《電磁場與電磁波》ppt教案-05恒定磁場

1、第五章 恒定磁場,主 要 內(nèi) 容 磁感應(yīng)強度，場方程，邊界條件。,1. 磁感應(yīng)強度、磁通及磁場線,已知磁場表現(xiàn)為對于運動電荷有力的作用，因此，可以根據(jù)運動電荷或電流元受到的作用力，或者根據(jù)小電流環(huán)在磁場中受到的力矩描述磁場的強弱。,實驗發(fā)現(xiàn)，運動電荷在磁場中受到的作用力不僅與電荷量及運動速度的大小成正比，而且還與電荷的運動方向有關(guān)。電荷沿某一方向運動時受力最大，而垂直此方向運動時受力為零。我們定義，受力為零的方向為零線方向，如圖所示。,設(shè)最大作用力為 Fm ，沿偏離零線方向 角度運動時，受力為 。作用力 F 的大小與電荷量 q 及速度大小 v 的乘積成正比。,我們定義一個矢量 B ， 令其大小

2、為 ，其方向為零線方向，那么矢量B 與電荷量 q ，運動速度v 以及作用力F 的關(guān)系為,矢量 B 稱為磁感應(yīng)強度，單位為T（特斯拉）。,值得注意的是，運動電荷受到的磁場力始終與電荷的運動方向垂直，因此，磁場力無法改變運動電荷速度的大小，只能改變其運動方向，磁場與運動電荷之間沒有能量交換。,根據(jù)上述磁感應(yīng)強度 B 的定義，可以導(dǎo)出電流元在磁場中受到的力以及小電流環(huán)在磁場中受到的力矩。,電流元是一小段載流導(dǎo)線，以矢量元 dl 的大小表示電流元的長度，其方向表示電流 I 的方向，如左下圖示。,若電流元的電流為I，則,那么，由前式求得電流元在磁感應(yīng)強度為B的磁場中受到的力,此式表明，當(dāng)電流元的電流方向

3、與磁感應(yīng)強度 B 平行時，受力為零；當(dāng)電流元的方向與 B 垂直時，受力最大。,電流元在磁場中的受力方向始終垂直于電流的流動方向。,小電流環(huán)受到的力矩。設(shè)小電流環(huán)為四根長度為 l 的電流元圍成的平面方框，電流方向如左下圖示。,如果觀察距離遠(yuǎn)大于小電流環(huán)的尺寸，這種小電流環(huán)又稱為磁偶極子。,式中 為電流環(huán)的面積。,由于小環(huán)面積很小，在小環(huán)的平面內(nèi)可以認(rèn)為磁場是均勻的。那么當(dāng)磁感應(yīng)強度 B 與電流環(huán)所在平面平行時，如圖(a)所示，則 ab 及 cd 兩條邊不受力，ad 及 bc 兩條邊受力方向相反，因此，使電流環(huán)受到一個力矩 T ，其大小為,當(dāng)電流環(huán)的平面與B垂直時，如圖 (b)所示，各邊受力方向指

4、向外側(cè)，相互抵消，電流環(huán)受到的力矩為零。,當(dāng)B 與電流環(huán)平面的法線方向夾角為 時，如圖(c)所示， 則 B 可分解為 Bn 及 Bt 兩個分量，其中 Bn 垂直于小環(huán)平面, Bt 平行于小環(huán)平面，因此，小環(huán)受到的力矩大小為,若定義有向面 S 的方向與電流方向構(gòu)成右旋關(guān)系，則上式可寫成矢量形式,可以證明，此式適用于任何形狀的小電流環(huán)。通常，乘積 IS 稱為小電流環(huán)的磁矩，以 m 表示，即,則前式又可寫為,此式表明，當(dāng)電流環(huán)的磁矩方向與磁感應(yīng)強度 B 的方向平行時，受到的力矩為零；當(dāng)兩者垂直時，受到的力矩最大。,磁感應(yīng)強度也可用一系列有向曲線來表示。曲線上某點的切線方向為磁感應(yīng)強度矢量的方向，這些

5、曲線稱為磁場線（磁力線） 。磁場線的矢量方程為,磁場線也不可相交。與電場線一樣，若以磁場線構(gòu)成磁場管，且規(guī)定相鄰磁場管中的磁通相等，則磁場線的疏密程度也可表示磁場的強弱，磁場線密表示磁感應(yīng)強度強。,磁感應(yīng)強度 B 通過某一表面 S 的通量稱為磁通，以 表示，即,磁通的單位為Wb（韋伯）。,2. 真空中的恒定磁場方程式,真空中恒定磁場的磁感應(yīng)強度 B 滿足下列兩個方程,左式稱為安培環(huán)路定律，式中 0 為真空磁導(dǎo)率， (H/m)，I 為閉合曲線包圍的電流。,安培環(huán)路定律表明，真空中恒定磁場的磁感應(yīng)強度沿任一閉合曲線的環(huán)量等于曲線包圍的電流與真空磁導(dǎo)率的乘積。,由此可見，與電流線一樣，磁場線也是處處

6、閉合的，沒有起點與終點，這種特性稱為磁通連續(xù)性原理。,右式表明，真空中恒定磁場通過任一閉合面的磁通為零。,由斯托克斯定理獲知,再考慮到電流強度 I 與電流密度 J 的關(guān)系,那么，根據(jù)安培環(huán)路定律求得,由于上式對于任何表面都成立，因此，被積函數(shù)應(yīng)為零，從而求得,此式表明，真空中某點恒定磁場的磁感應(yīng)強度的旋度等于該點的電流密度與真空磁導(dǎo)率的乘積。,另外，由高斯定理獲知,那么，根據(jù)磁通連續(xù)性原理求得,由于此式處處成立，因此被積函數(shù)應(yīng)為零，即,此式表明，真空中恒定磁場的磁感應(yīng)強度的散度處處為零。,綜上所述，求得真空中恒定磁場方程的微分形式為,可見，真空中恒定磁場是有旋無散的。,根據(jù)亥姆霍茲定理，磁感應(yīng)

7、強度B 應(yīng)為,式中,考慮到真空中恒定磁場方程，得,那么,可見，某點磁感應(yīng)強度 B 等于該點矢量函數(shù) A 的旋度，該矢量函數(shù) A 稱為矢量磁位。,若已知電流分布，利用上式可以先求出任一點的矢量磁位，即可計算該點的磁感應(yīng)強度。,此式稱為畢奧沙伐定律。,電流分類：電流可以分布在體積中，也可分布在表面上或細(xì)導(dǎo)線中。面分布的電流稱為表面電流，表面電流密度 Js 的單位為 A/m。細(xì)導(dǎo)線中電流稱為線電流，線電流無密度可言。,經(jīng)過演算，還可直接建立電流與磁感應(yīng)強度的關(guān)系為,各種電流之間的關(guān)系為,那么，可以導(dǎo)出面電流和線電流產(chǎn)生的矢量磁位及磁感應(yīng)強度分別為,對于某些恒定磁場，根據(jù)安培環(huán)路定律計算磁感應(yīng)強度將十

8、分簡便。,為此，必須找到一條封閉曲線，曲線上各點的磁感應(yīng)強度大小相等，且方向與曲線的切線方向一致，上式的矢量積分變?yōu)闃?biāo)量積分，且 B 可以由積分號移出，那么即可求出 B 值。,至此，我們獲得了真空中恒定磁場方程的積分形式和微分形式。已知電流分布，根據(jù)矢量磁位和磁感應(yīng)強度公式，即可計算恒定磁場。對于某些分布特殊的恒定磁場利用安培環(huán)路定律計算恒定磁場更為簡便。,例1 計算無限長的，電流為I 的線電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。,解 取圓柱坐標(biāo)系，如圖示。令 z 軸沿電流方向。 的方向為B 的方向。那么，由圖可見，這個叉積方向為圓柱坐標(biāo)中的 e 方向。因此，磁感應(yīng)強度 B 的方向為 e 方向，即,此式表明，磁

9、場線是以 z 軸為圓心的一系列的同心圓。顯然，此時磁場分布以 z 軸對稱，且與 無關(guān)。又因線電流為無限長，因此，場量一定與變量 z 無關(guān)，所以，以線電流為圓心的磁場線上各點磁感應(yīng)強度相等。因此，沿半徑為r 的磁場線上磁感應(yīng)強度的環(huán)量為,根據(jù)安培環(huán)路定律，求得磁感應(yīng)強度的大小為,此式也適用于具有一定截面，電流為I 的無限長的圓柱導(dǎo)線外的恒定磁場。,B,例2 計算半徑為a ，電流為 I 的小電流環(huán)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。,解 取球坐標(biāo)系，令坐標(biāo)原點位于電流環(huán)的中心，且電流環(huán)的平面位于xy 平面內(nèi)，如圖示。由于結(jié)構(gòu)對稱，場量一定與 無關(guān)。為了計算方便起見，令所求的場點位于xz 平面，即 = 0平面內(nèi)。,經(jīng)

10、過一系列演算，求得,式中 為小電流環(huán)的面積。,考慮到小電流環(huán)的磁矩 ，上式可表示為,根據(jù) ，求得,可見，小電流環(huán)產(chǎn)生的矢量磁位 A 與距離 r 的平方成反比，磁感應(yīng)強度 B 與距離 r 的立方成反比。而且，兩者均與場點所處的方位有關(guān)。,此式適用于磁矩為m ，位于坐標(biāo)原點的任何取向的磁偶極子。,3. 矢量磁位與標(biāo)量磁位,已知矢量磁位 A 與磁感應(yīng)強度 B 的關(guān)系為,矢量磁位與電位不同，它沒有任何物理意義，僅是一個計算輔助量。,已知 ，那么,求得,可見，矢量磁位 A 滿足矢量泊松方程。,當(dāng)電流分布未知時，必須利用邊界條件求解恒定電磁場的方程。為此，需要導(dǎo)出矢量磁位應(yīng)該滿足的微分方程。,前述矢量磁位

11、的積分表達(dá)式可以認(rèn)為是該方程的特解自由空間中的解。,在無源區(qū)中，J = 0，則上式變?yōu)橄率鍪噶坷绽狗匠?已知在直角坐標(biāo)系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解為三個坐標(biāo)分量的標(biāo)量方程。因此，前述的格林函數(shù)法以及分離變量法均可用于求解矢量磁位 A 的各個直角坐標(biāo)分量所滿足的標(biāo)量泊松方程及拉普拉斯方程。此外，鏡像法也可適用于求解恒定磁場的邊值問題。,已知磁通表達(dá)式為 ，那么,再利用斯托克斯定理，得,由此可見，利用矢量磁位 A 計算磁通十分簡便。,在無源區(qū)中，因J = 0，得 ?？梢?，無源區(qū)中磁感應(yīng)強度B 是無旋的。 因此，無源區(qū)中磁感應(yīng)強度 B 可以表示為一個標(biāo)量場的梯度，令,式中標(biāo)量 m 稱為標(biāo)

12、量磁位。因 ，由上式得,可見，標(biāo)量磁位滿足拉普拉斯方程。這樣，根據(jù)邊界條件，求解標(biāo)量磁位滿足的拉普拉斯方程，可得標(biāo)量磁位，然后即可求出磁感應(yīng)強度。,注意，標(biāo)量磁位的應(yīng)用僅限于無源區(qū)。,4. 媒質(zhì)磁化,電子圍繞原子核旋轉(zhuǎn)形成一個閉合的環(huán)形電流，這種環(huán)形電流相當(dāng)于一個磁偶極子。電子及原子核本身自旋也相當(dāng)于形成磁偶極子。,媒 質(zhì),合成場Ba+ Bs,當(dāng)外加磁場時，在磁場力的作用下，這些帶電粒子的運動方向發(fā)生變化，甚至產(chǎn)生新的電流，導(dǎo)致各個磁矩重新排列，宏觀的合成磁矩不再為零，這種現(xiàn)象稱為磁化。,由于熱運動的結(jié)果，這些磁偶極子的排列方向雜亂無章，合成磁矩為零，對外不顯示磁性。,與極化現(xiàn)象不同，磁化結(jié)果

13、使媒質(zhì)中的合成磁場可能減弱或增強，而介質(zhì)極化總是導(dǎo)致合成電場減弱。,根據(jù)磁化過程，媒質(zhì)的磁性能分為抗磁性 、順磁性、鐵磁性及亞鐵磁性等。,抗磁性。,在正常情況下，原子中的合成磁矩為零。當(dāng)外加磁場時，電子除了仍然自旋及軌道運動外，軌道還要圍繞外加磁場發(fā)生運動，這種運動方式稱為進動。,電子進動產(chǎn)生的附加磁矩方向總是與外加磁場的方向相反，導(dǎo)致媒質(zhì)中合成磁場減弱。因此，這種磁性能稱為抗磁性，如銀、銅、鉍、鋅、鉛及汞等。,順磁性。在正常情況下，合成磁矩不為零。由于熱運動結(jié)果，宏觀的合成磁矩為零。在外加磁場的作用下，除了引起電子進動以外，磁偶極子的磁矩方向朝著外加磁場方向轉(zhuǎn)動。因此，合成磁場增強，這種磁性

14、能稱為順磁性。如鋁、錫、鎂、鎢、鉑及鈀等。,鐵磁性。內(nèi)部存在“磁疇”，每個“磁疇”中磁矩方向相同，但是各個“磁疇”的磁矩方向雜亂無章，對外不顯示磁性。在外磁場作用下，各個“磁疇”方向趨向一致，且疇界面積還會擴大，因而產(chǎn)生很強的磁性。例如鐵、鈷、鎳等。這種鐵磁性媒質(zhì)的磁性能還具有非線性，且存在磁滯及剩磁現(xiàn)象。,亞鐵磁性。是一種金屬氧化物，磁化現(xiàn)象比鐵磁媒質(zhì)稍弱一些，但剩磁小，且電導(dǎo)率很低，這類媒質(zhì)稱為亞鐵磁媒質(zhì)。例如鐵氧體等。由于其電導(dǎo)率很低，高頻電磁波可以進入內(nèi)部，產(chǎn)生一些可貴的特性，使得鐵氧體在微波器件中獲得廣泛的應(yīng)用。,磁化結(jié)果產(chǎn)生了磁矩。為了衡量磁化程度，我們定義單位體積中磁矩的矢量和稱

15、為磁化強度，以 M 表示，即,式中 為 中第 i 個磁偶極子具有的磁矩。 為物理無限小體積。,磁化后，媒質(zhì)中形成新的電流，這種電流稱為磁化電流。形成磁化電流的電子仍然被束縛在原子或分子周圍，所以磁化電流又稱為束縛電流。磁化電流密度以J 表示。利用矢量磁位與磁矩的關(guān)系，可以導(dǎo)出矢量磁位與磁化強度 M 的關(guān)系為,第一項為體分布的磁化電流產(chǎn)生的矢量磁位，第二項為面分布的磁化電流產(chǎn)生的矢量磁位，因此兩種磁化電流密度與磁化強度的關(guān)系為,例 已知半徑為a，長度為 l 的圓柱形磁性材料，沿軸線方向獲得均勻磁化。若磁化強度為M，試求位于圓柱軸線上距離遠(yuǎn)大于圓柱半徑 P 點處由磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。,解 取

16、圓柱坐標(biāo)系，令 z 軸與圓柱軸線一致，如圖示。,由于是均勻磁化，磁化強度與坐標(biāo)無關(guān)，因此， ，即體分布的磁化電流密度為零。,又知表面磁化電流密度,式中en 為表面的外法線方向上單位矢。因 ，所以表面磁化電流密度 僅存在于圓柱側(cè)壁，上下端面的磁化電流密度為零。因此,顯然，這種表面磁化電流在側(cè)壁上形成環(huán)形電流。位于 z 處寬度為dz 的環(huán)形電流為( dz) ，那么該環(huán)形電流在軸線上 z 處(z a)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度 dB 為,那么側(cè)壁上全部磁化電流在軸線上z 處產(chǎn)生的合成磁感應(yīng)強度為,5. 媒質(zhì)中的恒定磁場方程式,磁化媒質(zhì)內(nèi)部的磁場相當(dāng)于傳導(dǎo)電流 I 及磁化電流 I 在真空中產(chǎn)生的合成磁場。這樣，

17、磁化媒質(zhì)中磁感應(yīng)強度 B 沿任一閉合曲線的環(huán)量為,考慮到 ，求得,令,則,式中H 稱為磁場強度，其單位是A/m。上式稱為媒質(zhì)中安培環(huán)路定律。它表明媒質(zhì)中的磁場強度沿任一閉合曲線的環(huán)量等于閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流。,利用斯托克斯定理，由上式求得,該式稱為媒質(zhì)中安培環(huán)路定律的微分形式。它表明媒質(zhì)中某點磁場強度的旋度等于該點傳導(dǎo)電流密度。,磁化電流并不影響磁場線處處閉合的特性，媒質(zhì)中磁感應(yīng)強度通過任一閉合面的通量仍為零，因而磁感應(yīng)強度的散度仍然處處為零，即,磁場強度僅與傳導(dǎo)電流有關(guān)，簡化了媒質(zhì)中磁場強度的計算，正如使用電通密度可以簡化介質(zhì)中靜電場的計算一樣。,對于大多數(shù)媒質(zhì)，磁化強度 M 與磁場強度

18、H 成正比，即,式中比例常數(shù) m 稱為磁化率。磁化率可以是正或負(fù)實數(shù)。,考慮到 ，則由上式求得,令,則,式中 稱為磁導(dǎo)率。,相對磁導(dǎo)率 r 定義為,但是，無論抗磁性或者順磁性媒質(zhì)，其磁化現(xiàn)象均很微弱，因此，可以認(rèn)為它們的相對磁導(dǎo)率基本上等于1。鐵磁性媒質(zhì)的磁化現(xiàn)象非常顯著，其磁導(dǎo)率可以達(dá)到很高的數(shù)值。,抗磁性媒質(zhì)磁化后使磁場減弱，因此,順磁性媒質(zhì)磁化后使磁場增強，因此,與介質(zhì)的電性能一樣，媒質(zhì)的磁性能也有均勻與非均勻，線性與非線性、各向同性與各向異性等特點。,若媒質(zhì)的磁導(dǎo)率不隨空間變化，則稱為磁性能均勻媒質(zhì)，反之，則稱為磁性能非均勻媒質(zhì)。若磁導(dǎo)率與外加磁場強度的大小及方向均無關(guān)，磁感應(yīng)強度與磁

19、場強度成正比，則稱為磁性能各向同性的線性媒質(zhì)。磁性能各向異性的媒質(zhì)，其磁導(dǎo)率具有9個分量，B 與 H 的關(guān)系為,對于磁性能均勻、線性、各向同性的媒質(zhì)，由于磁導(dǎo)率與空間坐標(biāo)無關(guān)，因此得,又知 ，由亥姆霍茲定理得,它所滿足的微分方程式為,可以認(rèn)為，上式是下式的特解，即自由空間的解。,上述結(jié)果表明，對于均勻、線性、各向同性媒質(zhì)，只要真空磁導(dǎo)率 0 換為媒質(zhì)磁導(dǎo)率 ，各個方程即可適用。,6. 恒定磁場的邊界條件,推導(dǎo)過程與靜電場的情況完全類似。結(jié)果如下：,(1) 當(dāng)邊界上不存在表面電流時，磁場強度的切向分量是連續(xù)的，即,對于各向同性的線性媒質(zhì)，上式又可表示為,(2) 磁感應(yīng)強度的法向分量是連續(xù)的， 即

20、,對于各向同性的線性媒質(zhì)，由上式求得,由上可見，邊界兩側(cè)磁場強度及磁感應(yīng)強度的大小及方向均要發(fā)生變化。這種不連續(xù)性是由于邊界上存在的表面磁化電流引起的。,考慮到回路方向與回路界定的有向面方向形成右旋關(guān)系，上式又可寫成矢量形式,邊界上磁感應(yīng)強度的切向分量與磁化電流的關(guān)系為,得,磁導(dǎo)率為無限大的媒質(zhì)稱為理想導(dǎo)磁體。在理想導(dǎo)磁體中不可能存在磁場強度，否則，由式 可見，將需要無限大的磁感應(yīng)強度。產(chǎn)生無限大的磁感應(yīng)強度需要無限大的電流，因而需要無限大的能量，顯然這是不可能的。,例1 在具有氣隙的環(huán)形磁芯上緊密繞制N 匝線圈，如圖示。當(dāng)線圈中的恒定電流為 I 時，若忽略散逸在線圈外的漏磁通，試求磁芯及氣隙中的磁感應(yīng)強度及磁場強度。,邊界上