線性方程組的解

1、3 線性方程組的解,一、線性方程組的表達(dá)式,一般形式 向量方程的形式 方程組可簡(jiǎn)化為 AX = b ,增廣矩陣的形式 向量組線性組合的形式,二、線性方程組的解的判定,設(shè)有 n 個(gè)未知數(shù) m 個(gè)方程的線性方程組,定義：線性方程組如果有解，就稱它是相容的；如果無解， 就稱它是不相容的,問題1：方程組是否有解？ 問題2：若方程組有解，則解是否唯一？ 問題3：若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體？,m、n 不一定相等！,定理：n 元線性方程組 Ax = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件

2、是 R(A) = R(A, b) n ,分析：只需證明條件的充分性，即 R(A) R(A, b) 無解； R(A) = R(A, b) = n 唯一解； R(A) = R(A, b) n 無窮多解 那么 無解 R(A) R(A, b) ； 唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； 無窮多解 R(A) = R(A, b) n ,證明：設(shè) R(A) = r ，為敘述方便，不妨設(shè) B = (A, b) 的行最 簡(jiǎn)形矩陣為 第一步：往證 R(A) R(A, b) 無解 若 R(A) R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)1，則 dr+1 = 1 于是 第 r +1 行對(duì)應(yīng)矛盾方程

3、0 = 1，故原線性方程組無解,R(A) R(A, b) R(A)1,前 r 列,后 n - r 列,前 n 列,前 r 列,第二步：往證 R(A) = R(A, b) = n 唯一解 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原線性方程組有唯一解,后 n - r 列,則 dr+1 = 0 且 r = n，,對(duì)應(yīng)的線性方程組為,從而 bij 都不出現(xiàn).,前 r 列,n 列,第二步：往證 R(A) = R(A, b) = n 唯一解 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原線性方程組有唯一解,則 dr+1 = 0 且 bij 都不出現(xiàn).,即 r = n，,前 r 行,后 mr 行,后

4、 n - r 列,n 行,對(duì)應(yīng)的線性方程組為,后 mn 行,第三步：往證 R(A) = R(A, b) n 無窮多解 若 R(A) = R(A, b) n ， 對(duì)應(yīng)的線性方程組為,前 r 列,則 dr+1 = 0 .,后 n - r 列,即 r n ，,令 xr+1, , xn 作自由變量，則,再令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，則,線性方程組的通解,例：求解非齊次線性方程組,解：,R(A) = R(A, b) = 3 4，故原線性方程組有無窮多解,備注：,有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = r n ，這時(shí),還能根據(jù) R(A)

5、= R(A, b) = r n 判斷該線性方程組有無限多解嗎？,同解,返回,解（續(xù)）： 即得與原方程組同解的方程組 令 x3 做自由變量，則 方程組的通解可表示為 ,例：求解非齊次線性方程組,解：,R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原線性方程組無解,例：求解齊次線性方程組,提問：為什么只對(duì)系數(shù)矩陣 A 進(jìn)行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形 矩陣？,答：因?yàn)辇R次線性方程組 Ax = 0 的常數(shù)項(xiàng)都等于零，于是 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可從 R(A) 判斷齊次線性方程組 的解的情況,例：設(shè)有線性方程組,問 l 取何值時(shí)，此方程組有(1) 唯一解；(2) 無解；(3) 有無 限多

6、個(gè)解？并在有無限多解時(shí)求其通解,定理：n 元線性方程組 Ax = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n ,解法1：對(duì)增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣,附注： 對(duì)含參數(shù)的矩陣作初等變換時(shí)，由于 l +1， l +3 等因式可能等于零，故不宜進(jìn)行下列的變換： 如果作了這樣的變換，則需對(duì) l +1 = 0（或 l +3 = 0）的情況另作討論,分析： 討論方程組的解的情況，就是討論參數(shù) l 取何值時(shí)，r2 、r3 是非零行 在 r2 、r3 中，有

7、 5 處地方出現(xiàn)了l ，要使這 5 個(gè)元素等于零， l = 0，3，3，1 實(shí)際上沒有必要對(duì)這 4 個(gè)可能取值逐一進(jìn)行討論，先從方程組有唯一解入手,于是 當(dāng) l 0 且 l 3 時(shí)，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解 當(dāng) l = 0 時(shí)，R(A) = 1， R(B) = 2 ，無解 當(dāng) l = 3 時(shí)，R(A) = R(B) = 2 ，有無限多解,解法2：因?yàn)橄禂?shù)矩陣 A 是方陣，所以方程組有唯一解的充 分必要條件是 |A| 0 ,于是當(dāng) l 0 且 l 3 時(shí)，方程組有唯一解,當(dāng) l = 0 時(shí)， R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程組無解,當(dāng) l = 3 時(shí)， R(A) =

8、 R(B) = 2 ，方程組有無限多個(gè)解，其通解為,定理：n 元線性方程組 Ax = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n ,分析：因?yàn)閷?duì)于 Ax = 0 必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可從 R(A) 判斷齊次線性方程組的解的情況,定理：n 元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解的充分必要條件 是 R(A) n ,定理：線性方程組 Ax = b 有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) ,定理：矩陣方程 AX = B 有解的充

9、分必要條件是 R(A) = R(A, B) ,定理：矩陣方程 AX = B 有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, B) ,證明：設(shè) A 是 mn 矩陣， B 是 ml 矩陣， X 是 nl 矩陣. 把 X 和 B 按列分塊，記作 X = ( x1, x2, , xl ) ，B = ( b1, b2, , bl ) 則 即矩陣方程 AX = B 有解 線性方程組 Axi = bi 有解 R(A) = R( A, bi ),設(shè) R(A) = r ，A 的行最簡(jiǎn)形矩陣為 ，則 有 r 個(gè)非零行， 且 的后 mr 行全是零 再設(shè) 從而 ,矩陣方程 AX = B 有解 線性方程組 Axi = b

10、i 有解 R(A) = R( A, bi ) 的后 mr 個(gè)元素全是零 的后 mr 行全是零 R(A) = R(A, B) ,定理：矩陣方程 AX = B 有解的充分必要條件是 R(A) = R(A, B) ,定理：設(shè) AB = C ，則 R(C) minR(A), R(B) ,證明：因?yàn)?AB = C ，所以矩陣方程 AX = C 有解 X = B， 于是 R(A) = R(A, C) R(C) R(A, C) ，故 R(C) R(A) 又 (AB)T = CT，即 BTAT = CT，所以矩陣方程 BTX = CT 有解 X = AT ，同理可得，R(C) R(B) 綜上所述，可知 R(C) minR(A), R(B) ,非齊次線性方程組,無解