《材料力學(xué)》壓桿穩(wěn)定習(xí)題解

1、第九章 壓桿穩(wěn)定 習(xí)題解習(xí)題9-1 在9-2中已對(duì)兩端球形鉸支的等截面細(xì)長壓桿，按圖a所示坐標(biāo)系及撓度曲線形狀，導(dǎo)出了臨界應(yīng)力公式。試分析當(dāng)分別取圖b,c,d 所示坐標(biāo)系及撓曲線形狀時(shí)，壓桿在作用下的撓曲線微分方程是否與圖a情況下的相同，由此所得公式又是否相同。解： 撓曲線微分方程與坐標(biāo)系的y軸正向規(guī)定有關(guān)，與撓曲線的位置無關(guān)。因?yàn)椋╞）圖與（a）圖具有相同的坐標(biāo)系，所以它們的撓曲線微分方程相同，都是。（c）、(d)的坐標(biāo)系相同，它們具有相同的撓曲線微分方程：，顯然，這微分方程與（a）的微分方程不同。臨界力只與壓桿的抗彎剛度、長度與兩端的支承情況有關(guān)，與坐標(biāo)系的選取、撓曲線的位置等因素?zé)o關(guān)。因

2、此，以上四種情形的臨界力具有相同的公式，即：。 習(xí)題9-2 圖示各桿材料和截面均相同，試問桿能承受的壓力哪根最大，哪根最?。▓Df所示桿在中間支承處不能轉(zhuǎn)動(dòng)）？ 解：壓桿能承受的臨界壓力為：。由這公式可知，對(duì)于材料和截面相同的壓桿，它們能承受的壓力與 原壓相的相當(dāng)長度的平方成反比，其中，為與約束情況有關(guān)的長度系數(shù)。（a）（b）（c）（d）（e）（f）（下段）；（上段）故圖e所示桿最小，圖f所示桿最大。習(xí)題9-3 圖a,b所示的兩細(xì)長桿均與基礎(chǔ)剛性連接，但第一根桿（圖a）的基礎(chǔ)放在彈性地基上，第二根桿（圖b）的基礎(chǔ)放在剛性地基上。試問兩桿的臨界力是否均為？為什么？并由此判斷壓桿長因數(shù)是否可能大于2

3、。 螺旋千斤頂（圖c）的底座對(duì)絲桿（起頂桿）的穩(wěn)定性有無影響？校核絲桿穩(wěn)定性時(shí)，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、長度為的壓桿是否偏于安全？解：臨界力與壓桿兩端的支承情況有關(guān)。因?yàn)?a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它們的臨界力計(jì)算公式不同。(b)為一端固定，一端自由的情況，它的長度因素，其臨界力為：。但是，(a) 為一端彈簧支座，一端自由的情況，它的長度因素，因此，不能用來計(jì)算臨界力。 為了考察（a）情況下的臨界力，我們不妨設(shè)下支座（B）的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，且無側(cè)向位移，則：令，得： 微分方程的通解為： 由邊界條件：，；，解得： ，整理后得到穩(wěn)定方程：用試算法得： 故得到壓桿的臨界力：

4、。因此，長度因素可以大于2。這與彈性支座的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度C有關(guān)，C越小，則值越大。當(dāng)時(shí)，。 螺旋千斤頂?shù)牡鬃c地面不是剛性連接，即不是固定的。它們之間是靠摩擦力來維持相對(duì)的靜止。當(dāng)軸向壓力不是很大，或地面較滑時(shí)，底座與地面之間有相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)，不能看作固定端；當(dāng)軸向壓力很大，或地面很粗糙時(shí)，底座與地面之間無相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)，可以看作是固定端。因此，校核絲桿穩(wěn)定性時(shí)，把它看作上端自由，下端為具有一定轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的彈性支座較合適。這種情況，算出來的臨界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、長度為的壓桿”算出來的臨界力要小。譬如，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，則： ，。因此，校核絲桿穩(wěn)定性時(shí)，把它看作下端固定（固定于

5、底座上）、上端自由、長度為的壓桿不是偏于安全，而是偏于危險(xiǎn)。習(xí)題9-4 試推導(dǎo)兩端固定、彎曲剛度為，長度為的等截面中心受壓直桿的臨界應(yīng)力的歐拉公式。 解：設(shè)壓桿向右彎曲。壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)，兩端的豎向反力為，水平反力為0，約束反力偶矩兩端相等，用表示，下標(biāo)表示端部end的意思。若取下截離體為研究對(duì)象，則的轉(zhuǎn)向?yàn)槟孓D(zhuǎn)。，令，則 上述微分方程的通解為：.(a)邊界條件： ；： ；。 ：；。把A、B的值代入（a）得： 邊界條件： ；：， ： 以上兩式均要求：， 其最小解是：，或。故有：，因此：。習(xí)題9-5 長的10號(hào)工字鋼，在溫度為時(shí)安裝在兩個(gè)固定支座之間，這時(shí)桿不受力。已知鋼的線膨脹系數(shù)，。試問當(dāng)

6、溫度升高至多少度時(shí)，桿將喪失穩(wěn)定性？解： 習(xí)題9-6 兩根直徑為的立柱，上、下端分別與強(qiáng)勁的頂、底塊剛性連接，如圖所示。試根據(jù)桿端的約束條件，分析在總壓力F作用下，立柱可能產(chǎn)生的幾種失穩(wěn)形態(tài)下的撓曲線形狀，分別寫出對(duì)應(yīng)的總壓力F之臨界值的算式（按細(xì)長桿考慮），確定最小臨界力的算式。解：在總壓力F作用下，立柱微彎時(shí)可能有下列三種情況：（a）每根立柱作為兩端固定的壓桿分別失穩(wěn)： （b）兩根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在自身平面內(nèi)失穩(wěn) 失穩(wěn)時(shí)整體在面內(nèi)彎曲，則1，2兩桿組成一組合截面。 （c）兩根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在面外失穩(wěn) 故面外失穩(wěn)時(shí)最?。骸Ａ?xí)題9-7 圖示結(jié)構(gòu)ABCD

7、由三根直徑均為的圓截面鋼桿組成，在B點(diǎn)鉸支，而在A點(diǎn)和C點(diǎn)固定，D為鉸接點(diǎn)，。若結(jié)構(gòu)由于桿件在平面ABCD內(nèi)彈性失穩(wěn)而喪失承載能力，試確定作用于結(jié)點(diǎn)D處的荷載F的臨界值。解：桿DB為兩端鉸支 ，桿DA及DC為一端鉸支一端固定，選取 。此結(jié)構(gòu)為超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)桿DB失穩(wěn)時(shí)結(jié)構(gòu)仍能繼續(xù)承載，直到桿AD及DC也失穩(wěn)時(shí)整個(gè)結(jié)構(gòu)才喪失承載能力，故 習(xí)題9-8 圖示鉸接桿系A(chǔ)BC由兩根具有相同截面和同樣材料的細(xì)長桿所組成。若由于桿件在平面ABC內(nèi)失穩(wěn)而引起毀壞，試確定荷載F為最大時(shí)的角（假設(shè)）。解：要使設(shè)計(jì)合理，必使AB桿與BC桿同時(shí)失穩(wěn)， 即：習(xí)題9-9 下端固定、上端鉸支、長的壓桿，由兩根10號(hào)槽鋼焊接

8、而成，如圖所示，并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。已知桿的材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力，試求壓桿的許可荷載。解：查型鋼表得： 習(xí)題9-10 如果桿分別由下列材料制成：（1）比例極限，彈性模量的鋼；（2），含鎳3.5%的鎳鋼；（3），的松木。試求可用歐拉公式計(jì)算臨界力的壓桿的最小柔度。解：（1） （2） （3） 習(xí)題9-11 兩端鉸支、強(qiáng)度等級(jí)為TC13的木柱，截面為150mm150mm的正方形，長度 ，強(qiáng)度許用應(yīng)力。試求木柱的許可荷載。解： 由公式（9-12a）： A習(xí)題9-12 圖示結(jié)構(gòu)由鋼曲桿AB和強(qiáng)度等級(jí)為TC13的木桿BC組成。已知結(jié)構(gòu)所有的連接均為鉸連接，在B點(diǎn)

9、處承受豎直荷載，木材的強(qiáng)度許用應(yīng)力。試校核BC桿的穩(wěn)定性。解：把BC桿切斷，代之以軸力N，則由公式（912b）得：因?yàn)?，所以壓桿BC穩(wěn)定。習(xí)題9-13 一支柱由4根的角鋼組成（如圖），并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。支柱的兩端為鉸支，柱長，壓力為。若材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力，試求支柱橫截面邊長a的尺寸。解： （查表： ， ），查表得： m4= mm習(xí)題9-14 某桁架的受壓弦桿長4m,由綴板焊成一體，并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求，截面形式如圖所示，材料為Q235鋼，。若按兩端鉸支考慮，試求桿所能承受的許可壓力。解：由型鋼表查得 角鋼： 得 查

10、表： 故 習(xí)題9-15 圖示結(jié)構(gòu)中，BC為圓截面桿，其直徑；AC邊長的正方形截面桿。已知該結(jié)構(gòu)的約束情況為A端固定，B、C為球形鉸。兩桿的材料均為Q235鋼，彈性模量，可各自獨(dú)立發(fā)生彎曲互不影響。若結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定安全系數(shù)，試求所能承受的許可壓力。解：BC段為兩端鉸支， AB桿為一端固定，一端鉸支， 故 習(xí)題9-16 圖示一簡單托架，其撐桿AB為圓截面木桿，強(qiáng)度等級(jí)為TC15。若架上受集度為 的均布荷載作用，AB兩端為柱形鉸，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力 ，試求撐桿所需的直徑d。解：取以上部分為分離體，由 ，有設(shè) ， m則 求出的 與所設(shè) 基本相符，故撐桿直徑選用 m。習(xí)題9-17 圖示結(jié)構(gòu)中桿AC與CD均由Q235鋼制成，C，D兩處均為球鉸。已知 mm， mm， mm； ， ， ；強(qiáng)度安全因數(shù) ，穩(wěn)定安全因數(shù) 。試確定該結(jié)構(gòu)的許可荷載。解：（1）桿CD受壓力 梁BC中最大彎矩 （2）梁BC中 （3）桿CD （Q235鋼的 = （由梁力矩平衡得） 故，由（2）、（3）可知，習(xí)題9-18 圖示結(jié)構(gòu)中，鋼梁AB及立柱CD分別由16號(hào)工字鋼和連成一體的兩根角鋼組成，桿CD符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。均布荷載集度。梁及柱的材料均為Q235鋼，。試驗(yàn)算梁和立柱是否安全。解：（1）求多余約束力把CD桿去掉，代之以約束反力。由變形協(xié)調(diào)條件可知，查型鋼表得：16號(hào)工字鋼