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1、2020/7/20,1,第三章 轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡,低速動(dòng)平衡(剛性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡) 工藝平衡 裝配平衡 一步平衡 多步平衡 本機(jī)平衡 整機(jī)(臺(tái)架)平衡 國際標(biāo)準(zhǔn)ISO1940 高速動(dòng)平衡(柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡) 模態(tài)平衡法 影響系數(shù)法 混合法 參考標(biāo)準(zhǔn):DIS5406柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡標(biāo)準(zhǔn)草案 DIS5343評(píng)價(jià)柔性轉(zhuǎn)子平衡的準(zhǔn)則 (參考),2020/7/20,2,第一節(jié) 概 述,一、剛性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡 1、靜平衡 目標(biāo):平衡靜力 方法:隨遇平衡法 2、動(dòng)平衡 目標(biāo):平衡力與力矩 方法:動(dòng)平衡機(jī)、低速平衡 工藝平衡 裝配平衡 一步平衡 多步平衡 本機(jī)平衡 整機(jī)平衡 國際標(biāo)準(zhǔn)ISO1940 3、動(dòng)平衡基本要求 1)至少
2、兩個(gè)平衡面,平衡面距離要遠(yuǎn),并盡能靠近支點(diǎn);平衡配重半徑位置要盡可能大,以便達(dá)到最大效果。,2020/7/20,3,2)一步平衡,多為短壽命軍用發(fā)動(dòng)機(jī)采用 3)多步平衡,多為長壽命民用發(fā)動(dòng)機(jī)采用 4)平衡方法:尋找重點(diǎn) 尋找輕點(diǎn)(頻閃法) 影響系數(shù)法 極坐標(biāo)矢量圖法 三元平衡法 5)原理:不平衡力Pj產(chǎn)生支反力FP1與FP2 不平衡力矩RL產(chǎn)生支反力FR1與FR2 則在支點(diǎn)有合力 動(dòng)平衡: 動(dòng)平衡精度 1)meG0 (g.cm) 工程實(shí)際應(yīng)用 2)eG0 (mm/s) 國際標(biāo)準(zhǔn)ISO1940 將平衡品質(zhì)分為11個(gè)等級(jí),按比值為2.5的等比級(jí)數(shù)遞增排列 。,2020/7/20,4,第二節(jié) 柔性轉(zhuǎn)
3、子動(dòng)平衡,一、柔性轉(zhuǎn)子平衡特點(diǎn) 1.柔性轉(zhuǎn)子:nncr1,轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生彎曲變形 2.高速動(dòng)平衡:多平面、多轉(zhuǎn)速平衡過程 目的:1)將不平衡力與不平衡力偶降到許可范圍 2)將n階固有振型不平衡量降到許可范圍 3.標(biāo)準(zhǔn):1)國際標(biāo)準(zhǔn)草案DIS5406柔性轉(zhuǎn)子 動(dòng)平衡 2)參考標(biāo)準(zhǔn)5343柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡 4.方法:1)振型(模態(tài))平衡法 2)影響系數(shù)法 3)混合法等,2020/7/20,5,5. 平衡特點(diǎn) 1)剛性轉(zhuǎn)子,低速平衡后,在工作轉(zhuǎn)速以下運(yùn)行平穩(wěn); 2)柔性轉(zhuǎn)子,低速平衡后,僅平衡了低速下支承動(dòng)反力,高速下軸產(chǎn)生彎曲變形,彎矩將隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化,支承動(dòng)反力也將發(fā)生變化; 3)柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡目的:在
4、工作轉(zhuǎn)速下,盡可能消除支承動(dòng)反力,并使轉(zhuǎn)子沿軸長的彎矩最小 如圖3-1所示,剛性轉(zhuǎn)子有 對(duì)柔性轉(zhuǎn)子有,2020/7/20,6,F為轉(zhuǎn)子變形產(chǎn)生的離心力。 4)影響因素多:a)不同轉(zhuǎn)速下?lián)隙扔绊?b)各階振型對(duì)平衡的影響 5)實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)只有少數(shù)幾個(gè)平面可用于平衡;只能在有限個(gè)轉(zhuǎn)速上得到平衡。 6)問題:如何利用少數(shù)幾個(gè)平面來獲得一定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子的良好平衡。 7)假設(shè)條件: a)在一定平衡條件下,軸承振幅與轉(zhuǎn)子不平衡量成正比。 b)軸承振幅與不平衡力之間的相位不變。 c)轉(zhuǎn)子中非線性因素(如油膜)等影響,不影響上述假設(shè)條件,2020/7/20,7,二、轉(zhuǎn)子在不平衡力作用下的運(yùn)動(dòng)方程 設(shè)一轉(zhuǎn)子為等
5、截面軸,簡(jiǎn)支在各向同性的支承上 軸的面積為A,單位長度質(zhì)量為A,截面質(zhì)心為G(z),截面偏心距為(z),質(zhì)心連線為一空間曲線。如圖所示。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律,得到y(tǒng)oz平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程: 其中 則有 由材料力學(xué)可知 代入運(yùn)動(dòng)方程得到,2020/7/20,8,同理可得到xoz平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程為 引入復(fù)數(shù)表達(dá)式,令 則有 式中: 為質(zhì)心空間曲線 1.設(shè)(z)=0,即無質(zhì)量偏心的情況,運(yùn)動(dòng)方程為 設(shè)解為 代入運(yùn)動(dòng)方程中,2020/7/20,9,并令 得到 特征方程為 則 所以 代入邊界條件:z=0, s(0)=0, z=l, s(l)=0, 解得: c2=c3=c4=0, c1sin(kl)=0 要求非
6、零解,則 c10, 所以 sin(kl)=0 因此有: kl=n 得到固有頻率為,2020/7/20,10,各階主振型為: 前三階振型為 2. 設(shè)(z)0,即有質(zhì)量偏心的情況,且質(zhì)心按第n階主振型函數(shù)(平面)分布,運(yùn)動(dòng)方程為 設(shè)解為 代入運(yùn)動(dòng)方程得 根據(jù)假設(shè),(z)=常數(shù),則有,2020/7/20,11,式中:An為系數(shù),sn(z)為第n階主振型 由運(yùn)動(dòng)微分方程,得到 設(shè)特解為 Dn為待定系數(shù) 代入運(yùn)動(dòng)方程得 方程的齊次通解為sn(z),且有 故有 特解方程為 得到系數(shù) 故轉(zhuǎn)軸的振型為 由此得到如下結(jié)論:,2020/7/20,12,1)若質(zhì)心按第n階振型分布,只激起第n階主振動(dòng) 2)轉(zhuǎn)軸振型為
7、一平面曲線,振幅為 倍 3)當(dāng)n時(shí),振幅,產(chǎn)生第n階主振型共振 3.(z)0,且質(zhì)心為任意空間分布曲線,設(shè)為 按主振型分解得 即有 質(zhì)心分布示意圖見圖3-4所示,2020/7/20,13,式中 代入運(yùn)動(dòng)方程有 設(shè)轉(zhuǎn)軸振型為 代入運(yùn)動(dòng)方程得 式中Sn(z)為第n階振型函數(shù),也是對(duì)應(yīng)齊次方程解 所以有 特解為,2020/7/20,14,利用固有振型的正交性,得 解得系數(shù) 轉(zhuǎn)子振動(dòng)為 或,2020/7/20,15,三、柔性轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 1.柔度曲線s(z)隨轉(zhuǎn)速而變變化 1)0.6c1,系數(shù)將增大,轉(zhuǎn)子振型s(z)是各階主振型合成的空間曲線; 3)cn時(shí),第n階主振型幅值系數(shù)明顯增大,其它各階則小很
8、多;若c1,此時(shí)振型近似有 4)隨著轉(zhuǎn)速增加,各階主振型依次突現(xiàn)出來,一般轉(zhuǎn)子,主要是前三階主振型的影響。 比較撓度曲線與不平衡量的關(guān)系,它們展開項(xiàng)相同,幅 值相差一個(gè)倍率 ,考慮阻尼有,2020/7/20,16,式中cr為無阻尼時(shí)系統(tǒng)的固有頻率。 r為撓度曲線各階分量與該階不平衡分量的相位差。 由于阻尼影響,即使在臨界轉(zhuǎn)速下,轉(zhuǎn)子振型也不是一根平面曲線,但實(shí)際進(jìn)行動(dòng)平衡時(shí),仍以無阻尼的主振型平面加以考慮。 3.轉(zhuǎn)子主振型的正交性 不平衡分布力在 x、y方向的分量為,2020/7/20,17,轉(zhuǎn)子撓曲線在x、y軸上的投影為 各階不平衡力在yoz平面和xoz平面上對(duì)k階振型做功之和為 由主振型正
9、交性,2020/7/20,18,可知: 1)各階主振動(dòng)之間不發(fā)生能量傳遞; 2)n階不平衡分量只能激起n階主振型,不會(huì)激起其它各階振型; 3)利用主振型的正交性,可對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行逐階平衡,完成柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡。,2020/7/20,19,第三節(jié) 模態(tài)平衡法(振型平衡法),一、模態(tài)平衡法及平衡條件 根據(jù)主振型的正交性,可采用逐階平衡的辦法進(jìn)行柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡。 對(duì)于一般轉(zhuǎn)子,主要是前三階振型。 以等截面軸為例進(jìn)行分析,見圖3-5 設(shè)距起始端z1處有一集中重量w1位于 半徑R1上,集中重量均勻分布在2b 的范圍內(nèi),以U(z)表示其分布。則 式中:,2020/7/20,20,取單位長度質(zhì)量為m(=A),則有
10、 上式代表集中重量矩折合成單位長軸段質(zhì)心偏移,按各階主振型展開成 式中:Cn1n階主振型系數(shù),第二個(gè)下標(biāo)表示所加平衡 重量編號(hào); sn(z)各階主振型函數(shù),假設(shè)為已知。 利用正交性,對(duì)折合軸段質(zhì)心偏移展開式兩邊乘以sn(z),并沿軸長積分,等式左邊為: 等式左邊為: 由此可得:,2020/7/20,21,若在不同位置z1、z2、zk截面上,分別在半徑R1、R2、 、Rk處加平衡配重W1、W2、Wk,k個(gè)平衡重量引起 轉(zhuǎn)子質(zhì)心的偏移為 式中: 為了平衡轉(zhuǎn)子第n階主振型分量,要求平衡重量形成的第n階振型質(zhì)心偏移和轉(zhuǎn)子自身第n階主振型質(zhì)心偏移在同一平面上,大小相等,方向相反,即滿足 即 若有一組k個(gè)
11、最小的不平衡重量Uj,與n階不平衡量相當(dāng), 即,2020/7/20,22,式中:U(z)轉(zhuǎn)子不平衡量分布函數(shù)。 其中: 值應(yīng)為最小。稱這組量Uj(j=1k)為第n階振型 不平衡當(dāng)量Une,即 柔性轉(zhuǎn)子的平衡不考慮阻尼情況下應(yīng)滿足下列三個(gè)力學(xué)平衡方程:,2020/7/20,23,方程組中,第一、第二兩式為剛性平衡條件;第三式為柔性平衡條件。 二、配重面的選擇及矢量平衡原理 1)柔性轉(zhuǎn)子平衡為多平面多轉(zhuǎn)速平衡; 2)平衡面選?。河蠳平面及N+2平面法兩種; N平面法:平衡N階振型,選用N個(gè)平衡面; N+2平面法:平衡N階振型,選用N+2個(gè)平衡面。 一般N平面法不能完全平衡支承動(dòng)反力。但兩種方法都有
12、使用。 平衡面選擇很重要,選擇不當(dāng)將使平衡配重增大。原因:平衡面選擇主要依據(jù)轉(zhuǎn)子振型,實(shí)際發(fā)動(dòng)機(jī)平衡面選擇受到限制。 圖3-6為N+2平面法的平衡面選取。 I、II平衡面消除III、IV、V平衡面對(duì)低速動(dòng)平衡的影響。,2020/7/20,24,通常選擇在緊靠支承的位置,以免影響高速時(shí)III、IV、V三個(gè)平面對(duì)振型不平衡量的校正。 但由于在臨界轉(zhuǎn)速時(shí),支承位移較大,I、II平面的校正量對(duì)III、IV、V平面仍有一定干擾。 圖3-6(a)為平衡一階振型時(shí)的三個(gè)平面的校正量,平面III的校正量對(duì)二階振型不起作用。圖3-6(b)、(c)為平衡二階及三階振型的校正量組。 測(cè)量柔性轉(zhuǎn)子振型比較困難,可以軸
13、承處的振動(dòng)代替測(cè)量轉(zhuǎn)子撓度。即矢量平衡法。 圖3-7為矢量平衡三角形: 矢量 為轉(zhuǎn)子測(cè)點(diǎn)相對(duì)某一角向參考坐標(biāo)測(cè)得的振動(dòng),矢量 為轉(zhuǎn)子上某點(diǎn)加試配重后同轉(zhuǎn)速下測(cè)點(diǎn)與參考坐標(biāo)下測(cè)得的振動(dòng),則矢量 = 為試重P的響應(yīng)。 為消除原始振動(dòng),加試配重平面上所需校正量為:,2020/7/20,25,式中: 稱為影響系數(shù)矢量(用于影響系數(shù)法) 稱為反應(yīng)系數(shù)矢量(用于模態(tài)平衡法) 試重 在原方位反時(shí)針旋轉(zhuǎn)角,其重量按OM對(duì)MN之比放大,即為校正量。 平衡步驟: 1)在第一階臨界轉(zhuǎn)速附近測(cè)得兩軸承處振動(dòng)矢量 、 , 分解為對(duì)稱矢量 ,該分量由一階振型分量引起。 2)加試配重 后,在同一轉(zhuǎn)速下測(cè)得振動(dòng) 、 ,則 矢
14、量 為試重 引起的對(duì)稱振動(dòng)矢量。,2020/7/20,26,3)平衡一階振型分量的校正重量為: 4)平衡二階振型分量時(shí),在二階臨界轉(zhuǎn)速nc2附近測(cè)得兩軸 承振動(dòng) 及 ,其反對(duì)稱分量為 ,它由二階不 平衡量引起,加反對(duì)稱試重 后,測(cè)得兩軸承處的振動(dòng)矢 量為 及 ,則矢量 即為 引起的反對(duì)稱振動(dòng)分量,故應(yīng)加校正量為:,2020/7/20,27,三、柔性轉(zhuǎn)子平衡時(shí)的支承動(dòng)反力 柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡目的: 1)消除支承動(dòng)反力; 2)消除轉(zhuǎn)子撓度與彎矩。 難于同時(shí)滿足,則以最少的配重使轉(zhuǎn)子在軸向、水平及垂直三方向振動(dòng)在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)最小。 柔性轉(zhuǎn)子撓曲振型為: 設(shè)各階振型函數(shù)為(簡(jiǎn)支梁情況): 則轉(zhuǎn)子振型為
15、轉(zhuǎn)子原始不平衡n階分量可寫成 ,則轉(zhuǎn) 子變形為,2020/7/20,28,支承動(dòng)反力剛性部分由力矩平衡關(guān)系得 設(shè)m(z)=m(常數(shù)等截面軸),上式積分整理得 柔性部分支承動(dòng)反力為 積分整理得 因此,一個(gè)軸承上所受到的總動(dòng)反力為,2020/7/20,29,將 代入得 或由材料力學(xué),通過振型函數(shù)求導(dǎo)得 1.平衡一階振型分量后的支承動(dòng)反力 設(shè)(簡(jiǎn)支梁)一階振型分量為C1sin(n/l),其中 則一階撓曲振型為,2020/7/20,30,設(shè)采用位于中部的一個(gè)集中質(zhì)量校正,即z1=l/2,校正量為 W1R1,由(3-31)式得 由于n=1,z=l/2,故有 若所選校正量滿足C1=C11,即 或 此時(shí),轉(zhuǎn)
16、子中部的一個(gè)校正量W1R1可以使一階不平衡分量獲得平衡,消除了柔性部分的動(dòng)反力。 轉(zhuǎn)子一階振型不平衡分量引起剛性部分的動(dòng)反力為 校正量W1R1加在中部后,一個(gè)支承上的動(dòng)反力為,2020/7/20,31,比較(3-47)和(3-48),得 可見: 1)轉(zhuǎn)子中部的一個(gè)集中平衡配重可使轉(zhuǎn)子撓曲得以平衡,但不能全部消除轉(zhuǎn)子的動(dòng)力。 2)支承處剛性部分動(dòng)反力只能平衡掉78.5%。 3)為消除支承處一階振型全部動(dòng)反力,應(yīng)在支承處同側(cè)平面上加平衡配重W2及W3,若加重半徑相同,則配重之比為: 此時(shí)配重可消除轉(zhuǎn)子一階不平衡分量引起的轉(zhuǎn)子撓曲、彎矩及支承動(dòng)反力,但不能消除高階振型分量影響。若工作轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離高階工作
17、轉(zhuǎn)速,則影響不大。 若在轉(zhuǎn)子兩側(cè)加校正量W1R1=W2R2,見圖3-9,則有,2020/7/20,32,式中:(z)=1,當(dāng)z1-bzz1+b及l(fā)-z1-bzl-z1+b (z)=1,z在其余各處。 由(3-30)得 由(3-31)得 即 設(shè)z1=l/4,取n=1得: 為使兩校正量能平衡一階振型不平衡分量,應(yīng)使C11=C1,即,2020/7/20,33,或 兩個(gè)校正量引起的支承處動(dòng)反力為: 由(3-47)可得 同樣為完全平衡剛性部分動(dòng)反力,應(yīng)在支承處兩平面上相反方向再加兩個(gè)校正重量W3及W4,若加重半徑相同,則比值為: 可見:平衡一階振型不平衡量,轉(zhuǎn)子中部加配重所需重量最少;平衡面越靠近兩支承
18、,需加配重越大。 2.平衡二階振型時(shí)的支承動(dòng)反力 設(shè)二階不平衡分量為C2sin(2z/l),其中 ,由此引起轉(zhuǎn)子二階撓曲振型為:,2020/7/20,34,引起兩支承處的動(dòng)反力大小相等、方向相反。為平衡二階不平衡量應(yīng)在兩側(cè)加反對(duì)稱校正量W1R1=-W2R2,如圖3-10所示,則有 式中: 同理: 利用正交性可得 即,2020/7/20,35,取z1=l/4,n=2,則 為平衡二階振型,應(yīng)使C22=C2,此時(shí)有 校正量W2R2引起的剛性部分動(dòng)反力為: 由(3-42)得 兩者之比為: 表明:加反對(duì)稱校正量只能平衡支承動(dòng)反力的78.5%。 為平衡全部剛性部分動(dòng)反力,有力矩平衡方程得 為平衡二階振型分
19、量,應(yīng)使,2020/7/20,36,有以上兩式解得: 四、模態(tài)平衡的N平面法與N+2平面法 1)轉(zhuǎn)子偏心沿軸向及周向分布是隨機(jī)的; 2)1957年克勞爾.菲特恩(Klaus Federn 德)提出N+2平面法 W.凱琳貝爾格(Kellenberge 瑞士)加以充實(shí)。 3)1959年R.E.D皮肖帕(Bishop)提出N平面法 4)1970年皮肖帕和凱琳貝爾格對(duì)N平面法和N+2平面法進(jìn)行了評(píng)論,基本獲得共識(shí)。 1.基本原理 等截面運(yùn)動(dòng)方程為 式中: 運(yùn)動(dòng)方程也可用矢量形式表示為,2020/7/20,37,式中:m(z)單位軸段長質(zhì)量; 作用在轉(zhuǎn)子上不平衡力及校正力之和。 設(shè): =0,可得齊次微分
20、方程的通解,即特征值與特征向量,由主振型正交條件得 將 按sn(z)展開后求運(yùn)動(dòng)微分方程的特解。 由兩部分組成:一是分布的不平衡力 ,另一部分是集中作用的不平衡力及校正力 ,其中 為集中不平衡量及校正量(如圖3-11)。將 按主振型展開,2020/7/20,38,且 利用正交特性,可求得運(yùn)動(dòng)方程特解為 式中第一項(xiàng)為式(3-22),第二項(xiàng)為集中不平衡量Uk引起。 由此可知:當(dāng)接近某cn時(shí),轉(zhuǎn)子的變形將是該階主振型,其它各階可不考慮。 分析支承處動(dòng)反力:由力矩平衡可得,2020/7/20,39,將特解代入得 當(dāng)c1,或 0,上式與剛性轉(zhuǎn)子相應(yīng)式子完全 相同。表明柔性轉(zhuǎn)子在低速時(shí),其特性與一般剛性轉(zhuǎn)
21、子相同。 根據(jù)動(dòng)平衡要求,應(yīng)使支承動(dòng)反力為零。,2020/7/20,40,即 由(3-62)得 將上式矢量在y-z及y-x平面分解,僅討論其中一個(gè)分量。,2020/7/20,41,此時(shí),矢量便成為標(biāo)量。 若保留高階影響,僅消除前N階振型,則有: 可以得到滿足上述條件的N個(gè)有限方程:,2020/7/20,42,式中的集中質(zhì)量分為兩部分:M個(gè)原始存在的不平衡量,K個(gè)待確定的校正量。 等式右邊第一項(xiàng)是集中的不平衡量,第二項(xiàng)是轉(zhuǎn)子連續(xù)分布的相應(yīng)階不平衡量。 由于平衡面是有限的N個(gè),滿足式(3-66),式(3-64)就不能得到滿足,即支承動(dòng)反力不為零。 因此,N平面法能減少轉(zhuǎn)子變形,但不能平衡支承的動(dòng)反
22、力,影響了轉(zhuǎn)子剛性平衡。因此,應(yīng)補(bǔ)充式(3-64),可寫為: 因此,為了將式(3-66)與(3-67)一起求解,必需要有N+2個(gè)方程,即N+2平面法。,2020/7/20,43,因此,N+2平面法由更高平衡精度。 一般認(rèn)為:N3時(shí),可采用N平面法;N3時(shí),宜采用N+2平面法。 2.應(yīng)用舉例 模型見圖3-12 首先在低于第一階臨界轉(zhuǎn)速nc1 30%范圍內(nèi)進(jìn)行剛性轉(zhuǎn)子平衡。 然后升速進(jìn)行柔性轉(zhuǎn)子平衡, 取N=3。 (1)N平面法 平衡面:I、III、V 式(3-66)右端以1、2、3表 示,為未知數(shù)。 由計(jì)算或測(cè)量得前三階主振型,2020/7/20,44,s1(zk)、s2(zk)、s3(zk),
23、zk為三個(gè)加重面軸向位置(k=1、2、3) 設(shè)振型已規(guī)格化,式(3-66)可寫成 將轉(zhuǎn)速升到nc1附近,近似由2=3=0,可得一階振型平衡量組 式中:A1、A2、A3求解上述方程組的具體數(shù)值。相對(duì)值為 平衡重量大小可用前述試加重量法求得。重量組配置見圖3-13(a) 平衡一階振型后,然后升速至nc2附近,此時(shí),同樣近似有 1=3=0,同樣可得第二組平衡量組,2020/7/20,45,二階振型平衡量組相對(duì)值為 若|U23|U21|,則取|U23|為分母,平衡重量配置見圖3-13(b) 同理,升速至第三階臨界轉(zhuǎn)速nc3附近,有1=2=0,可得三階振型平衡量組 由此,可求得平衡量組相對(duì)值 以上各平衡
24、量組位于不同軸向平面上,須按矢量運(yùn)算進(jìn)行疊加。顯然,所加的一組不平衡量并不滿足: 因此,N平面法部分地破壞了剛性轉(zhuǎn)子平衡。 (2)N+2平面法,2020/7/20,46,平衡面數(shù)為N+2=5個(gè),即圖3-13中的I、II、III、IV、V共五個(gè)平面,其余步驟類似N平面法。聯(lián)合式(3-66)及(3-67)得 求解上述方程組可得U1、U2、U3、U4、U5??煞謩e令: 2=3=0, 1=3=0, 1=2=0 解上述方程組得三組U1、U2、U3、U4、U5。平衡量組配置見圖3-13。顯然,這是滿足: 因此,不破壞原先完成的“剛性轉(zhuǎn)子”平衡。 注意點(diǎn):,2020/7/20,47,1)加重面數(shù)不少于要平衡
25、的主振型階數(shù); 2)加重?cái)?shù)值分配比例應(yīng)滿足正交條件,不產(chǎn)生附加的不平衡分量,即要求計(jì)算或測(cè)量得到準(zhǔn)確的振型曲線,否則就不滿足正交條件。,2020/7/20,48,第四節(jié) 影響系數(shù)法,對(duì)于線性系統(tǒng),在一定轉(zhuǎn)速下,不平衡與響應(yīng)存在關(guān)系: 式中: i處響應(yīng) j處不平衡量 影響系數(shù),j點(diǎn)處不平衡量與i點(diǎn)處振動(dòng)響應(yīng) 關(guān)系,為一矢量,且 影響系數(shù)是轉(zhuǎn)速的函數(shù),與轉(zhuǎn)速有關(guān)。測(cè)取影響函數(shù),應(yīng)使轉(zhuǎn)速穩(wěn)定。 影響系數(shù)確定:首先在一定轉(zhuǎn)速下,測(cè)取i點(diǎn)原始不平衡處 響應(yīng) (振幅及相位),然后,在j平面上加一已知不平衡量 ,再測(cè)取i點(diǎn)處的振動(dòng) ,由 引起的振動(dòng) 為 , 即,2020/7/20,49,故影響系數(shù)為: 上式
26、按復(fù)數(shù)運(yùn)算。 設(shè)轉(zhuǎn)子有M個(gè)平衡面,共有N個(gè)測(cè)點(diǎn),則有 式中: 為轉(zhuǎn)子原有的相當(dāng)于再平衡面 1,2,M上的不平衡量,測(cè)試轉(zhuǎn)速為1。 再平面1上加不平衡量 后,將轉(zhuǎn)子啟動(dòng),仍在1下測(cè)取各點(diǎn)響應(yīng),記為,2020/7/20,50,兩式相減得 由此可得 同理,在2平面上加試重 可以求得 ,加 M次試重,可求得所有MN個(gè)(幅值與相位)影響系數(shù)。 改變轉(zhuǎn)速為2,重新測(cè)試,可得MN個(gè)影響系數(shù)。,2020/7/20,51,二、動(dòng)平衡方程組矢量聯(lián)立方程組,1.剛性轉(zhuǎn)子 支承在兩支點(diǎn)的剛性轉(zhuǎn)子,只需兩個(gè)平衡面,分別在其上加試重可得到兩支承(平衡面)處的影響系數(shù) 若在一、二兩個(gè)平衡面上應(yīng)加校正量為 ,使得兩支承處的振
27、動(dòng)為零,即滿足方程 式中: 為第一、第二測(cè)點(diǎn)的原始振動(dòng)值。 由克萊姆法則,可得,2020/7/20,52,2.柔性轉(zhuǎn)子 設(shè)加重面為j=1,2,3,M,選定測(cè)點(diǎn)(包含所有轉(zhuǎn)速下的測(cè)點(diǎn))為i=1,2,3,N,通過加試重可得個(gè)測(cè)點(diǎn)影響系數(shù) 。 設(shè)各測(cè)點(diǎn)原始振動(dòng)為 (i=1,2,N),則應(yīng)在平衡面加校正量 后,各測(cè)點(diǎn)振動(dòng)為零。由此得矢量聯(lián)立方程組: 用矩陣形式表示為: 簡(jiǎn)寫為,2020/7/20,53,柔性平衡轉(zhuǎn)速通常不止一個(gè),為使方程有精確解,必需使M=N,而N=H.n,其中n為一個(gè)轉(zhuǎn)速下的測(cè)點(diǎn)數(shù),H為平衡轉(zhuǎn)速數(shù)。 通常平衡轉(zhuǎn)速應(yīng)包含臨近臨界轉(zhuǎn)速及工作轉(zhuǎn)速。 由于加重面數(shù)M受到限制,一般NM,即方程
28、數(shù)多于未知數(shù),稱為矛盾方程組,故不存在精確解,只能得到近似解。若NM,則為不定方程,無唯一解。 平衡面選擇:1)影響系數(shù)大,靈敏度高; 2)測(cè)試精度高,重復(fù)性好; 3)排除相關(guān)平衡面; 4)關(guān)鍵測(cè)量的影響系數(shù)必需準(zhǔn)確。 三、解復(fù)數(shù)矛盾方程組的最小二乘法 1)在N個(gè)測(cè)量方程中,減去N-M個(gè)方程,使得方程組成為正規(guī)方程組求解。缺點(diǎn):難于滿足大量舍去其它測(cè)點(diǎn)結(jié)果要求,甚至導(dǎo)致平衡狀態(tài)惡化。,2020/7/20,54,2)六十年代,P.T.Goodman提出“計(jì)算平衡校正量的最小二乘法”。設(shè)想是將個(gè)測(cè)點(diǎn)剩余(殘余)振動(dòng)普遍下降,即加上一組平衡配重后,各測(cè)點(diǎn)振動(dòng)平方和最小。 特點(diǎn):測(cè)點(diǎn)數(shù)不受限制,滿足了
29、柔性轉(zhuǎn)子多平衡面多轉(zhuǎn)速下進(jìn)行平衡的要求。 設(shè)原始振動(dòng)為: ,各平衡轉(zhuǎn)速下的影響系數(shù)為 (j=1,2,M,為平衡面編號(hào);i=1,2,N,為測(cè)點(diǎn)編號(hào)),待求校正量為 ,令 (i=1,2,N)為各測(cè)點(diǎn)剩余振動(dòng),在線性條件下,滿足方程組:,2020/7/20,55,簡(jiǎn)寫為: 令s為剩余振動(dòng)的平方和,則 式中: 為 的共軛復(fù)數(shù)。 若一組校正量滿足上式,則為最有近似解。 由上式可知,s是自變量 (j=1,2,M)的二次函數(shù),因此,上式為求解二次函數(shù)s的極值問題。由于s是 的連續(xù)函數(shù),且 故必存在一組 ,或 使得s值為最小。即滿足,2020/7/20,56,由于: 則有 將實(shí)部與虛部展開得 代入極值條件中可
30、得,2020/7/20,57,由上兩式得 將式(3-82)代入,并整理得 此即為由最小二乘法導(dǎo)出的對(duì)應(yīng)于矢量矛盾方程組的復(fù)數(shù)正規(guī)方程組,寫成矩陣形式為: 由此可知:將復(fù)數(shù)矩陣 的共軛轉(zhuǎn)置矩陣 左乘原矛盾方程組,可直接求得對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)正規(guī)方程組,即,2020/7/20,58,設(shè) 為矛盾方程組近似最優(yōu)解,可用矩陣表示為: 最后,用所求結(jié)果 代入(3-78)式,校驗(yàn)剩余振動(dòng)值 是否在允許范圍內(nèi)。 四、加權(quán)迭代 在選定配重方案 下總的剩余振動(dòng)為 若存在剩余振動(dòng)偏大,即|maxR,可進(jìn)行加權(quán)迭代,使得最大剩余振動(dòng)下降,但其它測(cè)點(diǎn)剩余振動(dòng)有可能增加。但剩余振動(dòng)平方和以不加權(quán)迭代的數(shù)值最小。 設(shè)N個(gè)測(cè)振點(diǎn)的加權(quán)
31、因子為i,分別乘以(3-79)兩邊得,2020/7/20,59,由最小二乘法得 其中 加權(quán)因子根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得出,一般推薦 ,如果剩余振動(dòng)過大,可進(jìn)行第二次迭代,一般迭代12次即可。 因此,影響系數(shù)法平衡柔性轉(zhuǎn)子的步驟為: 1)確定平衡面數(shù); 2)給定轉(zhuǎn)速下,測(cè)得N個(gè)測(cè)點(diǎn)的原始不平衡振動(dòng)值; 3)依次在M個(gè)平衡面上加已知試重,在同樣給定轉(zhuǎn)速下測(cè)出N個(gè)測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)值; 4)根據(jù)測(cè)量結(jié)果(編程)計(jì)算影響系數(shù); 5)利用最小二乘法或加權(quán)最小二乘法求解矛盾方程組,得到校正量 ; 6)校核剩余振動(dòng):滿足即結(jié)束;若不滿足,進(jìn)入第5)步驟。,2020/7/20,60,模態(tài)平衡法與影響系數(shù)法的比較: 如果平衡轉(zhuǎn)速選擇
32、在N個(gè)臨界轉(zhuǎn)速附近,并選M=N個(gè)校正面,一個(gè)測(cè)振點(diǎn)。校正平面zj試重qj引起的振動(dòng)為 當(dāng)平衡轉(zhuǎn)速接近臨界轉(zhuǎn)速ck時(shí),上式中以k階響應(yīng)項(xiàng)為主,其它項(xiàng)可忽略,此時(shí)影響系數(shù)為: 此時(shí)影響系數(shù)矩陣 的每一行與sk(z1),sk(z2),sk(zM)成比例。此時(shí),兩種方法等效;若平衡轉(zhuǎn)速不選在臨界轉(zhuǎn)速附近,則結(jié)論不成立。,2020/7/20,61,第五節(jié) 柔性轉(zhuǎn)子其它平衡方法,一、混合平衡法(振型影響系數(shù)法) 1.影響系數(shù)法 優(yōu)點(diǎn):可同時(shí)平衡幾階振型,平衡方便,可利用計(jì)算機(jī)輔助平衡,便于實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)處理自動(dòng)化; 缺點(diǎn):高速下平衡啟動(dòng)次數(shù)多,高階振型敏感性降低,可能存在相關(guān)平面,得到不正確的校正量。 2.模態(tài)
33、平衡法 優(yōu)點(diǎn):高速平衡啟動(dòng)次數(shù)少,敏感性高,低階振型不受影響; 缺點(diǎn):振型不易側(cè)準(zhǔn),系統(tǒng)阻尼大時(shí)不夠有效,對(duì)于軸系平衡時(shí),在臨界轉(zhuǎn)速附近不易獲得單一振型。 3.混合平衡法 結(jié)合兩者優(yōu)點(diǎn),在影響系數(shù)法基礎(chǔ)上,充分利用模態(tài)平衡,2020/7/20,62,法中的振型分離特點(diǎn)選擇各項(xiàng)系數(shù),效果較好。 以圖3-14所示轉(zhuǎn)子為例 設(shè)在轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)出現(xiàn)兩階 臨界轉(zhuǎn)速,按模態(tài)平衡法 中N+2平面法,選取四個(gè) 校正面,即N=4,校正面 按模態(tài)平衡法選取。如圖 中1,2,3,4四個(gè)平面。 由振型平衡方程可得,2020/7/20,63,式中: 簡(jiǎn)寫為 上式校正量有唯一解,但 是隨機(jī)分布的,無法直接求解 出校正量 ,利
34、用影響系數(shù),可列出四個(gè)線性方程 若 選取合適,上述方程組有唯一解,且滿足式(3-91) 。 由式(3-92) 得 式中,2020/7/20,64,若 值滿足式(3-95) ,則式(3-93) 的解 必滿足式(3-91) 。 取兩支點(diǎn)為測(cè)點(diǎn),按振型分離步驟升速,先進(jìn)行低速動(dòng)平衡,轉(zhuǎn)速為0,由式(3-95) 得 式中上角標(biāo)(0)表示原始狀態(tài)。 低速平衡,振型不平衡分量作用很小,上式可簡(jiǎn)化為: 可求得兩支承 振動(dòng)校正量為,2020/7/20,65,由此得到 校正量 ,然后升速至1,進(jìn)行一次高速動(dòng)平衡,測(cè)得兩支承振動(dòng)為: 式中:,2020/7/20,66,因1接近一階臨界轉(zhuǎn)速,主要為一階振型不平衡分量
35、的作用,上式可近似簡(jiǎn)化為 方程組線性相關(guān),故只能取一個(gè)振動(dòng)值,若 ,一般取較大的 值。按N+2平面法,校正重由下式獲 得 式中: 為相應(yīng)于加一次配重 后在轉(zhuǎn)速0時(shí)二支承的振動(dòng)。該方程相容,滿足平衡方程式(3-91)中前三個(gè)方程。即轉(zhuǎn)子可以平穩(wěn)地通過一階臨界轉(zhuǎn)速,又不破壞剛性轉(zhuǎn)子平衡。 同理,將轉(zhuǎn)速升到二階臨界轉(zhuǎn)速附近,進(jìn)行高速動(dòng)平衡,平衡轉(zhuǎn)速為2,二支點(diǎn)振動(dòng)可近似簡(jiǎn)化為:,2020/7/20,67,同樣,方程組線性相關(guān),只能取振動(dòng)較大值,此時(shí)校正量為四個(gè),可由下式求得 式中: 相應(yīng)為轉(zhuǎn)子加上二次配重后二支承振動(dòng),該方程滿足平衡方程式(3-91)中的四個(gè)方程。 最后得到總校正量為 該校正量可使轉(zhuǎn)
36、子在全速范圍內(nèi)達(dá)到 平衡,2020/7/20,68,二、振型圓平衡法(模態(tài)響應(yīng)圓平衡法),模態(tài)平衡法要求在各階臨界轉(zhuǎn)速下進(jìn)行平衡,但會(huì)引起過大振動(dòng),且不穩(wěn)定。 振型圓平衡法:利用模態(tài)分析技術(shù),通過振型圓,在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)分離出該階模態(tài),尤其適用于多跨軸系。 1.基本原理 振型圓模態(tài)圓。 已知Jeffcott轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為: 式中:z=x+iy,令n=c/(2m), ,其穩(wěn)態(tài)解為,2020/7/20,69,由式(3-100)有 由此得 故有 上式為復(fù)平面上的振型圓方程。圓心在虛軸一側(cè)并與實(shí)軸相切,見圖3-15(a)。經(jīng)過圓心和臨界轉(zhuǎn)速點(diǎn)的直徑OA稱為共振直徑。實(shí)際振型圓不封閉,見圖3-15(b)。
37、特點(diǎn):,2020/7/20,70,1)具有一般模態(tài)圓特征; 2)在臨界轉(zhuǎn)速附近,相位變化劇烈,當(dāng)=c時(shí): ds/d=0 3)=c時(shí),=/2,表明不平衡激振力垂直共振直徑,并超前 ,因而確定了不平衡激振力方向; 4)單自由度系統(tǒng),矢端圓近似為一個(gè)圓,多自由度系統(tǒng),圖形比較復(fù)雜,但在各階臨界轉(zhuǎn)速附近,矢端圖仍接近一個(gè)圓。 圖3-16為一雙支點(diǎn)對(duì)稱轉(zhuǎn)子軸承測(cè)得的振型圓圖,不平衡位于平面1(軸承A)一側(cè),靠近不平衡量一側(cè)的兩階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的振型圓是同相的;另一側(cè)兩個(gè)振型圓則是反相的。 2.平衡方法 影響因素:其它振型、初始彎曲、熱變形等。 1)(A法)根據(jù)預(yù)先計(jì)算結(jié)果,在臨界轉(zhuǎn)速附近測(cè)得轉(zhuǎn)子或軸承的振幅
38、、相位,繪制振型圖(見圖3-17)。,2020/7/20,71,2)(B法)借試重求出影響矢量。 特點(diǎn): 1)測(cè)量精度高,數(shù)據(jù)可靠; 2)測(cè)量速度快,不需穩(wěn)速測(cè)量; 3)平衡精度高,可有效分離振型; 4)需具備多點(diǎn)連續(xù)自動(dòng)檢測(cè)和分析裝置。 三、限制最大平衡配重法 高速微型發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子,由于結(jié)構(gòu)限制,平衡配重受到一定限制,由此,對(duì)轉(zhuǎn)子配重的最大值做出限制,以便在規(guī)定平衡配重的條件下達(dá)到平衡精度要求的目的。 1)首先,選擇可用于平衡的面,進(jìn)行轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析,剔除相關(guān)平面,確定平衡面數(shù)N; 2)對(duì)最小二乘法進(jìn)行改進(jìn),限定最大配重量,通過優(yōu)化配置(如遺傳算法等)獲得在限定最大配重條件下的最優(yōu),2020/
39、7/20,72,平衡配重組合; 3)校核平衡結(jié)果。 四、諧波小波在柔性轉(zhuǎn)子平衡中的應(yīng)用 1.動(dòng)平衡信號(hào)的特點(diǎn) 不平衡引起的振動(dòng)信號(hào)主要是與轉(zhuǎn)速同頻率的正弦波,是振動(dòng)信號(hào)的主要成分,實(shí)際測(cè)量信號(hào)中可能還有2, 3, 4等倍頻,l/2的亞倍頻,隨機(jī)振動(dòng)等成分,因此實(shí)際信號(hào)可以用下面的模型來表示: (3-4-1) 式中e(t)是測(cè)量實(shí)際信號(hào) ,E0是測(cè)量儀輸出的直流信號(hào), 是不平衡量引起的基頻信號(hào), 是各諧波分量 。 2.諧波小波濾波原理 諧波小波為復(fù)小波,在頻域緊支,有明確的函數(shù)表達(dá)式:,2020/7/20,73,(3-4-2) 圖3.4.1諧波小波時(shí)域圖 圖3.4.2諧波小波頻域圖 根據(jù)小波理論
40、對(duì)諧波小波進(jìn)行伸縮、平移就生成諧波小波函數(shù)族 及其伸縮平移函數(shù)族構(gòu)成信號(hào)的正交基。因而,將諧波小波作為基函數(shù)系可以將信號(hào)既不重疊、又無遺漏地分解到相互獨(dú)立的頻域空間,重構(gòu)轉(zhuǎn)速頻段的信號(hào)即實(shí)現(xiàn)了濾波功能。 圖3.4.3 二進(jìn)諧波小波對(duì)頻域空間 的劃分,2020/7/20,74,二進(jìn)諧波小波在高頻段存在頻段帶寬太大的缺點(diǎn),需要對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),寫為更一般的形式: (3-4-3) 其中 m,n可以不是整數(shù)。取一定步長k/(n-m)上式變?yōu)椋?(3-4-4) 定義一對(duì)復(fù)小波系數(shù) (3-4-5) 則離散信號(hào)f(r)在頻段2m2n的重構(gòu)為 (3-4-6),2020/7/20,75,不平衡量信號(hào)是與轉(zhuǎn)速同頻的,
41、因此可以根據(jù)轉(zhuǎn)速信息來調(diào)整m和n的值,從而達(dá)到控制通帶的帶寬和頻率中心的目的,完全符合自適應(yīng)濾波的要求。m和n的值由下式確定: (3-4-7) 其中N為采樣點(diǎn)數(shù),fs為采樣頻率,fmin和fmax分別為帶通濾波器下截止頻率和帶通濾波器上截止頻率。 3.仿真試驗(yàn) 為了驗(yàn)證上述方法的有效性,根據(jù)式(3-4-1)建立含噪不平衡量信號(hào)的模型: (3-4-8) 不平衡量信號(hào)頻率f1=480Hz,倍頻f2=960Hz,噪聲n(x),是均值為0,方差為1的高斯白噪聲信號(hào),采樣頻率12.2kHz,采樣長度1024,濾波帶寬32Hz,下截止頻率464Hz,上截止頻率496Hz。 濾波試驗(yàn)結(jié)果見圖3.4.4,20
42、20/7/20,76,圖3.4.4 濾波試驗(yàn)結(jié)果圖,2020/7/20,77,由圖3.4.4(a)可見不平衡量信號(hào)完全淹沒在噪聲信號(hào)中,無法獲得信號(hào)幅值和相位信息;圖3.4.4(b)和圖3.4.4(c)分別為無噪聲干擾的不平衡量信號(hào)和諧波小波濾波后的信號(hào),兩圖比較可以看出,推廣的諧波小波濾波能夠有效地消除噪聲干擾,較好地還原出了不平衡量信號(hào),幅值存在微小誤差,相位無滯后。,2020/7/20,78,第六節(jié) 柔性轉(zhuǎn)子平衡精度,1.剛性轉(zhuǎn)子:國際標(biāo)準(zhǔn)ISO-1940,采用偏心速度評(píng)定。 偏心速度Ve可表示為: Ve=e/1000(毫米/秒) 式中:e不平衡偏心(微米),其值為 其中:URA轉(zhuǎn)子允許剩余不平衡量(克.毫米); M轉(zhuǎn)子質(zhì)量(公斤)。 乘積e代表了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為時(shí)的質(zhì)心速度,國際標(biāo)準(zhǔn)中按不同的e值將平衡精度分為11個(gè)等級(jí),各等級(jí)之間公比為2.5. 對(duì)于燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子,標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定平衡精度應(yīng)達(dá)到G2.5級(jí),即偏心速度Ve=12.5毫米/秒,轉(zhuǎn)速較高的轉(zhuǎn)子,Ve相應(yīng)取較小值。 確定偏心速度Ve后,可按下式求得轉(zhuǎn)子允許的剩余不平衡量URA,即,2020/7/20,79,其中,取最大工作轉(zhuǎn)速。 另外,還可以從作用在
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