矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則

1、矩陣基本運(yùn)算及應(yīng)用201700060牛晨暉在數(shù)學(xué)中，矩陣是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合。矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)工具，也常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫(huà)制作也需要用到矩陣。 矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問(wèn)題。將矩陣分解為簡(jiǎn)單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。在電力系統(tǒng)方面，矩陣知識(shí)已有廣泛深入的應(yīng)用，本文將在介紹矩陣基本運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)則的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)要介紹其在電力系統(tǒng)新能源領(lǐng)域建模方面的應(yīng)用情況，并展望隨機(jī)矩陣?yán)碚摰认嚓P(guān)知識(shí)與人工智能電力系統(tǒng)的緊密結(jié)合。1矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則1.1矩陣的加法與

2、減法1.1.1運(yùn)算規(guī)則 設(shè)矩陣，則 簡(jiǎn)言之，兩個(gè)矩陣相加減，即它們相同位置的元素相加減！注意：只有對(duì)于兩個(gè)行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣（即同型矩陣），加減法運(yùn)算才有意義，即加減運(yùn)算是可行的1.1.2運(yùn)算性質(zhì) 滿足交換律和結(jié)合律交換律 ； 結(jié)合律 1.2矩陣與數(shù)的乘法1.2.1 運(yùn)算規(guī)則 數(shù)乘矩陣a，就是將數(shù)乘矩陣a中的每一個(gè)元素，記為或特別地，稱稱為的負(fù)矩陣1.2.2 運(yùn)算性質(zhì) 滿足結(jié)合律和分配律結(jié)合律： ()a=(a) ； (+)a =a+a分配律： (a+b)=a+b1.2.3典型舉例 已知兩個(gè)矩陣 滿足矩陣方程，求未知矩陣解由已知條件知 1.3矩陣與矩陣的乘法1.3.1運(yùn)算規(guī)則 設(shè)，則a與b

3、的乘積是這樣一個(gè)矩陣：(1) 行數(shù)與（左矩陣）a相同，列數(shù)與（右矩陣）b相同，即(2) c的第行第列的元素由a的第行元素與b的第列元素對(duì)應(yīng)相乘，再取乘積之和1.3.2典型例題 設(shè)矩陣 計(jì)算 解是的矩陣設(shè)它為 可得結(jié)論1：只有在下列情況下，兩個(gè)矩陣的乘法才有意義，或說(shuō)乘法運(yùn)算是可行的：左矩陣的列數(shù)右矩陣的行數(shù)； 結(jié)論2在矩陣的乘法中，必須注意相乘的順序即使在與均有意義時(shí)，也未必有=成立可見(jiàn)矩陣乘法不滿足交換律；結(jié)論3方陣a和它同階的單位陣作乘積，結(jié)果仍為a，即1.3.3 運(yùn)算性質(zhì)（假設(shè)運(yùn)算都是可行的） (1)結(jié)合律(2)分配律（左分配律）；（右分配律）(3)1.3.4 方陣的冪 定義：設(shè)a是方陣

4、，是一個(gè)正整數(shù)，規(guī)定 ， 顯然，記號(hào)表示個(gè)a的連乘積1.4矩陣的轉(zhuǎn)置1.4.1 定義 定義：將矩陣a的行換成同序號(hào)的列所得到的新矩陣稱為矩陣a的轉(zhuǎn)置矩陣，記作或例如，矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為1.4.2運(yùn)算性質(zhì)（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）(1) (2) (3) (4)，是常數(shù)1.4.3典型例題 利用矩陣 驗(yàn)證運(yùn)算性質(zhì)： 解 ；而 所以定義：如果方陣滿足，即，則稱a為對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)是：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等1.5方陣的行列式1.5.1定義 定義：由方陣a的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣a的行列式，記作或1.5.2運(yùn)算性質(zhì) (1) （行列式的性質(zhì)）(2) ，特別地： (3)

5、（是常數(shù)，a的階數(shù)為n）思考：設(shè)a為階方陣，那么的行列式與a的行列式之間的關(guān)系為什么不是，而是？不妨自行設(shè)計(jì)一個(gè)二階方陣，計(jì)算一下和例如，則于是，而 2光伏逆變器的建模光伏并網(wǎng)逆變器是將光伏組件輸出的直流電轉(zhuǎn)化為符合電網(wǎng)要求的交流點(diǎn)再輸入電網(wǎng)的關(guān)鍵設(shè)備，是光伏系統(tǒng)并網(wǎng)環(huán)節(jié)中能量轉(zhuǎn)換與控制的核心。光伏逆變器的性能不僅影響到光伏系統(tǒng)是否運(yùn)行穩(wěn)定、安全可靠，也是影響整個(gè)系統(tǒng)使用壽命的主要因素。本節(jié)將分析主流光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和建模方法。2.1系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)光伏并網(wǎng)逆變器按照不同的分類(lèi)方式可分為多種類(lèi)型。如按照交流側(cè)接線數(shù)可分為單相逆變器和三相逆變器，如按照并網(wǎng)方式可分為隔離型光伏逆變器和非隔離型光伏

6、逆變器。在歐洲，相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求光伏逆變器可以采用非隔離型；而在美國(guó)，光伏逆變器必須采用隔離型的；我國(guó)目前尚沒(méi)有在此方面的明確要求。按照能量變換級(jí)數(shù)來(lái)分，光伏并網(wǎng)系統(tǒng)主要包括單級(jí)變換、兩級(jí)變換和多級(jí)變換三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。為方面理解后續(xù)利用矩陣相關(guān)知識(shí)建模，下面對(duì)這三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特點(diǎn)做簡(jiǎn)要介紹。1) 單級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)單級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與前者相比，只有dc/ac逆變部分，該逆變器一般采用單相半橋、全橋電壓型逆變器或者三相全橋電壓型逆變器。這種類(lèi)型的光伏逆變器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低廉等優(yōu)點(diǎn)。由于該系統(tǒng)只有一級(jí)功率轉(zhuǎn)換電路，所有控制目標(biāo)都要通過(guò)這一級(jí)功率轉(zhuǎn)換單元實(shí)現(xiàn)，因而增加了控制系統(tǒng)的復(fù)雜性。圖1為一典型的單極

7、變換單相光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這種光伏逆變器一般會(huì)安裝工頻變壓器。變壓器可以有效降低輸出側(cè)電壓，也可以起到有效隔離絕緣的效果，具有可靠性高、維護(hù)量少、開(kāi)關(guān)頻率低和電磁干擾小等特點(diǎn)。圖1 單級(jí)單相光伏逆變器拓?fù)鋱D2) 兩級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)兩級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一般由dc/dc變換器和dc/ac逆變器兩部分組成。前者一般采用比較常見(jiàn)的boost電路、buck-boost電路或cuk電路等，用來(lái)實(shí)現(xiàn)光伏陣列輸出功率的最大功率跟蹤的功能，dc/ac一般采用單相或三相的并網(wǎng)逆變器實(shí)現(xiàn)并網(wǎng)、有功調(diào)節(jié)、無(wú)功補(bǔ)償或者諧波補(bǔ)償?shù)认嚓P(guān)功能。圖2為一典型的兩級(jí)變換單相光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。第一級(jí)是dc/dc變換環(huán)節(jié)，其拓?fù)漕?lèi)

8、型為boost電路，目的是把光伏組件輸出的不穩(wěn)定直流低電壓提升到可并網(wǎng)的穩(wěn)定直流高電壓。第二級(jí)是dc/ac逆變環(huán)節(jié)，由單相全橋的可逆pwm整流器構(gòu)成，這一級(jí)的功率開(kāi)關(guān)可以采用mosfet或igbt。圖2 兩級(jí)變換單相光伏逆變器拓?fù)鋱D3) 多級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 采用高頻變壓器絕緣方式的多級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通過(guò)采用帶有整流器的高頻率變壓器來(lái)提升輸入電壓，具有體積小、重量輕、成本低等優(yōu)點(diǎn)，常用于并網(wǎng)型太陽(yáng)能發(fā)電設(shè)備之中。圖3為一典型的帶高頻變壓器的多級(jí)變換單相光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由于需要經(jīng)過(guò)三級(jí)能量變換，通常效率相對(duì)較低，并且由于高頻電磁干擾嚴(yán)重，必須采用濾波和屏蔽等相關(guān)措施。圖3 帶高頻變壓

9、器的多級(jí)式光伏逆變器拓?fù)鋱D2.2典型光伏逆變器的建模與兩級(jí)式光伏逆變器相比，單級(jí)式光伏逆變器只有一個(gè)能量變換環(huán)節(jié)，結(jié)構(gòu)緊湊、元器件少，能量轉(zhuǎn)換效率更高。目前，單級(jí)式三相光伏并網(wǎng)逆變器在大中型光伏電站的建設(shè)中得到了大規(guī)模的應(yīng)用。本節(jié)選取此類(lèi)光伏逆變器作為典型進(jìn)行建模分析。如圖4所示，三相光伏逆變器一般由防反沖二極管、直流母線穩(wěn)壓電容、dc/ac逆變環(huán)節(jié)、逆變器輸出濾波器組成。圖4 三相光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)電路圖假定三相電感且其等效電感、電阻值分別為l1=l2=l3=l和r1=r2=r3=r。三相全橋都是理想的開(kāi)關(guān)管。光伏發(fā)電系統(tǒng)在三相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型如下： (2.1)式中：ia、ib、ic三相

10、并網(wǎng)逆變器的輸出電流；ea、eb、ec三相電網(wǎng)電壓；sa、sb、sc開(kāi)關(guān)函數(shù)；udc直流母線電壓；考慮直流母線中電流的穩(wěn)壓作用，則有 (2.2)式中：c直流母線穩(wěn)壓電容；ipv光伏陣列輸出電流。將公式2.2進(jìn)行同步矢量旋轉(zhuǎn)變換，則得到dq坐標(biāo)系下的三相光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)的模型為：(2.3)式中：id、iq逆變器輸出電流d、q軸（有功、無(wú)功）分量；ed、eq電網(wǎng)電壓d、q軸分量；sd、sq觸發(fā)三相逆變橋的開(kāi)關(guān)信號(hào)d、q軸分量；電網(wǎng)電壓的角頻率，即dq坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)速度。公式2.3中兩個(gè)電流方程寫(xiě)成矩陣形式為：(2.4)對(duì)公式2.4兩邊取拉式變換得(2.5)令=，=，相應(yīng)時(shí)域中有=，=，則公式2.5可

11、寫(xiě)為(2.6)公式2.6的時(shí)域表達(dá)式為： (2.7)3 隨機(jī)矩陣相關(guān)理論3.1 隨機(jī)矩陣相關(guān)理論和要點(diǎn)隨機(jī)矩陣?yán)碚?random matrix theory，rmt)的研究起源于原子核物理領(lǐng)域。wigner在研究量子系統(tǒng)中得出結(jié)論，對(duì)于復(fù)雜的量子系統(tǒng)，隨機(jī)矩陣?yán)碚摰念A(yù)測(cè)代表了所有可能相互作用的一種平均。偏離預(yù)測(cè)的那部分屬性反映了系統(tǒng)中特殊非隨機(jī)的性質(zhì)，這為了解和研究潛在的相互作用和關(guān)系提供了理論支撐。rmt 以矩陣為單位，可以處理獨(dú)立同分布(independent identically distributed，iid)的數(shù)據(jù)。rmt 并不對(duì)源數(shù)據(jù)的分布、特征等做出要求(如滿足高斯分布，為he

12、rmitian 矩陣等)，僅要求數(shù)據(jù)足夠大(并非無(wú)限)。故該工具適合處理大多數(shù)的工程問(wèn)題，特別適合用于分析具有一定隨機(jī)性的海量數(shù)據(jù)系統(tǒng)。隨機(jī)矩陣?yán)碚撜J(rèn)為當(dāng)系統(tǒng)中僅有白噪聲、小擾動(dòng)和測(cè)量誤差時(shí)，系統(tǒng)的數(shù)據(jù)將呈現(xiàn)出一種統(tǒng)計(jì)隨機(jī)特性；而當(dāng)系統(tǒng)中有信號(hào)源(事件)時(shí)，在其作用下系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)制和內(nèi)部機(jī)理將會(huì)改變，其統(tǒng)計(jì)隨機(jī)特性將會(huì)被打破。單環(huán)定律(ring law)、marchenko-pastur定律(m-p law)均是rmt 體系的重大突破。在這些理論基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步研究隨機(jī)矩陣的線性特征根統(tǒng)計(jì)量(linear eigenvaluestatistics, les)，而平均譜半徑(mean spect

13、ral radius)則是les所構(gòu)造出的一個(gè)具體對(duì)象。3.2 隨機(jī)矩陣?yán)碚搶?duì)電力系統(tǒng)的支撐全球正在經(jīng)歷由信息技術(shù)時(shí)代(it 時(shí)代)向數(shù)據(jù)技術(shù)時(shí)代(dt時(shí)代)的過(guò)渡，數(shù)據(jù)正逐步成為電力系統(tǒng)等大型民生系統(tǒng)的戰(zhàn)略資源。數(shù)據(jù)的價(jià)值在于其所蘊(yùn)含的信息而并非數(shù)據(jù)本身，信息提取(information extraction)相關(guān)技術(shù)是數(shù)據(jù)增值業(yè)務(wù)的核心。智能電網(wǎng)的最終目標(biāo)是建設(shè)成為覆蓋電力系統(tǒng)整個(gè)生產(chǎn)過(guò)程，包括發(fā)電、輸電、變電、配電、用電及調(diào)度等多個(gè)環(huán)節(jié)的全景實(shí)時(shí)系統(tǒng)。而支撐智能電網(wǎng)安全、自愈、綠色、堅(jiān)強(qiáng)及可靠運(yùn)行的基礎(chǔ)是電網(wǎng)全景實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的采集、傳輸和存儲(chǔ)，以及對(duì)累積的海量多源數(shù)據(jù)的快速分析。數(shù)據(jù)化是智能

14、電網(wǎng)建設(shè)的重要目標(biāo)，也是未來(lái)電網(wǎng)的基本特征。智能電網(wǎng)是繼小型孤立電網(wǎng)、分布式互聯(lián)大電網(wǎng)之后的第三代電網(wǎng)，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜。同時(shí)，用戶側(cè)的開(kāi)放致使新能源、柔性負(fù)荷、電能產(chǎn)消者(如ev)大規(guī)模介入電網(wǎng)，這也極大地加劇了電網(wǎng)運(yùn)行機(jī)理和控制模型的復(fù)雜性。傳統(tǒng)的通過(guò)對(duì)個(gè)體元器件建模、參數(shù)辨識(shí)及在此機(jī)理模型上進(jìn)行仿真的手段不足以認(rèn)知日益復(fù)雜的電網(wǎng)；而另一方面，隨著智能電網(wǎng)建設(shè)進(jìn)程的不斷深入，尤其是高級(jí)測(cè)量體系(advanced meteringinfrastructure，ami)和信息通信技術(shù)(informationcommunication technology，ict)的發(fā)展，數(shù)據(jù)將越來(lái)越容易獲取

15、，電網(wǎng)運(yùn)行和設(shè)備監(jiān)測(cè)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量將呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。然而，各電力部門(mén)普遍存在如下問(wèn)題：1）從如此之多的數(shù)據(jù)中，能得到些什么？2）不同部門(mén)的數(shù)據(jù)為什么且如何混合在一起？3）壞(異常、缺失、時(shí)間不同步)數(shù)據(jù)如何處理？上述的典型問(wèn)題也是現(xiàn)階段信息化建設(shè)所呈現(xiàn)的“重系統(tǒng)輕數(shù)據(jù)”模式的結(jié)果。該模式忽略了最重要的(也是理論要求最深的)數(shù)據(jù)資源利用環(huán)節(jié)，即將收集來(lái)的“數(shù)據(jù)原料”轉(zhuǎn)換成驅(qū)動(dòng)力，以數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)(data-driven/model-free)為主要方式及時(shí)、準(zhǔn)確地認(rèn)知系統(tǒng)，故難以滿足系統(tǒng)決策制定(decision-making)的需求。從數(shù)據(jù)的角度出發(fā)，海量(volume)、多樣(variety)、實(shí)時(shí)(

16、velocity)、真實(shí)(veracity)的4 vs 數(shù)據(jù)是未來(lái)電網(wǎng)數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢(shì)，而4 vs 數(shù)據(jù)的復(fù)雜性所引起的維數(shù)災(zāi)難(curseof imensionality)等問(wèn)題將不可避免地產(chǎn)生且日益嚴(yán)峻。而隨機(jī)矩陣是元素為隨機(jī)變量(random variable)的一類(lèi)矩陣，隨機(jī)矩陣?yán)碚?random matrix theory，rmt)主要研究隨機(jī)矩陣的特征根和特征向量的一些統(tǒng)計(jì)分析性質(zhì)，其核心為線性特征根統(tǒng)計(jì)量(linear eigenvalue statistic，les)。隨機(jī)矩陣知識(shí)與電力系統(tǒng)的廣泛結(jié)合將有的放矢的緩解這一問(wèn)題。4 結(jié)論與展望 本文第二部分簡(jiǎn)要介紹了矩陣基本知識(shí)在新能源領(lǐng)域建模的應(yīng)用情況。由此可見(jiàn)，矩陣基本知識(shí)已經(jīng)廣泛應(yīng)用與電力系統(tǒng)的各個(gè)領(lǐng)域多年。但近年來(lái)，隨著新能源裝機(jī)容量日益增長(zhǎng)與新能源遠(yuǎn)距離傳輸消納問(wèn)題的日益凸顯。包括隨機(jī)矩陣在內(nèi)的新興相關(guān)知識(shí)與電力系統(tǒng)人工智能網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合日漸緊密。