)的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？探究：任意畫RtABC和RtABC，使得CC90，AA，那么與有什么關系？你能解釋一下嗎？分析：由于CC90，AA，所以RtABCRtABC，則.結論：在直角三角形中，當銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何改變，A的對邊與斜邊的比都是一個固定值正弦的概念：在RtABC中，C90，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即sinA.例如，當A30時，sinAsin

7、30；當A45時，sinAsin45.注意：1sinA不是sin與A的乘積，而是一個整體2正弦的三種表示方式：sinA，sin56，sinDEF.3sinA是線段之間的一個比值，sinA沒有單位提問：B的正弦怎么表示？要求一個銳角的正弦值，我們需要知道直角三角形中的哪些邊？sinB.思考3：一般地，當A取一定度數(shù)的銳角時，它的鄰邊與斜邊的比是否也是一個固定值？探究：如圖，在RtABC與RtABC中，CC90，AA，那么與有什么關系？教師用類比的方法引導學生思考、討論結論：在直角三角形中，當銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何改變，A的鄰邊與斜邊的比是一個固定值余弦的概念：在RtABC中，C

8、90，把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即cosA.思考4：當A取一定度數(shù)的銳角時，它的對邊與鄰邊的比是否也是一個固定值？學生自立探究，得出結論，教師給出新的概念正切的概念：如圖，在RtABC中，C90，a，b分別是A的對邊和鄰邊我們把A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即tanA.銳角A的正弦、余弦、正切都叫做A的銳角三角函數(shù)三、舉例應用，鞏固新知例1如圖，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值解：如圖(1)，在RtABC中，由勾股定理得AB5.因此sinA，sinB.如圖(2)，在RtABC中，由勾股定理得AC12.因此sinA，sinB.例2如圖，在

9、RtABC中，C90，AB10，BC6，求sinA，cosA，tanA的值解：由勾股定理得AC8，因此sinA，cosA，tanA.四、練習新知為測量如圖所示的上山坡道的傾斜度，小明測得數(shù)據(jù)如圖所示，則該坡道傾斜角的正切值是()A.B4C.D.答案C五、課堂小結銳角三角函數(shù)概念及表示方法：sinA，cosA，tanA.本節(jié)課采用問題引入法，從探究性問題入手，讓學生主動參與學習活動，用特殊值探究銳角的三角函數(shù)時，學生們表現(xiàn)得非常積極，從作圖、找邊角、計算各個方面進行探究，學生發(fā)現(xiàn)：特殊角的三角函數(shù)值可以用勾股定理求出，然后探究：三角函數(shù)與直角三角形的邊、角有什么關系？三角函數(shù)與三角形的形狀有關系

10、嗎？整節(jié)課都在緊張而愉快的氣氛中進行學生非常活躍，大部分人都能積極動腦、積極參與第2課時30，45，60角的三角函數(shù)值知識與技能熟記30，45，60角的三角函數(shù)值，并能根據(jù)這些值說出對應的銳角度數(shù)過程與方法1培養(yǎng)學生把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力2培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括的能力情感、態(tài)度與價值觀經歷觀察、操作、歸納等學習數(shù)學的過程，感受數(shù)學思考過程的合理性，感受數(shù)學說理的必要性、說理過程的嚴謹性，養(yǎng)成科學、嚴謹?shù)膶W習態(tài)度重點30，45，60角的三角函數(shù)值難點與特殊角的三角函數(shù)值有關的計算一、復習鞏固如圖，在RtABC中，C90.(1)a，b，c三者之間的關系是_；(2)sinA_，cos

11、A_，tanA_；sinB_，cosB_，tanB_(3)若A30，則_二、共同探究，獲取新知(1)探索30，45，60角的三角函數(shù)值師：觀察一副三角尺，其中有幾個銳角？它們分別等于多少度？生：一副三角尺中有四個銳角，它們分別是30，60，45，45.師：sin30等于多少呢？你是怎樣得到的？與同伴交流生：sin30.sin30表示在直角三角形中，30角的對邊與斜邊的比值，與直角三角形的大小無關我們不妨設30角所對的邊長為a(如圖所示)，根據(jù)“直角三角形中30角所對的邊等于斜邊的一半”的性質，則斜邊長等于2a.根據(jù)勾股定理，可知30角的鄰邊長為a，所以sin30.師：cos30等于多少？tan

12、30呢？生：cos30.tan30.師：我們求出了30角的三個三角函數(shù)值，還有兩個特殊角45，60，它們的三角函數(shù)值分別是多少？你是如何得到的？生：求60角的三角函數(shù)值可以利用求30角的三角函數(shù)值的三角形因為30角的對邊和鄰邊分別是60角的鄰邊和對邊，利用上圖，很容易求得sin60，cos60，tan60.師生共同分析：我們一起來求45角的三角函數(shù)值含45角的直角三角形是等腰直角三角形如圖，設其中一條直角邊為a，則另一條直角邊也為a，斜邊為a.由此可求得sin45，cos45，tan451.教師多媒體課件出示：三角函數(shù)角度sincostan3045160師：這個表格中的30，45，60角的三角

13、函數(shù)值需要熟記另一方面，要能夠根據(jù)30，45，60角的三角函數(shù)值說出相應的銳角的大小第一列，隨著角度的增大，正弦值在逐漸增大第二列，余弦值隨角度的增大而減小師：第三列呢？生：第三列是30，45，60角的正切值，首先45角是等腰直角三角形中的一個銳角，所以tan451比較特殊隨著角度的增大，正切值也在增大(2)進一步探究銳角的三角函數(shù)值如圖，在RtABC中，C90.sinA，cosA，sinB，cosB，sinAcosB，cosAsinB.AB90，B90A，即sinAcosBcos(90A)，cosAsinBsin(90A)任意一個銳角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值三、例題講解，鞏

14、固新知例1計算：(1)sin30cos45；(2)sin260cos260tan45.解：(1)sin30cos45；(2)sin260cos260tan45()2()2110.例2(1)如圖(1)，在RtABC中，C90，AB，BC，求A的度數(shù)；(2)如圖(2)，AO是圓錐的高，OB是底面半徑，AOOB，求的度數(shù)解：(1)在圖(1)中，sinA，A45.(2)在圖(2)中，tan，60.四、隨堂練習1計算4sin603tan30的值為()A.B2C3D0答案A2計算sin245cos245的值為()A2 B1 C0 D3答案B五、課堂小結1探索30，45，60角的三角函數(shù)值sin30 ，si

15、n45，sin60；cos30 ，cos45，cos60；tan30 ，tan451，tan60.2能進行含30，45，60角的三角函數(shù)值的計算3能根據(jù)30，45，60角的三角函數(shù)值說出相應銳角的大小本節(jié)課的教學中，課堂環(huán)節(jié)設置齊全，能很好地貫徹執(zhí)行教育理念，對理解教育的教育模式把控較好；課堂中學生分組很好，能給學生構建一個寬松、和諧的學習環(huán)境和氛圍；課件制作很好，能很好地配合指導自學書的使用，提高了課堂的效率；學生積極參與，學習積極性較高；課堂習題的設置有梯度，題目能面向全體學生第3課時一般銳角的三角函數(shù)值知識與技能1會使用計算器求銳角的三角函數(shù)值2會使用計算器根據(jù)銳角三角函數(shù)的值求對應的銳

16、角過程與方法在做題、計算的過程中，逐步熟悉計算器的使用方法情感、態(tài)度與價值觀經歷計算器的使用過程，熟悉其按鍵順序重點利用計算器求銳角三角函數(shù)的值難點計算器的按鍵順序一、復習回顧教師多媒體課件出示：1.三角函數(shù)角度sincostan3045602.已知2sin(90)0，求銳角的度數(shù)二、講解新知師：上節(jié)課我們學習了幾個特殊角的三角函數(shù)值，但如果是任意的一個銳角，如何求它的三角函數(shù)值呢？比如讓你求sin18的值生：作一個有一個銳角為18的直角三角形，量出它的對邊和斜邊長，求它的比值學生作圖、測量、計算生：約等于0.309 016 994.師：對！用這種方法確實可以求出任意一個銳角三角函數(shù)的近似值，

17、古代的數(shù)學家、天文學家也采用過這樣的方法，只是誤差較大經過許多數(shù)學家不斷的改進，不同角的三角函數(shù)值被制成了常用表，三角函數(shù)表大大改進了三角函數(shù)值的應用今天，三角函數(shù)表又被帶有、和功能鍵的計算器所取代教師拿出計算器師：我們學習這種計算器的使用方法請同學們拿出自己的計算器學生拿出自己的計算器師：先按鍵，再按有關三角函數(shù)的鍵教師板書：1求已知銳角的三角函數(shù)值例1求sin40的值(精確到0.000 1)師：比如我們求sin40的值，依次按、這幾個鍵師：因為要求精確到萬分位，我們將得到的數(shù)字四舍五入到萬分位即可，你得到四舍五入后的值是多少？生：0.642 8.例2求cos5438的值(精確到0.000

18、1)師：我們依次按、這幾個鍵學生操作后回答2由銳角三角函數(shù)值求銳角例3已知sinA0.508 6，求銳角A.師：你有沒有注意到計算器上有個鍵？生：注意到了師：這個鍵叫做第二功能鍵，我們用這個可以轉換鍵盤上的功能鍵的作用我們依次按、.師：這樣我們得到的是多少度，要化成度分秒的形式，我們按那個第二功能鍵和度分秒鍵.學生操作后回答結果三、鞏固提高1sin0.231 6，cos0.231 6，則銳角與銳角之間的關系是()AB180C90 D90答案C2使用計算器計算：sin5218_(精確到0.001)答案0.7913已知cos0.741 6，利用計算器求出的值約為_(精確到1)答案42四、課堂小結1

19、用計算器求一個銳角的三角函數(shù)值2學習了已知一個函數(shù)值，求它對應的銳角的大小如何讓學生體會用計算器的好處，我設計一個正弦值難于直接得到的sin18的值讓學生計算在沒有提示的情況下，學生有的用筆算，通過作圖測量用正弦的定義計算，我肯定了學生的這種探索式作法，同時提出了使用計算器的簡便性，在較短的時間內能正確計算，也顯示了其較強的計算能力282解直角三角形及其應用282.1解直角三角形知識與技能在理解解直角三角形的含義、直角三角形五個元素之間關系的基礎上，會運用勾股定理、直角三角形的兩銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形過程與方法通過綜合運用勾股定理、直角三角形的兩銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，

20、逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力情感、態(tài)度與價值觀在探究學習的過程中，培養(yǎng)學生合作交流的意識，使學生認識到數(shù)與形相結合的意義與作用，體會到學好數(shù)學知識的作用，并提高學生將數(shù)學知識應用于實際的意識，從而體驗“從實踐中來，到實踐中去”的辯證唯物主義思想，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣讓學生在學習過程中感受到成功的喜悅，產生后繼學習的激情，增強學好數(shù)學的信心重點直角三角形的解法難點靈活運用勾股定理、直角三角形的兩銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形一、復習回顧師：你還記得勾股定理的內容嗎？學生敘述勾股定理的內容師：直角三角形的兩個銳角之間有什么關系呢？生：兩銳角互余師：直角三角形中，30的角所對的直角邊與

21、斜邊有什么關系？生：30的角所對的直角邊等于斜邊的一半二、共同探究，獲取新知1概念師：由sinA，你能得到哪些公式？生甲：acsinA.生乙：c.師：我們還學習了余弦函數(shù)和正切函數(shù)，也能得到這些式子的變形我們知道，在直角三角形中有三個角、三條邊共六個元素，能否從已知的元素求出未知的元素呢？教師板書：在直角三角形中，由已知的邊角關系，求出未知的邊與角，叫做解直角三角形2練習教師多媒體課件出示：(1)如圖(1)和(2)，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)解直角三角形(1)(2)師：圖(1)中是已知一角和一條直角邊解直角三角形的類型，你怎樣解決這個問題呢？生1：根據(jù)cos60，得到AB，然后把AC邊的長和60角的余弦值

22、代入，求出AB邊的長，再用勾股定理求出BC邊的長，B的度數(shù)根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得到生2：先用直角三角形兩銳角互余得到B為30，然后根據(jù)30的角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出AB的值，再由sin60得到BCABsin60，從而得到BC邊的長師：同學們說出的這幾種做法都是對的下面請同學們看圖(2)，并解這個直角三角形學生思考，計算三、例題講解例1如圖，在RtABC中，C90，AC，BC，解這個直角三角形解：tanA，A60，B90A906030，AB2AC2.例2如圖，在RtABC中，C90，B35，b20，解這個直角三角形(結果保留小數(shù)點后一位)解：A90B903555.tanB，a2

23、8.6.sinB，c34.9.四、鞏固練習1在ABC中，C90，下列各式中不正確的是()AbatanBBabcosACc Dc答案B2在RtABC中，C90，c10，b5，則A_，SABC_答案30五、課堂小結師：本節(jié)課，我們學習了什么內容？學生回答師：你還有什么不懂的地方嗎？學生提問，老師解答本節(jié)課在教學過程中，能靈活處理教材，敢于放手讓學生通過自主學習、合作探究達到理解并掌握知識的目的，并能運用知識解決問題在本章開頭，我?guī)ьI學生復習了與解直角三角形有關的知識點，使學生在解決問題時能想到并能熟練運用在解有特殊角的三角形時有不止一種解法，我鼓勵學生勇于發(fā)言，給了他們展示自我的機會，鍛煉他們表達

24、自己想法的能力，并且增強了他們的自信心282.2應用舉例知識與技能使學生掌握仰角、俯角的概念，并會正確運用這些概念和解直角三角形的知識解決一些實際問題過程與方法讓學生體驗方程思想和數(shù)形結合思想在解直角三角形中的用途情感、態(tài)度與價值觀使學生感知本節(jié)課與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，進一步認識到將數(shù)學知識運用于實踐的意義重點將實際問題轉化為解直角三角形問題難點將實際問題中的數(shù)量關系如何轉化為直角三角形中元素間的關系求解一、新知講授1講解師：在實際生活中，解直角三角形有著廣泛的應用，例如我們通常遇到的視線、水平線、鉛垂線就構成了直角三角形教師在黑板上作圖師：當我們測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線

25、上方的角叫做仰角；在水平線下方的角叫做俯角注意：(1)仰角和俯角必須是視線與水平線所夾的角，而不是與鉛垂線所夾的角；(2)仰角和俯角都是銳角師：測量仰角、俯角有專門的工具，是測角儀2練習新知教師多媒體課件出示：如圖，CDEB90，F(xiàn)BAC，從A看D的仰角是_；從B看D的俯角是_；從A看B的_角是_；從D看B的_角是_；從B看A的_角是_答案：從A看D的仰角是2，從B看D的俯角是FBD，從A看B的仰角是BAC，從D看B的仰角是3，從B看A的俯角是1.二、例題講解例12012年6月18日，“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現(xiàn)交會對接“神舟”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面343 km的圓形軌道上運行，如圖，當組合體運行到地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與P點的距離是多少？(地球半徑約為6 400 km，取3.142，結果取整數(shù))分析：從組合體中能直接看到的地球表面最遠點，是視線與地球相切時的切點如圖，本例可以抽象為以地球中心為圓心、地球半徑為半徑的O的有關問題：其中點F是組合體的位置，F(xiàn)Q是O的切線，切點Q是從組合體中觀測地球時的最遠點，的長就是地球