大學(xué)高數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性.ppt

1、1.5 函數(shù)的連續(xù)性,1.5.1 函數(shù)連續(xù)性的概念,定義1.7 (函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性),設(shè) 在 x0 的某一鄰域內(nèi)有定義,時(shí)函數(shù) 的極限存在,如果當(dāng),且,則稱函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù),稱為 的連續(xù)點(diǎn).,處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件:,說(shuō)明:函數(shù),所以, 在點(diǎn) 連續(xù)等價(jià)于:,左連續(xù),右連續(xù),顯然 函數(shù),定義1.8 (函數(shù)在一點(diǎn)左右連續(xù)),處既左連續(xù), 又右連續(xù).,或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),稱該區(qū)間上的,在開區(qū)間,右連續(xù),左端點(diǎn),右端點(diǎn),continuous,左連續(xù),連續(xù)函數(shù),內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,定義1.9 (函數(shù)在區(qū)間連續(xù)),例如, 多項(xiàng)式函數(shù),內(nèi)是連

2、續(xù)的.,因此有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn) 都是連續(xù)的.,有理分式函數(shù),只要,都有,因此多項(xiàng)式函數(shù)在,例1 證明函數(shù) 內(nèi)連續(xù).,證,所以,證,由夾逼定理有,因,例2 證明函數(shù) 內(nèi)連續(xù).,定理1.14 (函數(shù)四則運(yùn)算的連續(xù)性),例如,故 在其定義域內(nèi)連續(xù).,定理1.15 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性),定理1.16 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間I 上單調(diào)而 且連續(xù), 則其反函數(shù)也單調(diào)且連續(xù).,由此, 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,即,三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是 連續(xù)的.,可以證明:,均在其定義域內(nèi)連續(xù).,指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),定理1.17 (初等函數(shù)的連續(xù)性),初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間

3、是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,注 1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),例如,在 0 點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義,注 2. 初等函數(shù)的連續(xù)性提供了簡(jiǎn)單極限的求法.,在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);,例3 求,例4 求,解,解,例5 (非初等函數(shù)的例子),證明符號(hào)函數(shù) 是非初等函數(shù).,證 因?yàn)?矛盾,1.5.2 函數(shù)的間斷點(diǎn),的間斷點(diǎn).,如果上述三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,間斷點(diǎn)分為兩大類:,第一類間斷點(diǎn):,若,則稱為可去間斷點(diǎn);,若,則稱為跳躍間斷點(diǎn).,其中,稱為第一類間斷點(diǎn).,例6 討論,解,所以, 為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).,例7 討論函數(shù),解,所以, 為函數(shù)的可去間斷點(diǎn).,在 處的連續(xù)性.,如例7中,注意: 可去間斷

4、點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函 數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,則,在 處連續(xù).,第二類間斷點(diǎn):,若其中有一個(gè)為,稱為無(wú)窮間斷點(diǎn).,稱為第二類間斷點(diǎn).,存在的間斷點(diǎn),例8 討論函數(shù),解,所以, 為函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn).,狄利克雷函數(shù),定義域內(nèi)每一點(diǎn)都是第二類間斷點(diǎn).,注意: 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).,僅在 處連續(xù), 其余各點(diǎn)處處間斷.,初等函數(shù)無(wú)定義的孤立點(diǎn)是間斷點(diǎn).,分段函數(shù)的分段點(diǎn)可能是間斷點(diǎn), 也可能是連續(xù)點(diǎn),需要判定.,求函數(shù)的間斷點(diǎn)的方法,解,是間斷點(diǎn).,解,例9 求函數(shù) 的間斷點(diǎn)并判斷其類型.,所以, 為函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn).,是間斷點(diǎn).,內(nèi)連續(xù).,由初等函數(shù)的連續(xù)性,函數(shù) 在

5、其定義區(qū)間,所以, 為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).,1.5.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),設(shè) 在區(qū)間I 有定義,則稱 是函數(shù) 在區(qū)間I 的最大值(最小值).,定理1.18 (最大最小值定理),設(shè) 在a, b上連續(xù), 則 在a, b上有,最大值最小值.,有,注意: 1. 若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立;,推論1.5 (有界性定理),2. 若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立.,設(shè) 在a, b上連續(xù), 則 在a, b上有界.,有,若,顯然, 函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個(gè) 上界和一個(gè)下界.,定理1.19 (零點(diǎn)定理),設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)，,使得,則至少有一點(diǎn),如果 的一個(gè)零點(diǎn).,幾何解釋：,定理1.20 (介值定理),設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),若,則至少有一點(diǎn),使得,兩個(gè)端點(diǎn)位于x 軸的兩側(cè),則曲線弧與x 軸至少有一交點(diǎn).,連續(xù)曲線弧 的,證,由零點(diǎn)定理,推論1.6 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù), 必取得介于最 大值M 與最小值m 之間的任何值.,例10 證明方程,證,由零點(diǎn)定理,一根.,所以,