高中數(shù)學(xué) 1．3．1《二項式定理》教案 新人教版A選修2－3（通用）

1、131二項式定理教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：進一步掌握二項式定理和二項展開式的通項公式過程與方法：能解決二項展開式有關(guān)的簡單問題情感、態(tài)度與價值觀：教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。教學(xué)重點：二項式定理及通項公式的掌握及運用教學(xué)難點：二項式定理及通項公式的掌握及運用授課類型：新授課 課時安排：3課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析：二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ)這部分知識具有較高應(yīng)用價值和思維訓(xùn)練價值中學(xué)教材中的二項式定理主要包括：定理本身，通項公式，楊輝三角，二項式系數(shù)的

2、性質(zhì)等通過二項式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識，同時在求展開式、其通項、證恒等式、近似計算等方面形成技能或技巧；進一步體會過程分析與特殊化方法等等的運用；重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成二項式定理本身是教學(xué)重點，因為它是后面一切結(jié)果的基礎(chǔ)通項公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠(yuǎn)，所以也應(yīng)該是重點二項式定理的證明是一個教學(xué)難點這是因為，證明中符號比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\用組合數(shù)的性質(zhì)2、需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機會讓給學(xué)生，以發(fā)揮他們的自主精神；盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動的機會，以讓學(xué)生在直接體驗中建構(gòu)自己的知識體系；盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識，以使他們能在再

3、創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí)教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： ；的各項都是次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項：，展開式各項的系數(shù)：上面?zhèn)€括號中，每個都不取的情況有種，即種，的系數(shù)是；恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，有都取的情況有種，的系數(shù)是，二、講解新課：二項式定理：的展開式的各項都是次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項：，展開式各項的系數(shù)： 每個都不取的情況有種，即種，的系數(shù)是；恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，有都取的情況有種，的系數(shù)是，這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫的二項展開式，它有項，各項的系數(shù)叫二項式系數(shù)，叫

4、二項展開式的通項，用表示，即通項二項式定理中，設(shè)，則三、講解范例：例1展開解一： 解二：例2展開解：例3求的展開式中的倒數(shù)第項解：的展開式中共項，它的倒數(shù)第項是第項，例4求（1），（2）的展開式中的第項解：（1）， （2）點評：，的展開后結(jié)果相同，但展開式中的第項不相同例5（1）求的展開式常數(shù)項；（2）求的展開式的中間兩項解：，（1）當(dāng)時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為；（2）的展開式共項，它的中間兩項分別是第項、第項， 例6（1）求的展開式的第4項的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)及二項式系數(shù)解：的展開式的第四項是，的展開式的第四項的系數(shù)是（2）的展開式的通項是，的系數(shù)，的二項式系數(shù)例7求的展開式中

5、的系數(shù)分析：要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開解：（法一），顯然，上式中只有第四項中含的項，展開式中含的項的系數(shù)是（法二）：展開式中含的項的系數(shù)是例8已知 的展開式中含項的系數(shù)為，求展開式中含項的系數(shù)最小值分析：展開式中含項的系數(shù)是關(guān)于的關(guān)系式，由展開式中含項的系數(shù)為，可得，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的二次函數(shù)求解解：展開式中含的項為，即，展開式中含的項的系數(shù)為， ，當(dāng)時，取最小值，但， 時，即項的系數(shù)最小，最小值為，此時例9已知的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列，（1

6、）證明展開式中沒有常數(shù)項；（2）求展開式中所有的有理項 解：由題意：，即，舍去） 若是常數(shù)項，則，即，這不可能，展開式中沒有常數(shù)項；若是有理項，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)， ，即 展開式中有三項有理項，分別是：， 例10求的近似值，使誤差小于解：，展開式中第三項為，小于，以后各項的絕對值更小，可忽略不計，一般地當(dāng)較小時 四、課堂練習(xí)：1.求的展開式的第3項.2.求的展開式的第3項.3.寫出的展開式的第r+1項.4.求的展開式的第4項的二項式系數(shù)，并求第4項的系數(shù).5.用二項式定理展開：（1）；（2）.6.化簡：（1）；（2） 7展開式中的第項為，求 8求展開式的中間項答案：1. 2. 3. 4.展開式的第

7、4項的二項式系數(shù)，第4項的系數(shù) 5. （1）；（2）.6. （1）；（2） 7. 展開式中的第項為 8. 展開式的中間項為 五、小結(jié) ：二項式定理的探索思路:觀察歸納猜想證明；二項式定理及通項公式的特點 六、課后作業(yè)： P36 習(xí)題1.3A組1. 2. 3.4七、板書設(shè)計（略） 八、教學(xué)反思： (a+b) = 這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做 (a+b)的 ，其中（r=0,1,2,n）叫做 ， 叫做二項展開式的通項，它是展開式的第 項，展開式共有 個項.掌握二項式定理和二項展開式的通項公式，并能用它們解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題。培養(yǎng)歸納猜想，抽象概括，演繹證明等理性思

8、維能力。教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機結(jié)合起來，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的極好載體，教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。二項式定理是指這樣一個展開式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3等等展開式的一般形式，在初等數(shù)學(xué)中它各章節(jié)的聯(lián)系似乎不太多，而在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的共同基礎(chǔ)，根據(jù)二項式定理的展開，才求得y=xn的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)=nxn1，同時=e2.718281也正是由二項式定理的展開規(guī)律所確定，而e在高等數(shù)學(xué)中的地位更是舉足輕重，概率中的正態(tài)分布，復(fù)變函數(shù)

9、中的歐拉公式ei=cos+isin，微分方程中二階變系數(shù)方程及高階常系數(shù)方程的解由e的指數(shù)形式來表達(dá).且直接由e的定義建立的y=lnx的導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)=與積分公式=dxlnx+c是分析學(xué)中用的最多的公式之一.而由y=xn的各階導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+(xx0)2+(xx0)n+(0，1)以及由此建立的冪級數(shù)理論，更是廣泛深入到高等數(shù)學(xué)的各個分支中. 怎樣使二項式定理的教學(xué)生動有趣正因為二項式定理在初等數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容聯(lián)系較少，所以教材上教法就顯得呆板，單調(diào)，課本上先給出一個(a+b)4用組合知識來求展開式的系數(shù)的例子.然后推廣到一般形式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，因為證明寫得很長，上課時的板書幾乎占了整個黑板，所以課必然上得累贅，學(xué)生必然感到被動.那么多的算式學(xué)生看都不及細(xì)看，記也感到吃力，又怎能發(fā)揮主體作用？怎樣才能使得在這節(jié)課上學(xué)生獲得主動？采用課前預(yù)習(xí)；自學(xué)輔導(dǎo)；還是學(xué)生討論，或讀，議、講，練，或目標(biāo)教學(xué)，還是設(shè)置發(fā)現(xiàn)情境？看來這些辦法遇到真正困難時都會無能為力，因為這些方法都無法改變算式的冗長，證法的呆板，課堂上的新情境與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的圖式不協(xié)調(diào)的事實.而MM教育方式即數(shù)學(xué)方法論的教育方式卻能根據(jù)習(xí)題理論注意到充分利用數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技術(shù)把所要證明或計算的形式變換得十分簡潔，心理學(xué)家皮亞杰一再強調(diào)“認(rèn)識起因于主各體之間