高中數(shù)學(xué)球的體積和表面積 教案 北師大必修2（通用）

1、球的體積和表面積 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、課標(biāo)要求：知識(shí)與技能 通過(guò)對(duì)球的體積和面積公式的推導(dǎo)，了解推導(dǎo)過(guò)程中所用的基本數(shù)學(xué)思想方法：“分割求和化為準(zhǔn)確和”，有利于同學(xué)們進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分和近代數(shù)學(xué)知識(shí)。 能運(yùn)用球的面積和體積公式靈活解決實(shí)際問(wèn)題。 培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力和空間想象能力。過(guò)程與方法通過(guò)球的體積和面積公式的推導(dǎo)，從而得到一種推導(dǎo)球體積公式R3和面積公式R2的方法，即“分割求近似值，再由近似和轉(zhuǎn)化為球的體積和面積”的方法，體現(xiàn)了極限思想。情感與價(jià)值觀(guān)通過(guò)學(xué)習(xí)，使我們對(duì)球的體積和面積公式的推導(dǎo)方法有了一定的了解，提高了空間思維能力和空間想象能力，增強(qiáng)了我們探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的信心。二、教學(xué)重點(diǎn)、

2、難點(diǎn)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生了解推導(dǎo)球的體積和面積公式所運(yùn)用的基本思想方法。難點(diǎn)：推導(dǎo)體積和面積公式中空間想象能力的形成。三、學(xué)法和教學(xué)用具1學(xué)法：學(xué)生通過(guò)閱讀教材，發(fā)揮空間想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和轉(zhuǎn)化為球的體積和面積”的解題方法和步驟。2教學(xué)用具：投影儀四、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情景教師提出問(wèn)題：球既沒(méi)有底面，也無(wú)法像在柱體、錐體和臺(tái)體那樣展開(kāi)成平面圖形，那么怎樣來(lái)求球的表面積與體積呢？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考。教師設(shè)疑：球的大小是與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來(lái)表示球的體積和面積？激發(fā)學(xué)生推導(dǎo)球的體積和面積公式。（二）探究新知1球的體積：（1）比較半球的體積與其等底等高的旋轉(zhuǎn)體的

3、體積結(jié)論：（2）利用祖暅原理，求半球的體積結(jié)論：（3）得到半徑是的球的體積公式：結(jié)論：2球的表面積：由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面積無(wú)法利用展開(kāi)圖來(lái)求.該如何求球的表面積公式?是否也可借助分割思想來(lái)推導(dǎo)呢?（1）.若將球表面平均分割成n個(gè)小塊,則每小塊表面可近似看作一個(gè)平面,這n小塊平面面積之和可近似看作球的表面積.當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí),這n小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積.（2）.若每小塊表面看作一個(gè)平面,將每小塊平面作為底面,球心作為頂點(diǎn)便得到n個(gè)棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積.當(dāng)n越大,越接近于球的體積,當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)就精確到等于球的體積. （3）半徑為R的球

4、的表面積公式：結(jié)論： （三）典例分析例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積和表面積.(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)(變式2)把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?例2如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，求球的表面積和體積。(變式) 球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、,求球體的表面積和體積。例3（課本P31例4）（變式）求球體與其外接切等邊圓錐（截面為等邊三角形）的體積之比（四）鞏固深化、反饋矯正1.球的直徑伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,體積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍. （答案8倍）2.若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍（答案4倍）3.若兩球表面積之比為1:9，則其體積之比是_.（答案1:27）4.若兩球體積之比是8:1，則其表面積之比是_.（答案4:1）5.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)是4cm,這個(gè)球的體積為cm3.（答案：）6正方體的內(nèi)切球和外接球的體積比為 ，表面積比為 。（答案： ；3 ：1）7長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別為3、4、5，是它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是 。 （答案50 ）（五）課堂小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)