經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分 6-8

1、,一、由邊際函數(shù)求原函數(shù),二、由變化率求總量,第八節(jié) 定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用,三、收益流的現(xiàn)值和將來(lái)值,一、由邊際函數(shù)求原函數(shù),設(shè)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用函數(shù)u(x)的邊際函數(shù)為u(x)， 則,于是,例1 已知邊際成本為 ,固定成本為1000,求總成本函數(shù),解：,另解：,先求不定積分,例2 設(shè)邊際收益函數(shù)為R(x)=78-2x (x為產(chǎn)量，x0), 求收益函數(shù)R(x)。,解：R(0)=0,二、由變化率求總量,解 (1),例3 某工廠生產(chǎn)某商品在時(shí)刻 t 的總產(chǎn)量的變化率為 x(t ) = 100 + 12t (單位小時(shí))。求(1) 生產(chǎn)4小時(shí)時(shí)的總產(chǎn)量；(2)這4小時(shí)中后兩個(gè)小時(shí)的產(chǎn)量。,=496(單位),=272

2、(單位),例4 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 C(x)=150-0.2x.當(dāng) 產(chǎn)量由200增加到300時(shí)，需追加的成本為多少？,解：追加的成本,例5 在某地區(qū)消費(fèi)者個(gè)人收入為x元時(shí)消費(fèi)支出W的 變化率為W(x)= .當(dāng)個(gè)人收入由900增加到1600時(shí)， 消費(fèi)支出會(huì)增加多少？,解：,三、收益流的現(xiàn)值和將來(lái)值,收益若是連續(xù)地獲得，則收益被看作是一種隨 時(shí)間連續(xù)變化的收益流。,收益流的現(xiàn)值是這樣一筆款項(xiàng)，若將它存入銀行，將來(lái)從收益流中獲得的總收益，與包括利息在內(nèi)的銀行存款值有相同的價(jià)值。,將收益流存入銀行并加上利息之后的存款值。,收益流對(duì)時(shí)間的變化率。,收益流,收益流量,收益流 將來(lái)值,收益流 現(xiàn) 值,貨

3、幣資金未來(lái)的價(jià)值，即一定量的資金在將來(lái) 某一時(shí)點(diǎn)的價(jià)值，表現(xiàn)為本利和。,將來(lái)值,貨幣資金現(xiàn)在的價(jià)值，即將來(lái)某一時(shí)點(diǎn)的一定 量的資金折合成現(xiàn)在的價(jià)值。,現(xiàn) 值,收益現(xiàn)值,總 現(xiàn) 值,分析：,若有一筆收益流的收益流量為p( t )(元/年)，考慮從現(xiàn)在開(kāi)始(t = 0)到T 年后這一段時(shí)間段的將來(lái)值和現(xiàn)值(以連續(xù)復(fù)利率計(jì)息),在區(qū)間0,T內(nèi)任取一小區(qū)間t, t+dt，在t, t+dt 內(nèi)所獲得的金額近似為 p( t )dt，從t = 0開(kāi)始， p( t )dt這一金額在 t 年后的將來(lái)獲得，從而在 t, t+dt內(nèi),收益流的將來(lái)值,總的將來(lái)值,對(duì)于將來(lái)值，p( t )dt在T-t 年獲得利息，從而

4、在t, t+dt內(nèi),例6 假設(shè)以年連續(xù)復(fù)利率 0.1計(jì)息 ,求收益流量為100元/年的收益流在20年內(nèi)的現(xiàn)值和將來(lái)值.,解:,現(xiàn)值,將來(lái)值,864.66(元),6 389.06(元),四、 小結(jié),由邊際函數(shù)求原函數(shù),由變化率求總量,收益流的現(xiàn)值和將來(lái)值,思考題,思考題解答,練 習(xí) 題,一、已知邊際成本為C(x) =30+4x，邊際收益為 R(x) =60-2x ，求最大利潤(rùn)。(假定固定成本為零),解：,當(dāng)邊際收益等于邊際成本時(shí)，取得最大利潤(rùn)，,即R (x) = C (x)，,60-2x =30+4x,x = 5,最大利潤(rùn)為：,另解：,成本函數(shù)為,最大利潤(rùn)為：,收益函數(shù)為,利潤(rùn)函數(shù)為,當(dāng)產(chǎn)量x=

5、5,取得最大 利潤(rùn),如果再增產(chǎn)一個(gè) 單位，利潤(rùn)會(huì)怎樣？,二、已知某產(chǎn)品生產(chǎn)x個(gè)單位時(shí)總收益R的變化率為 試求(1)生產(chǎn)100個(gè)單位時(shí)的總收益； (2)再繼續(xù)生產(chǎn)100個(gè)單位，增加的總收益。,解：(1),= 19950(單位),= 19850(單位),三、某地區(qū)居民購(gòu)買冰箱的消費(fèi)支出W(x)的變化率 的居民消費(fèi)支出x總收入的函數(shù)， ， 當(dāng)收入由4億元增加到9億元時(shí)，購(gòu)買冰箱的消費(fèi)支出 增加多少？,解：,=0.01(億元),即當(dāng)?shù)鼐用褓?gòu)買冰箱的消費(fèi)支出增加0.01億元。,四、設(shè)某商品從時(shí)刻0到時(shí)刻t的銷售量為 x ( t ) = kt，t0,T, k0,欲在時(shí)刻T將數(shù)量A的該商品銷售完，試求(1) t時(shí)刻的商品剩余量，并確定k值； (2)在時(shí)間段 0,T上的平均剩余量。,（2003年研究生入學(xué)考試試題）,解 (1)商品剩余量是時(shí)刻t的函數(shù)，記為y(t),即 y(t)=A-x(t)=