復(fù)變函數(shù) 2.3初等多值解析函數(shù)

1、第三節(jié) 初等多值解析函數(shù),2.3.1 根式函數(shù),2.3.2 對數(shù)函數(shù),2.3.3 一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù),2.3.4 具有多個有限支點(diǎn)的情形,2.3.5 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù),2.3.6 小結(jié)與思考,2,定義2.8(單葉函數(shù)） 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義,且對D內(nèi)任意不 同的兩點(diǎn)z1及z2都有f(z1)f(z2),則稱函數(shù) f(z)在D內(nèi) 是單葉的.并且稱區(qū)域D為f(z)的單葉性區(qū)域. 顯然,區(qū)域D到區(qū)域G的單葉滿變換w=f(z) 就是D 到G的一一變換. f(z)=z2不是C上的單葉函數(shù). f(z)=z3是C上的單葉函數(shù),3,2.3.0冪函數(shù)的變換性質(zhì)及其單葉性區(qū)域,設(shè)有冪函數(shù): w

2、=zn 令z=rei,w=ei ,則： w=zn ei = rnein= rn, =n 于是得到冪函數(shù)有如下的變換性質(zhì)：,z平面,w平面,射線 =0,射線 =n0,圓周r=r0,圓周= r0n,4,W=zn,z平面,w平面,射線 =0,射線 =n0,圓周r=r0,圓周= r0n,0,n0,角域00,射線0 n0,),),),5,從原點(diǎn)起沿負(fù)實(shí)軸剪開的w平面,G0,z平面,w平面,W=zn,角域 00,角域0 n0,上岸,下岸,6,映射特點(diǎn):,冪函數(shù)w=zn (n1) 單葉性區(qū)域是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，張度不超過2/n的角形區(qū)域,的角形域, 但張角變成為原來的 n 倍.,是冪函數(shù)的單葉性區(qū)域的一種分法,總

3、之：,把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn),7,2.3.1根式函數(shù),定義2.9 若z=wn,則稱w為z的n次根式函數(shù)，記為：,i.e. 根式函數(shù),為冪函數(shù)z=wn 的反函數(shù).,(1) 根式函數(shù)的多值性.,8,(2) 分出根式函數(shù)的單值解析分支.,1) 產(chǎn)生多值的原因.,產(chǎn)生多值的原因是:當(dāng)z取定后，其輻角不固定，可以連續(xù)改變2的整數(shù)倍，對應(yīng)的函數(shù)值連續(xù)改變到下一個值,9,2) 解決的辦法.,限制z的輻角的變換，使其輻角的該變量argz2,理論上的的做法：,從原點(diǎn)O起到點(diǎn)任意引一條射線將z平面割破，該直線稱為割線，在割破了的平面(構(gòu)成以此割線為邊界的區(qū)域，記為G)上，argz2，從而可將其轉(zhuǎn)

4、化為單值函數(shù)來研究,常用的做法：,從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破：,z,G,10,結(jié)論：,從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破,即可將根式函數(shù):,分成如下的n個單值函數(shù)：,定義域為,wk在Gk上解析,且,11,G1,3,G0,-,-,T0,T1,T2,G2,3,5,12,2.3.2 對數(shù)函數(shù),1. 定義,說明：,w=Lnz是指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù),Lnz一般不能寫成lnz,2.計算公式及多值性說明：,13,由于Argz的多值性導(dǎo)致w=Lnz 是一個具有無窮多值的多值函數(shù),規(guī)定：,為對數(shù)函數(shù)Lnz的主值,于是：,z的主輻角,14,特殊地,15,例4,解,注意: 在實(shí)對數(shù)函數(shù)中, 零和負(fù)數(shù)無對數(shù), 這

5、一點(diǎn) 在復(fù)對數(shù)函數(shù)中不再成立.,16,例5,解,17,例6,解,18,19,2. 性質(zhì),20,證 (3),證畢,21,(3)(4)錯了,例：,錯了，同志哥！,決不會相等！,原因,Bernoulli悖論,Lnz是集合記號，應(yīng)該理解為兩個集合相加,A=0,1 A+A=0,1,2 2A=0,2 A+A2A,22,3. 分出w=Lnz的單值解析分支,從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破，就可將,對數(shù)函數(shù)w=Lnz分成如下n個單值解析分支：,定義域為,wk在Gk上解析,且,23,2.3.3 一般冪函數(shù)與一般指函數(shù),1. 一般冪函數(shù),稱為z的一般冪數(shù)函數(shù),2. 一般指數(shù)函數(shù),稱為z的一般指數(shù)函數(shù),都是多值函數(shù)，適當(dāng)割破z平面，都可轉(zhuǎn)化為單值函數(shù),24,注意:,1. 一般冪函數(shù),稱為z的一般冪數(shù)函數(shù),25,26,特殊情況:,27,28,例7,解,答案,課堂練習(xí),29,例8,解,30,2. 冪函數(shù)的解析性,它的 各個分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,31,它的 各個分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,32,2.3.4 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù),1. 反三角函數(shù)的定義,兩端取對數(shù)得,33,同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù), 重復(fù)以上步驟, 可以得到它們的表達(dá)式:,2. 反雙曲函數(shù)的定義,34,例14,解,35,2.3.6 小結(jié)與思考