金融數(shù)學(xué)().ppt

1、2020/7/31,1,金融數(shù)學(xué),方先明 南京大學(xué)金融與保險學(xué)系 E-mail:,2020/7/31,2,導(dǎo)論 第一章金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第二章金融市場 第三章資產(chǎn)組合復(fù)制和套利 第四章股票與期權(quán)的二叉樹模型 第五章連續(xù)時間模型和Black-Scholes公式 第六章Black-Scholes模型的解析方法 第七章對沖 第八章互換 第九章債券模型,金融數(shù)學(xué),2020/7/31,3,導(dǎo) 論,在人類發(fā)展史上，伴隨著第一張借據(jù)的出現(xiàn)，金融（finance）就產(chǎn)生了。時至今日，金融學(xué)已形成了宏觀金融學(xué)和微觀金融學(xué)兩個分支，其需要解決的核心問題是：如何在不確定（uncertainty）的環(huán)境下，通過資本市場對

2、資源進(jìn)行跨期的（intertemporally）最優(yōu)配置（allocation）。金融發(fā)展史表明，伴隨著金融學(xué)兩個分支學(xué)科的深化與發(fā)展，金融數(shù)學(xué)（Financial Mathematics）應(yīng)運而生。,2020/7/31,4,如何理解：在不確定（uncertainty）的環(huán)境下，對資源進(jìn)行跨期的最優(yōu)配置？ 荒島魯賓遜傳奇（Robinson Crusoe） 思路：求一個終身的跨期最優(yōu)消費投資問題； 工具：隨機最優(yōu)控制（Stochastic optimal control）,導(dǎo) 論,2020/7/31,5,被薩繆爾森譽為金融理論“專家中的專家”、站在眾多“巨人肩上的巨人”的莫頓(Robert C

3、Merton)曾這樣說過： 優(yōu)美的科學(xué)不一定是實用的，實用的科學(xué)也未必給人以美感，而現(xiàn)代金融理論卻兼?zhèn)淞藘?yōu)美和實用。,導(dǎo) 論,2020/7/31,6,導(dǎo)論,一、金融與金融數(shù)學(xué) 二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程 三、金融數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)框架,2020/7/31,7,一、金融與金融數(shù)學(xué),金融是一個經(jīng)濟學(xué)的概念和范疇。通常，“金”是指資金，“融”是指融通，“金融”則指資金的融通，或者說資本的借貸，即由資金融通的工具、機構(gòu)、市場和制度構(gòu)成的有機系統(tǒng)，是經(jīng)濟系統(tǒng)的重要組成部分。 金融核心：在不確定的環(huán)境下，通過資本市場，對資源進(jìn)行跨期（最優(yōu)）配置。 如何理解其與傳統(tǒng)經(jīng)濟學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別？,2020/7/31,9,微觀金融

4、分析和宏觀金融分析分別從個體和整體角度研究金融運行規(guī)律。 金融決策分析主要研究金融主體投資決策行為及其規(guī)律，服務(wù)于決策的“金融理論由一系列概念和定量模型組成。” 金融中介分析主要研究金融中介機構(gòu)的組織、管理和經(jīng)營。包括對金融機構(gòu)的職能和作用及其存在形態(tài)的演進(jìn)趨勢的分析；金融機構(gòu)的組織形式、經(jīng)濟效率、混業(yè)與分業(yè)、金融機構(gòu)的脆弱性、風(fēng)險轉(zhuǎn)移和控制等。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,10,宏觀金融分析從整體角度討論金融系統(tǒng)的運行規(guī)律，重點討論貨幣供求均衡、金融經(jīng)濟關(guān)系、通貨膨脹與通貨緊縮、金融危機、金融體系與金融制度、貨幣政策與金融宏觀調(diào)控、國際金融體系等問題。 與經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展歷程相反，金

5、融學(xué)是先有宏觀部分再有微觀部分。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,11,完整的現(xiàn)代金融學(xué)體系將以微觀金融學(xué)和宏觀金融學(xué)為理論基礎(chǔ)，擴展到各種具體的應(yīng)用金融學(xué)學(xué)科，而數(shù)理化（同時輔助以實證計量）的研究風(fēng)格將貫穿從理論到實踐的整個過程。在現(xiàn)代金融學(xué)的發(fā)展歷程中，兩次華爾街革命產(chǎn)生了一門新興的學(xué)科，即金融數(shù)學(xué)。隨著金融市場的發(fā)展，金融創(chuàng)新日益涌現(xiàn)，各種金融衍生產(chǎn)品層出不窮，這給金融數(shù)學(xué)的發(fā)展提出了更高的要求，同時也為金融數(shù)學(xué)這一門學(xué)科的發(fā)展提供了廣闊的空間。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,12,金融數(shù)學(xué)是金融學(xué)自身發(fā)展而衍生出來的一個新的分支，是數(shù)學(xué)與金融學(xué)相結(jié)合而產(chǎn)生的一門新的學(xué)

6、科，是金融學(xué)由定性分析向定性分析與定量分析相結(jié)合，由規(guī)范研究向?qū)嵶C研究為主轉(zhuǎn)變，由理論闡述向理論研究與實用研究并重，金融模糊決策向精確化決策發(fā)展的結(jié)果。,一、金融與金融數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)：研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。 金融學(xué)：研究運作“金錢”事務(wù)的科學(xué)。 金融數(shù)學(xué)：運用數(shù)學(xué)工具來定量研究金融問題的一門學(xué)科。 與其說是一門獨立學(xué)科，還不如說是作為一系列方法而存在 。,2020/7/31,13,金融數(shù)學(xué)是金融經(jīng)濟學(xué)的數(shù)學(xué)化。金融經(jīng)濟學(xué)的主要研究對象是在證券市場上的投資和交 易，金融數(shù)學(xué)則是通過建立證券市場的數(shù)學(xué)模型，研究證券市場的運作規(guī)律。 金融數(shù)學(xué)研究的中心問題是風(fēng)險資產(chǎn)（包括衍生金融產(chǎn)品和

7、金融工具）的定價和最優(yōu)投資策略的選擇，它的主要理論有：資本資產(chǎn)定價模型，套利定價理論，期權(quán)定價理論 及動態(tài)投資組合理論。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,14,金融數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容： 風(fēng)險管理 效用優(yōu)化 金融數(shù)學(xué)的主要工具是隨機分析和數(shù)理統(tǒng)計 （特別是非線性時間序列分析）。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,15,一、金融與金融數(shù)學(xué),依據(jù)研究方法：,2020/7/31,16,規(guī)范金融數(shù)學(xué)： 強調(diào)運用高等數(shù)學(xué)、最優(yōu)化、概率論、微分方程等知識對金融原理進(jìn)行推導(dǎo)。 如：第一次華爾街革命（資產(chǎn)組合問題、資本資產(chǎn)定價模型）；第二次華爾街革命（期權(quán)定價公式）。 實證金融數(shù)學(xué)： 強調(diào)運用統(tǒng)計

8、學(xué)、計量經(jīng)濟學(xué)、時間序列分析等知識對金融原理進(jìn)行假設(shè)檢驗，并得出一些經(jīng)驗結(jié)論。 如：資產(chǎn)定價模型的檢驗、行為金融學(xué)的檢驗。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,17,金融數(shù)學(xué)的研究歷程大致可分為三個時期： 第一個時期為發(fā)展初期： 代表人物有阿羅（K . A rrow ）、德布魯（G . Debreu ）、林特納（J . Lintner ）、馬柯維茨（H . M . Markowitz ）、夏普（w . Sharp ）和莫迪利亞尼（F . Modigliani ）等。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,18,盡管早在1900年，法國人L巴恰利爾(Louis Bachelier)在一

9、篇關(guān)于金融投機的論文中，已經(jīng)開始利用隨機過程工具探索那時尚無實物的金融衍生資產(chǎn)定價問題，但巴恰利爾僅是那個時代的一顆孤星，因為在隨后的半個世紀(jì)中，他的論文只是在幾個數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家手中流傳（奠定了現(xiàn)代金融學(xué)發(fā)展的基調(diào)）。 馬科維茨(HMarkowitz)1952年發(fā)表的那篇僅有14頁的論文既是現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論的發(fā)端，同時也標(biāo)志著現(xiàn)代金融理論的誕生。稍后，莫迪利亞尼和米勒(Modigliani and Miller，1958)第一次應(yīng)用無套利原理證明了以他們名字命名的M-M定理。直到今天，這也許仍然是公司金融理論中最重要的定理。同時，德布魯(Debreu，1959)和阿羅(Arrow，1964)

10、將一般均衡模型推廣至不確定性經(jīng)濟中，為日后金融理論的發(fā)展提供了靈活而統(tǒng)一的分析框架。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,19,這些基礎(chǔ)性的工作在后來的10年內(nèi)得到了兩個重要的發(fā)展：其一是，在馬科維茨組合理論的基礎(chǔ)上，夏普(Sharpe，1964)、林特納(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示，在市場出清狀態(tài)，所有投資者都將選擇無風(fēng)險資產(chǎn)與市場組合證券的線性組合；另一重要發(fā)展是對阿羅-德布魯理論的推廣。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)顯示了阿羅-德布魯理論在一些基本的金融理論問題中的應(yīng)用，并在一般均衡體系中證明了M-M定理，第一次將阿羅-

11、德布魯框架與套利理論聯(lián)系起來。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,20,第二個時期為1969-1979 年： 這一時期是金融數(shù)學(xué)發(fā)展的黃金時代，主要代表人物有莫頓（R . Merton ）、布萊克（F . Black ）、斯科爾斯( M . Scholes ）、考克斯（J . Cox ）、羅斯（.Ross）、魯賓斯坦（M . Rubinstein ）、萊克(S.Lekoy）、盧卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,21,首先，CAPM理論得到一系列的發(fā)展。在夏普

12、-林特納-莫辛單期CAPM基礎(chǔ)上，布萊克(Black，1972)對借貸引入限制，推導(dǎo)了無風(fēng)險資產(chǎn)不存在情況下的“CAPM”。薩繆爾森(1969)、魯賓斯坦(Rubinstein，1974，1976)、克勞斯和利曾伯格(Kraus and Litzenberger，1978)以及布倫南(Brennan，1970)等將馬科維茨的靜態(tài)分析擴充至離散時間的多期分析，得到了跨期CAPM。莫頓(Merton，1969，1971，1973a)則提供了連續(xù)時間的CAPM版本(稱為ICAPM)。羅斯(Ross，1976a)提出與CAPM競爭的套利定價理論(APT)。值得強調(diào)的是，莫頓的這些文獻(xiàn)不僅是建立了連續(xù)時

13、間內(nèi)最優(yōu)資產(chǎn)組合模型和資產(chǎn)定價公式，而且首次將伊藤積分引入經(jīng)濟分析。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,22,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,1970年代最具革命性意義的事件無疑當(dāng)數(shù)布萊克和斯科爾斯(Black and Scholes，1973)推導(dǎo)出簡單的期權(quán)定價公式，以及莫頓(Merton，1973b)對該定價公式的發(fā)展和深化。 在這個階段的后期，哈里森和克雷普斯(Harrison and Kreps，1979)發(fā)展了證券定價鞅理論(theory of martingale pricing)，這個理論在目前也仍然是金融研究的前沿課題。 同一時期另一引人注目的發(fā)展是非對稱信息分析方法開始使

14、用。,2020/7/31,23,金融數(shù)學(xué)發(fā)展的第三個時期： 1980 年至今是金融數(shù)學(xué)發(fā)展的第三個時期，是成果頻出、不斷成熟完善的時期。該期間的代表人物有達(dá)菲（D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黃（C . F . Huang ）等。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,24,1980年代以后，資產(chǎn)定價理論和不完全信息金融市場分析繼續(xù)發(fā)展。在資產(chǎn)定價理論方面，各種概念被統(tǒng)一到阿羅-德布魯一般均衡框架下，顯得更為靈活和適用。鞅定價原理逐漸在資產(chǎn)定價模型中占據(jù)了中心位置，達(dá)菲和黃(Duffle and Huang，1985)等在此基

15、礎(chǔ)上大大地推廣了布萊克-斯科爾斯模型。 在非對稱信息分析方面，非合作博弈論及新產(chǎn)業(yè)組織理論的研究方法得到廣泛應(yīng)用。戴蒙德(Diamond，1984)在利蘭-派爾模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步揭示了金融中介因風(fēng)險分散產(chǎn)生的規(guī)模經(jīng)濟利益，并提出了金融中介代理最終貸款者監(jiān)督借款企業(yè)的效率優(yōu)勢。戴蒙德和迪布維克(Diamond and Dybvig，1983)建立了提供流動性調(diào)節(jié)服務(wù)的銀行模型；戴蒙德(1989)、霍姆斯特龍和梯羅爾(Holmstrom and Tirole，1993)又以道德危險(moral hazard)現(xiàn)象為基礎(chǔ)，解釋了直接金融和中介金融共存的理由。至此，金融中介最基本的經(jīng)濟功能得到了較為完

16、整的模型刻畫。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,25,三、金融數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)框架,2020/7/31,26,第一部分是金融數(shù)學(xué)方法篇，闡述了金融數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)方法和計量經(jīng)濟學(xué)在金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，重點講述了微積分、線性代數(shù)、概率論、計量經(jīng)濟學(xué)在金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。 第二部分是金融數(shù)學(xué)方法核心篇，闡述了資本資產(chǎn)定價模型和期權(quán)定價模型。 第三部分是金融數(shù)學(xué)應(yīng)用篇，闡述了金融數(shù)學(xué)在貨幣市場、外匯市場、證券市場的應(yīng)用。,三、金融數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)框架,2020/7/31,27,多多交流，多加指正!,方先明，男，管理學(xué)博士，理論經(jīng)濟學(xué)博士后流動站出站，從事金融理論與政策及金融風(fēng)險控制研究。 通信地址:南京市

17、漢口路22號 南京大學(xué)商學(xué)院 ，210093 E-mail ：,2020/7/31,28,第一章金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用 第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用 第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,29,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,一、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 （一）連續(xù)復(fù)利和實際利率,若在任何時刻 ，某人在銀行存款總額為A(t)，計算周期為h0，則在t=h，初始的存款總額A(0)增至A(h),2020/7/31,30,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,利息,僅僅考慮利息的大小是沒有意義的，必須考慮本金和存期,稱單位時間內(nèi)的相對回報率r(h)為0,h上的利率,20

18、20/7/31,31,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,32,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,一般而言，利率r不是常數(shù)，若記rj為時間區(qū)間jh,(j+1)h上的定期存款利率，則在時刻t=kh，存款總額為：,若h=1， rj=r，則,2020/7/31,33,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,通常利率是指年利率，活期利率類似于期限為1天的定期，但它始終是單利。,在美國的利率史上，曾經(jīng)有過長期利率低于短期利率的例子，這種情況會在什么情況下出現(xiàn)？ 在經(jīng)濟由高速增長階段進(jìn)入衰退階段時會出現(xiàn)。,2020/7/31,34,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,對給定t0(由于r為年利率，t的單位

19、為年)，記k=t/h，則在時刻t的存款總額A(t;h)(其中對任意h大于0，A(0;h)=A(0)，,2020/7/31,35,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,A(t)稱為是由（常值）利率為r連續(xù)復(fù)利得到的存款總額。,注意：是 的一個近似，而不是相反。,2020/7/31,36,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,考慮任何一個時間區(qū)間t,t+h(h0)，則瞬時利率被定義為瞬時單位時間中的相對回報率，即,解此微分方程得,2020/7/31,37,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,只要利率是非負(fù)的，總有,即，銀行存款總額是非減的。 基于此，銀行存款是無風(fēng)險的。,2020/7/31,38,第一節(jié)微積分在數(shù)

20、理金融中的應(yīng)用,附：,2020/7/31,39,例：求100元本金，以10%復(fù)利兩年的終值 每年計算復(fù)利一次 半年計算復(fù)利一次 連續(xù)計算復(fù)利 能得出什么結(jié)論？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,40,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,41,（二）連續(xù)復(fù)利利率與名義利率,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,42,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：名義利率為10% ，期限為2 年，求： （1）半年計算復(fù)利一次的實際年利率； （2）連續(xù)計算復(fù)利的實際年利率。 能得出什么結(jié)論？,2020/7/31,43,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,

21、2020/7/31,44,（三）銀行按揭貸款,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,貸款P元，年利率為r，分n期等額償還，每期應(yīng)償還多少？,已知現(xiàn)值求年金（資金還原公式）,2020/7/31,45,例：某人貸款余額為20萬元，年利率為6 %，計劃辦理5 年銀行按揭，每個月月未應(yīng)向銀行還款多少錢？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,46,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,47,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：汽車每輛售價100000元，成交時付款34000元，其余66000元分11個月付款，即每月6000 元，試以月息4.2 ，求其現(xiàn)值。,（四）分期付款,

22、已知年金求現(xiàn)值,2020/7/31,48,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,49,（五）銀行貼現(xiàn),第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,應(yīng)得兌現(xiàn)額,實得兌現(xiàn)額,2020/7/31,50,例 面值5000元的匯票，20天后到期，銀行月息為6，求貼息額與兌現(xiàn)額。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,51,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,課后思考,應(yīng)得兌現(xiàn)額（4980.08） 應(yīng)貼利息(19.92) 實際貼息(20) 實際兌現(xiàn)額(4980),2020/7/31,52,某客戶于2010年11月1日將10萬元存入商業(yè)銀行，選擇2年期的整存整取定期存款。2011年11月1

23、日由于急于購買住房需要資金，鑒于定期存款未到期支取將視同活期存款計算利息，導(dǎo)致?lián)p失一部分利息收入。因此，該客戶決定不將存款取出，而是先向商業(yè)銀行申請1年期貸款，貸款按季計息，然后待存款到期時歸還。假設(shè)2010年11月份2年期定期存款利率為2.70%，2011年11月活期存款利率為0.72%，2011年11月份1年期貸款利率為5.58%。 問題：在不考慮其它情況的條件下,上述決定是否合理？通過計算試闡述你的理由。(2008金融學(xué)聯(lián)考),第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,53,答案： 判斷一種行為合理與否的標(biāo)準(zhǔn)是收益與成本對比原則。假定存款人不取存款，其收益為2年期定期存款的收益

24、：10000022.70%=5400元 (2分) 一年期貸款的實際利率： 。 一年期貸款的利息成本為：1000005.70%=5700元。(5分) 其收益小于成本，因此不取存款的行為不合理。(1分) 更何況，提前支取存款還可以獲得一定的活期存款的收益，這將在一定程度上降低提前支取存款的損失，也即變相降低不取款行為的收益。 假定存款人提取存款，其收益為：1000000.72%=720元。取款與不取款的凈損失為1020元。由此判斷，該客戶的選擇是不合理的，應(yīng)該提取存款。（2分）,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,54,假定某公司由于業(yè)務(wù)需要，在六個月后要借入500萬資金，借期半年

25、，現(xiàn)行利率水平為年利6%。公司擔(dān)心六個月后利率會上漲，因此希望利用FRA鎖定借款利率。假定交易雙方商定FRA的協(xié)定利率為6.50%。六個月后，如果市場利率確實上漲了，譬如市場利率上漲為7.00%，請問公司的實際借款利率為多少？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,55,FRA交易：公司在金融市場上買入FRA合約，交易的品種為六個月后起算的六月期FRA，交易金額等同于融資金額。 交易結(jié)果：公司作為FRA的買方，獲得FRA結(jié)算金，其數(shù)額計算如下：,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,56,由于結(jié)算金在FRA起算時收取，也就是借款期開始之日，離借款到期歸還本金和利息尚

26、有六個月，所以公司可將這筆結(jié)算金進(jìn)行投資獲利。按當(dāng)時的市場利率7.00%投資六個月，獲得收益計算如下： 12077.2947%180/360 = 422.71 結(jié)算金加上結(jié)算金的投資收益，共計：12500元。 六個月后，公司所借的500萬元到期，應(yīng)計利息為： 50000007%180/360 = 175000 從中減去FRA交易獲得的結(jié)算金和結(jié)算金投資收益： 175000 - 12500 = 162500 則公司借款的實際成本為年利： （162500/5000000）2100%=6.5%。實際借款利率與FRA協(xié)定利率相當(dāng)接近，基本達(dá)到預(yù)期的保值目標(biāo)。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/

27、7/31,57,某債券面額為1000元，5年期，票面利率為10%，現(xiàn)以950元的發(fā)行價向全社會公開發(fā)行。（1）若投資者認(rèn)購后持至第3年末以995元的市價出售，則持有期收益率是多少？（2）若投資者認(rèn)購后持至期滿，則其到期收益率是多少？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,58,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（12.11%，11.58%）,2020/7/31,59,某公司當(dāng)前支付的紅利為1元/股，第一年和第二年的盈利增長率和紅利增長率均為20%，第三年盈利增長率和紅利增長率下降到15%，從第四年開始，盈利增長率和紅利增長率下降到6%，并一直維持這個水平。如果該公司股票的值為1.5

28、，市場組合回報率12%，無風(fēng)險收益率為4%，那么一個理性的投資者愿意為這只股票支付的最高價格是多少？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,60,理性的投資者對一項資產(chǎn)支付的價格不會高于該資產(chǎn)的內(nèi)在價值。 由CAPM得，該股票的必要回報率為 又由題意可知，投資者持有該股票各年所得紅利如下：,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,61,顯然，該股票從第4年開始符合固定增長率定價模式，第3年末的內(nèi)在價值為： 進(jìn)一步又可算出該股票當(dāng)期內(nèi)在價值： 14.41（元） 理性投資者愿意為這只股票支付的最高價格為14.41元。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,6

29、2,（六）利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)計算時間最優(yōu)問題 例為投資買入的土地以下面的公式增值： 在連續(xù)計算復(fù)利下貼現(xiàn)率為0.09，為使土地的現(xiàn)值最大，應(yīng)該持有該土地多久？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,63,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,64,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,二、微分方法的運用 （一）邊際效用函數(shù)的分析 例：已知總成本函數(shù) 利用微積分知識做出總成本、平均成本和邊際成本三者之間關(guān)系的圖形。 課后習(xí)題！,2020/7/31,65,（二）經(jīng)濟函數(shù)最優(yōu)化 例：已知一個企業(yè)的總收益水平是 總成本函數(shù)是 設(shè)，求其最大利潤,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用

30、,2020/7/31,66,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,建立利潤函數(shù) 一階條件 二階條件,2020/7/31,67,某個企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為，其中K和L分別為資本和勞動的投入量，資本和勞動的價格分別為r和w。請寫出該企業(yè)的成本函數(shù)C（q,r,w）的具體形式。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,68,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,由該企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)可以知道，該企業(yè)必定會在K=L時組織生產(chǎn)，否則有一種要素存在浪費現(xiàn)象。（3分） 因此，生產(chǎn)函數(shù)可以表示為（2分） 可以得到成本最小化時的（2分） 所以企業(yè)的成本（3分）,2020/7/31,69,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用

31、,三、積分方法的運用 （一）凈投資時間積分的測度 例：給定凈投資，且當(dāng)時初始資本存量是150，求資本函數(shù)，即時間路徑,2020/7/31,70,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,為什么？,2020/7/31,71,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：邊際儲蓄傾向， 當(dāng)收入是25時，儲蓄為5。 求儲蓄函數(shù)。,2020/7/31,72,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,73,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（二）消費者剩余和生產(chǎn)者剩余的測度 例：若市場所銷售商品的數(shù)量和市場價格是由需求函數(shù)決定的，設(shè)一個利益最大化的廠商所面臨的需求函數(shù)是 ，其邊際成本函數(shù)為 求消費者剩余

32、。,2020/7/31,74,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,收益函數(shù)TR 邊際成本等于邊際收益 市場均衡價格與產(chǎn)量 消費者剩余,2020/7/31,75,令消費者的需求曲線為 ，、 0 ，并假定征收100t%的銷售稅。試求： （1）征稅后消費者剩余損失； （2）政府征稅而提高的收益； （3）分析并說明征稅后總的福利水平將下降。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,76,（1）設(shè)價格為,時，消費的需求量為,又設(shè)價格為,時，消費的需求量為,消費者剩余損失,（2）政府征稅而提高的收益,（3）征稅后總的福利水平變化等于消費者剩余損失減去政府征稅而提高的收益，兩者之差等于：,0，

33、 得證。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,77,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,四、微分方程和差分方程的運用 （一）運用微分方程決定動態(tài)平衡點 例：給定需求函數(shù)和供給函數(shù)，均衡價格是：。 若市場上價格的變化率是正的，且為關(guān)于超額需求的線性函數(shù) 分析在什么條件下，當(dāng)時，將趨近于，這個條件就是市場上的動態(tài)價格穩(wěn)定的條件。,2020/7/31,78,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,79,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,80,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（二）運用可分離變量微分方程求投資函數(shù) 例：若邊際儲蓄傾向s和邊際資本產(chǎn)出比率R

34、都是常數(shù)，計算可達(dá)到預(yù)期增長所需的投資函數(shù)。,2020/7/31,81,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,82,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（三）運用差分方程制定滯后收入決定模型,2020/7/31,83,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：給出 求解。,2020/7/31,84,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,計算Y1,Y0并檢驗。,2020/7/31,85,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（一）矩陣的運用 對于一個簡單的二部門經(jīng)濟，當(dāng)Y=C+I，商品市場是均衡的，當(dāng)貨幣供給（Ms）等于貨幣需求（Md）時，貨幣市場是均衡的，貨幣需求由貨幣的預(yù)備交易需求（M

35、t）和特殊需求（Mz）組成。 例：一個二部門經(jīng)濟 求均衡收入和均衡利率。,2020/7/31,86,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,87,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（二）證券組合收益率和風(fēng)險的測度 例：某投資組合由一個風(fēng)險資產(chǎn)組合和一個無風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成，風(fēng)險資產(chǎn)組合中包括兩個證券A、B，它們的預(yù)期收益率分別為10%和8%，證券A的方差為，證券B的方差為，協(xié)方差為，兩種證券權(quán)重均為0.5，無風(fēng)險證券的預(yù)期收益率為5%，在證券組合中的權(quán)重為0.25，試計算該投資組合的總預(yù)期收益率和總風(fēng)險。,2020/7/31,88,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020

36、/7/31,89,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,二、特殊行列式和矩陣的應(yīng)用 （一）雅可比(Jacobi) 行列式,對m個n（m=n）元函數(shù),2020/7/31,90,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：已知 利用雅可比行列式判斷其函數(shù)相關(guān)性。,2020/7/31,91,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,設(shè),種產(chǎn)品的市場需求映射為,其中,為價格向量,為需求向量,就是第,種產(chǎn)品的需求函數(shù),2020/7/31,92,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,93,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,94,壟斷廠商的利潤函數(shù)為,廠商要決定一個產(chǎn)出向量,，使利潤最大化

37、，根據(jù)一階條件,即每種產(chǎn)品的邊際成本都等于這種產(chǎn)品的各種邊際收益之和,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,95,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（二）海塞行列式,2020/7/31,96,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,如果|H|的所有主子式為正，則|H|為正定的， 滿足極小值的二階條件；,如果|H|的所有主子式的符號在負(fù)與正之間交替出現(xiàn)， 則|H|為負(fù)定的，滿足極大值的二階條件；,2020/7/31,97,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：已知需求函數(shù)和總成本函數(shù)為： 試求：（1）； （2）檢驗利潤函數(shù)的一階條件； （3）利用海塞行列式檢驗二階條件，使利潤最大化。,

38、2020/7/31,98,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,99,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,100,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,一、隨機過程的含義,1. 如果對變化過程的全過程做一次觀察,得到一個位置與時間關(guān)系的函數(shù)x1(t ),若再次觀察，又得到函數(shù)x2(t ), ,因而得到一族函數(shù). 2. 如果在時刻t觀察質(zhì)點的位置x(t ),則x(t )是一個隨機變量,這樣對于每個時刻t便得到一個隨機變量X(t ),于是就得到一族隨機變量X(t),t0（最初始時刻為t=0）,它描述了此隨機的運動過程.,2020/7/31,101,定義1 設(shè)E是

39、一隨機實驗,樣本空間為=，參數(shù)T(-,+),如果對每個 ,總有一個確定的時間函數(shù)X(,t)與之對應(yīng),這樣對于所有的 ,就得到一族時間t的函數(shù), 稱此族時間t的函數(shù)為隨機過程,而族中每一個函數(shù)稱為這個隨機過程的樣本函數(shù)。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,102,定義2：設(shè)E是一隨機實驗，樣本空間為=，參數(shù)T(-,+),如果對任意t T ，有一定義在上的隨機變量X(,t)與之對應(yīng),則稱X(,t),t T為隨機過程，簡記為X(t),t T 或X(t),也可記為X(t).,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,103,注釋： (1) 隨機過程X(t),t T是定義

40、在T上的二元函數(shù)，可以從兩個角度去理解, 因而有如上的兩個定義。 在理論分析往往用隨機變量族的描述方式，在實際測量和處理中往往采用樣本函數(shù)族的描述方式。 (2)通常將隨機過程X(t),t T 解釋為一個物理系統(tǒng)， X(t) 表示系統(tǒng)在時刻t所處的狀態(tài), X(t)的所有可能狀態(tài)所構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間，記為I，對于給定的t0 T，及x I,X(t0)=x 說成是在時刻 t0，系統(tǒng)處于狀態(tài) x。 (3)從定義2的角度上看，隨機過程是有限維隨機變量的推廣。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,104,隨機變量： 設(shè)E是隨機試驗，它的樣本空間是 ,如果對其中的每一個 i，總有一個實數(shù)

41、X( i)與之對應(yīng)，這樣就得到一個定義在S上的單值實值函數(shù)X=X()，稱之為隨機變量。 隨機變量X是定義在樣本空間上的取值為實數(shù)的函數(shù)，即樣本空間中每一個點，也就是每個基本事件都有實數(shù)軸上的點與之對應(yīng)。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,105,利用拋擲一枚硬幣的試驗定義,此時，樣本空間,相應(yīng)的樣本函數(shù),第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,106,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,107,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,108,二、隨機過程的分類,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,1按狀態(tài)空間I和時間T是可列集還是

42、連續(xù)集分類： (1). 連續(xù)型隨機過程:T是連續(xù)集,且tT,X(t)是連續(xù)型隨機變量,則稱過程X(t),tT為連續(xù)型隨機過程. (2).離散型隨機過程:T是連續(xù)集，且tT,X(t)是離散型隨機變量，則稱過程X(t),tT為離散型隨機過程。,2020/7/31,109,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,(3).連續(xù)型隨機序列: T是可列集,且tT, X(t)是連續(xù)型隨機變量，則稱過程X(t),tT為連續(xù)型隨機序列. (4).離散型隨機序列:T是可列集, 且tT, X(t)為離散型隨機變量, 則稱過程X(t),tT為離散型隨機序列。 通常T取為T =0,1,2或T =0, 1，2,此時隨機序列常記

43、成Xn,n=0,1,或 Xn,n0。,2020/7/31,110,2按分布特性分類： 依照過程在不同時刻狀態(tài)的統(tǒng)計依賴關(guān)系分類。 獨立增量過程 馬爾可夫過程 平穩(wěn)過程 等等,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,111,1n維分布函數(shù)： 設(shè)X(t),tT是隨機過程，對于任意整數(shù)n1及T中任意n個不同的參數(shù)t1,t2，tn，稱隨機向量（X(t1),X(t2),X(tn)）的分布函數(shù),為隨機過程X(t),tT的n維分布函數(shù).,三、隨機過程的概率分布,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,112,變化n及t1,t2，tn所得到的有限維分布函數(shù)的全體,稱為X(t),tT

44、的有限維分布函數(shù)族。,當(dāng)n=1時,得到一維分布函數(shù)F(x;t)=PX(t)x, 一維分布函數(shù)的全體 F(x;t), tT稱為一維分布函數(shù)族.,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,113,2隨機過程的數(shù)字特征,為X(t),tT的均方值函數(shù).,為X(t),tT的方差函數(shù).,為X(t),tT的協(xié)方差函數(shù).,為X(t),tT的均值函數(shù).,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用, Rx(s,t)=EX(s)X(t)為X(t),tT的自相關(guān)函數(shù)， 簡稱相關(guān)函數(shù),2020/7/31,114,均值函數(shù)表示X(t),tT在各時刻擺動的中心；方差函數(shù)表示X(t),tT在各時刻關(guān)于均值函數(shù)的平均偏離程度

45、； Rx(s,t)，Cx(s,t) 表示X(t),tT在兩個不同時刻狀態(tài)的統(tǒng)計依賴關(guān)系。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,釋義：,2020/7/31,115,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,116,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,117,3.諸數(shù)字特征的關(guān)系,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,其中，最重要的數(shù)字特征是均值函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)。,2020/7/31,118,例: 設(shè)隨機過程 X(t)=Ycost+Zsint,t0,其中Y,Z是相互獨立的隨機變量，且E(Y)=E(Z)=0,D(Y)=D(Z)= 2，求X(t),t0均值函數(shù) x(t)和自相關(guān)

46、函數(shù)Rx(s,t)。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,119,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解: x(t)=EX(t)=EYcost+Zsint =costE(Y)+sint E(Z)=0, 因為Y與Z相互獨立,于是,2020/7/31,120,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例2: 考慮隨機過程 X(t)=acos(t+),t(-,+) 其中a和是常數(shù)，是在（0，2）上服從均勻分布的隨機變量，通常稱此隨機過程為隨機相位正弦波，求隨機相位正弦波的均值函數(shù)、方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù).,2020/7/31,121,解:的概率密度為,于是,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2

47、020/7/31,122,例3: 設(shè)隨機過程X(t)=Y+Zt, tT=(-,+),其中Y，Z是相互獨立的服從N(0,1)的隨機變量，求X(t),-t+的一，二維概率密度。 注：有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,123,解: tT，由正態(tài)分布的性質(zhì)知X(t)服從正態(tài)分布: EX(t)=E(Y)+tE(Z)=0 DX(t)=D(Y)+t 2 =1+t 2,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,所以一維概率密度為,2020/7/31,124,又由正態(tài)分布的性質(zhì)知，對于任意 s,tT，(X(s),X(t)服從二維正態(tài)分布而 EX

48、(s)= EX(t)=0 DX(s)=1+s2 DX(t)=1+t2,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,125,所以二維概率密度為,其中=X(t1, t2).,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,126,四、二維隨機過程 1定義： X(t)、Y(t)為定義在同一樣本空間和同一參數(shù)集T上的隨機過程，對于任意tT， (X(t),Y(t)是二維隨機變量，則稱(X(t),Y(t),tT為二維隨機過程。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,127,2有限維分布函數(shù)和獨立性 (1) (X(t),Y(t),tT為二維隨機過程,對于任意的正整數(shù)n和m，以

49、及任意的t1,t2,tn；t1, t2,tmT ，任意的x1,x2,xn；y1,y2,ym R,稱n+m元函數(shù),F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm) =PX(t1)x1, X(tn) xn；Y(t1) y1,Y(tm) ym為(X(t),Y(t),tT的n+m維分布函數(shù)，類似的可定義有限維分布函數(shù)族。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,128,（2）若對于任意的正整數(shù)n和m，以及任意的t1,t2,tn；t1, t2,tmT，任意的x1,x2,xn；y1,y2,ym R,有,F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1

50、,t2,tm)=FXX(t1)x1, X(tn) xn FYY(t1) y1,Y(tm) ym,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,稱X(t)與Y(t)相互獨立，其中FX，F(xiàn)Y分別為X(t)，Y(t)的有限維分布函數(shù).,2020/7/31,129,3二維隨機過程的數(shù)字特征 (1) 互相關(guān)函數(shù): 稱 RXY(s,t)=EX(s)Y(t) 為(X(t),Y(t),tT的互相關(guān)函數(shù). 若對于任意的s,tT, RXY(s,t)=0,稱X(t)與Y(t)正交.,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,130,(2)互協(xié)方差函數(shù)：,若對于任意的s,tT,有CXY(s,t)=0, 稱X(t),Y

51、(t)不相關(guān). 若X(t),Y(t)相互獨立，且二階矩存在，則X(t),Y(t)不相關(guān).,稱,為(X(t),Y(t),tT的互協(xié)方差函數(shù).,顯然,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,131,例: 設(shè)有兩個隨機過程X(t)=g1(t+ )和Y(t)=g2(t + )，其中g(shù)1(t )和g2(t )都是周期為L的周期函數(shù), 是在(0,L)上服從均勻分布的隨機變量.求互相關(guān)函數(shù)RXY(s，t)的表達(dá)式.,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,132,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,令v=s+x , 利用g1(t )和g2(t )的周期性，有,解:,2020/7/3

52、1,133,例: 設(shè)X(t)為信號過程,Y(t)為噪聲過程，令W(t)=X(t)+Y(t)，則 (1) W(t)的均值函數(shù)為 W(t)= X(t)+ Y(t). (2) 其自相關(guān)函數(shù)為 RW(s,t)=EX(s)+Y(s)X(t)+Y(t) =RX(s,t)+RXY(s,t)+RYX(s,t)+RY(s,t) 兩個隨機過程之和的自相關(guān)函數(shù)為各個隨機過程的相關(guān)函數(shù)與它們的互相關(guān)函數(shù)之和。若兩個隨機過程的均值函數(shù)均恒為零，且互不相關(guān)時，有 RW(s,t)= RX(s,t)+RY(s,t),第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,134,五、各態(tài)歷經(jīng)性,如果能對過程X(t)進(jìn)行多次重復(fù)

53、觀察從而得到多條樣本曲線，用統(tǒng)計方法可以估計其均值及自相關(guān)函數(shù),在實際中,常用如下的方法確定x及Rx()：,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,135,由于所采用的極限(收斂)的標(biāo)準(zhǔn)不同得到的遍歷性定理也不同，關(guān)于平穩(wěn)過程的遍歷性主要有兩類： (1)對強平穩(wěn)過程在幾乎處處收斂的意義下的遍歷性定理； (2)對弱平穩(wěn)過程在均方收斂的意義下的遍歷性定理；,其中T充分大，X(t)是X(t)的一個樣本函數(shù)。即：集平均（均值和自相關(guān)函數(shù)等）實際上可以用一個樣本函數(shù)在整個時間軸上的平均值代替。這樣節(jié)約了大量的工作量。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,136,平穩(wěn)過程遍

54、歷性的定義： 首先引入平穩(wěn)過程X(t)，-t+沿整個時間軸上的兩種時間平均：設(shè)X(t)為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，且對固定的， X(t)X(t+) 也是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程,時間相關(guān)函數(shù)：,時間均值：,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,137,1定義 (1). 設(shè)X(t)為平穩(wěn)過程，若=EX(t)=x以概率1成立，稱X(t)的均值具有均方遍歷性。 (2)若對，=EX(t)X(t+)=Rx()以概率1成立，稱X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有均方遍歷性。 (3)若(1)、(2)均成立，則稱該過程具有均方遍歷性，或稱為遍歷過程。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,138,均方

55、收斂的定義：設(shè)有二階矩隨機序列Xn,n=1,2,和隨機變量X,E(X2)+,若有,則稱Xn均方收斂于X,記作,均方極限的性質(zhì),第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,139,均方連續(xù) 設(shè)X(t),tT是隨機過程,若對某t0T,有,稱X(t),tT在t0均方連續(xù)，若對任意tT，X(t),tT均方連續(xù)，稱X(t),tT在T上均方連續(xù)。記為,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,140,解：此過程為平穩(wěn)過程,即：用時間平均和集平均算得的均值和自相關(guān)函數(shù)相同。 但并不是任意一個平穩(wěn)過程都是具有遍歷性的。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：計算隨機相位正弦波 X(t)=

56、acos(t+)=acostcos-sintsin的時間平均和.,2020/7/31,141,事實上， = = =Y. 即：時間均值隨Y取不同的可能值而不同。,因Y的方差異于0，這樣就不可能以概率1等于確定函數(shù)EX(t)=EY。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例如：平穩(wěn)過程X(t)=Y，Y是方差異于0的隨機變量，就不是遍歷的。,2020/7/31,142,平穩(wěn)過程遍歷性的充要條件 (均值遍歷性定理) ：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程X(t)關(guān)于均值具有遍歷性,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,143,證明：由遍歷性定義，只須證：,與上式等價（方差為零）。,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中

57、的應(yīng)用,2020/7/31,144,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,其中，令,，則,2020/7/31,145,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,146,推論1. 均方連續(xù)的平穩(wěn)過程關(guān)于均值具有遍歷性,推論2. 均方連續(xù)的平穩(wěn)過程X(t)，若滿足 ，則它關(guān)于平均值具有均方遍歷性X=0。,證：因為,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,147,2(自相關(guān)函數(shù)遍歷性定理) 均方連續(xù)的平穩(wěn)過程X(t)，且對給定,X(t)X(t+)也是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則X(t)關(guān)于自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性,令=0，即得均方值遍歷性定理。 在實際問題中，通常只考慮定義在0t+上的平穩(wěn)過程，此時上兩定理所有時間平均應(yīng)以0t+上的平均代替，相應(yīng)的各態(tài)歷經(jīng)性如下：,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,148,1.X(t)關(guān)于均值具有遍歷性,2.X(t)關(guān)于自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,149,說明：各態(tài)歷經(jīng)性定理的重要價值在于它從理論上給出了如下保證： 一個平穩(wěn)過程X(t)，只要滿足上述兩條件，便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義，從一次試驗所得到的樣本函數(shù)x(t)來確定該過程的均值和自相關(guān)函數(shù)。即：,第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,