多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的極限和連續(xù)性.ppt

1、一、多元函數(shù)的概念,二、二元函數(shù)的極限,三、二元函數(shù)的連續(xù)性,第九章 多元函數(shù)微分學,第一節(jié) 多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的極限和連續(xù)性,一、多元函數(shù)的概念,1. 二元函數(shù)的定義,設(shè)有三個變量 x , y 和 z ,如果當變量 x , y 在一定范圍內(nèi)任意取定一對數(shù)值時.,變量 z 按照一定的規(guī)律 f ,總有確定的數(shù)值與它們對應，,則稱 z 是 x , y 的二元函數(shù)，,記為,定義 1,自變量 x、 y 的取值范圍稱為函數(shù)的定義域 .,其中 x, y 稱為自變量，,z 稱為因變量,二元函數(shù)在點 ( x0 , y0) 所取得的函數(shù)值記為,例 4,以及 n 元函數(shù) u = f (x1 , x2 , ,

2、 xn)，,類似地，,可以定義三元函數(shù) u = f ( x , y , z ),多于一個自變量的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).,解,二元函數(shù)的定義域有時是由一條或幾條曲線所圍成的區(qū)域，用 D 表示.,2. 二元函數(shù)的定義域,圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界，不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域.,連同邊界在內(nèi)的區(qū)域稱閉區(qū)域，,如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為圓心，適當長為半徑圓內(nèi)，則稱此區(qū)域為有界區(qū)域.,求下列函數(shù)的定義域 D，,并畫出 D 的圖形：,應有,解,例 5,所以函數(shù)的定義域 D 是以 x = 2 , y = 3 為邊界的矩形閉區(qū)域.,x,y,O,3,2,- 3,- 2,(2) 因為要使函數(shù),應有,是有

3、界區(qū)域.,所以函數(shù)定義域是以原點為圓心的環(huán)形區(qū)域，,即 1 x2 + y2 4,x,y,2,1,O,有意義，,設(shè)D 由 y = 1 , x = 2 , y = x 圍成.,例 6,的不等式組來表示平面區(qū)域 D :,求形如,y = x,y = 1,x = 2,先做出區(qū)域 D 的圖形，,直線 y = x , y = 1 交于點 (1 , 1).,y = x, y = 2 的交點為(2 , 2).,解,再將 D 投影到 x 軸上，,得到區(qū)間 1 , 2，,則區(qū)域 D 內(nèi)任一點的橫坐標 x ，,在 1 , 2 內(nèi)任取一點 x ，,作平行于 y 軸的直線，,由圖可知，,對于所給的 x , D 內(nèi)對應的縱

4、坐標 y 滿足：,因此區(qū)域 D 用形如 的不等式組表示為,若想把 D 用形如 的不等式組表示，,則將 D 投影到 y 軸上，,所以在 y 軸上得到區(qū)間 1 , 2.,因為直線 x = 2 與 y = x 的交點為 (2 , 2)，,在區(qū)間 1, 2 內(nèi)任意取一點 y ,作平行于 x 軸的直線，,由圖可知對于所給的 y ，,D 內(nèi)對應點的橫坐標 x 滿足,故 D 用形如 的不等式組表示為,則稱 A 為函數(shù) z = f (x , y) 當 時的極限，,二、二元函數(shù)的極限,設(shè)函數(shù) z = f (x , y)在點 P0(x0 , y0) 的某一鄰域內(nèi)有定義(點 P0 可以除外)，,如果當點 P(x ,

5、 y)無限地接近于點 P0(x0 , y0)時，,記為,定義 2,恒有,例 8,令 u = x2 + y2 ，,有時可以轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)的極限問題.,二元函數(shù)的極限問題,解,例 9,當 ( x, y ) 沿 y 軸趨向于原點，,解,考察函數(shù),即當 y = k x ，,但是，當點( x , y )沿著直線 y = k x ( k 0 )趨向于點(0, 0) 時，,而當點 (x, y) 沿 y 軸趨向于原點，,有,隨著 k 的取值不同，,時，,且等于它在點 P0 處的函數(shù)值，,設(shè)函數(shù) z = f(x , y) 在點 P0(x0 , y0) 的一個鄰域內(nèi)有定義，,如果當點 P(x , y) 趨向于點P

6、0(x0 , y0) 時，,函數(shù) z = f(x , y) 的極限存在，,1. 二元函數(shù)的連續(xù)定義,三、二元函數(shù)的連續(xù)性,定義 3,則稱函數(shù) z = f(x, y) 在點 P0(x0, y0) 處連續(xù).,因此， 可以改寫成,函數(shù) z = f ( x , y ) 的全增量，,即,設(shè)函數(shù) z = f(x , y) 在點 P0(x0 , y0) 的一個鄰域內(nèi)有定義，,若當自變量 x , y 的增量 x , y 趨向于零時，,則稱函數(shù) z = f(x , y)在點(x0 , y0)處連續(xù).,定義 4,對應的函數(shù)的全增量 z 也趨向于零，,即,所以 又可改寫成：,如果函數(shù) z = f (x , y) 在區(qū)域 D 內(nèi)各點都連續(xù)，,則稱函數(shù) z = f (x , y) 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù).,2. 有界閉區(qū)域上連續(xù)函