應(yīng)力狀態(tài)分析與強度理論

1、,第九章 應(yīng)力狀態(tài)分析與強度理論,材料力學(xué),第九章 應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論,91 應(yīng)力狀態(tài)的概念 92 平面應(yīng)力狀態(tài)分析解析法 93 平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法,94 梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線,95 三向應(yīng)力狀態(tài)研究應(yīng)力圓法,96 平面內(nèi)的應(yīng)變分析,97 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力 - 應(yīng)變關(guān)系 （廣義虎克定律）,98 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能,9 應(yīng)力狀態(tài)的概念,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),一、引言,1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？,鑄鐵,2、組合變形桿將怎樣破壞？,四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示,三、單元體：單元體構(gòu)件內(nèi)的點的代表物，是包圍被研究點 的無限小的幾何體，常用的是正六面體。 單元體的

2、性質(zhì)a、平行面上，應(yīng)力均布； b、平行面上，應(yīng)力相等。,二、一點的應(yīng)力狀態(tài)： 過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點的應(yīng)力狀態(tài)（State of Stress at a Given Point）。,x,y,z,s,x,sz,s,y,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),x,y,z,s,x,sz,s,y,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),五、剪應(yīng)力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應(yīng)力分量,則兩個面上的這兩個剪應(yīng)力分量一定等值、方向相對或相離。,六、原始單元體（已知單元體）：,例1 畫出下列圖中的A、B、C

3、點的已知單元體。,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),七、主單元體、主面、主應(yīng)力：,主單元體(Principal bidy)： 各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。,主面(Principal Plane)： 剪應(yīng)力為零的截面。,主應(yīng)力(Principal Stress ）： 主面上的正應(yīng)力。,主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,單向應(yīng)力狀態(tài)（Unidirectional State of Stress）： 一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。,二向應(yīng)力狀態(tài)（Plane State of Stress）： 一個主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),三向應(yīng)力

4、狀態(tài)（ ThreeDimensional State of Stress）： 三個主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。,92 平面應(yīng)力狀態(tài)分析解析法,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),規(guī)定： 截面外法線同向為正； t a繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正； a逆時針為正。,圖1,設(shè)：斜截面面積為S，由分離體平衡得：,一、任意斜截面上的應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),圖1,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),考慮剪應(yīng)力互等和三角變換，得：,同理：,二、極值應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),在剪應(yīng)力相對的項限內(nèi)， 且偏向于x 及y大的一側(cè)。,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),例2 分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。,解：確定危險點并畫其原 始單元體,求極值應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),O,

5、破壞分析,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),鑄鐵,93 平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法,對上述方程消去參數(shù)（2），得：,一、應(yīng)力圓（ Stress Circle）,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),此方程曲線為圓應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國工程師：Otto Mohr引入）,建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示， （注意選好比例尺）,二、應(yīng)力圓的畫法,在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點A( x，xy)和B(y，yx),AB與sa 軸的交點C便是圓心。,以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)力圓；,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),三、單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系,四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),例3 求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)

6、,A,B,解：主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖,AB的垂直平分線與sa 軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)力圓,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),s1,s2,在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),s1,s2,主應(yīng)力及主平面如圖,A,B,解法2解析法：分析建立坐標(biāo)系如圖,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),94 梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),如圖，已知梁發(fā)生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q0，試確定截面上各點主應(yīng)力大小及主平面位置。,單元體：,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),1,s1,s3,s3,s1,s3,4,s1,s1,s3,5,a0,45,a0,s,t,A1,A2,D2,D1,C,O,s,A2,D2,D1,C,A1

7、,O,t,2a0,s,t,D2,D1,C,D1,O,2a0= 90,s,D2,A1,O,t,2a0,C,D1,A2,s,t,A2,D2,D1,C,A1,O,主應(yīng)力跡線（Stress Trajectories)： 主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線曲線上每一點的切線都指示 著該點的拉主應(yīng)力方位（或壓主應(yīng)力方位）。,實線表示拉主應(yīng)力跡線； 虛線表示壓主應(yīng)力跡線。,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),x,y,主應(yīng)力跡線的畫法：,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),95 三向應(yīng)力狀態(tài)研究應(yīng)力圓法,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),1、空間應(yīng)力狀態(tài),2、三向應(yīng)力分析,彈性理論證明

8、，圖a單元體內(nèi)任意一點任意截面上的應(yīng)力都對應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點。,圖a,圖b,整個單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為：,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),例4 求圖示單元體的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。（MPa）,解：由單元體圖知：y z面為主面,建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫應(yīng)力圓和點1,得:,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),50,40,30,A,B,C,96 平面內(nèi)的應(yīng)變分析,一、疊加法求應(yīng)變分析公式,剪應(yīng)變： 直角的增大量！ （只有這樣，前后才對應(yīng)）,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),2、已知一點A的應(yīng)變（ ），畫應(yīng)變圓,二、應(yīng)變分析圖解法應(yīng)變圓（ Strain Circle）,1

9、、應(yīng)變圓與應(yīng)力圓的類比關(guān)系,建立應(yīng)變坐標(biāo)系如圖,在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點 A(x，xy/2) B(y，-yx/2),AB與a 軸的交點C便是圓心,以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)變圓。,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),三、方向上的應(yīng)變與應(yīng)變圓的對應(yīng)關(guān)系,n,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),四、主應(yīng)變數(shù)值及其方位,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),例5 已知一點在某一平面內(nèi)的 1、 2、 3、方向上的應(yīng)變 1、 2、 3，三個線應(yīng)變，求該面內(nèi)的主應(yīng)變。,解：由,i =1,2,3這三個方程求出 x， y， x y；然后在求主應(yīng)變。,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),例6 用45應(yīng)變花測得一點的三個線應(yīng)變后，求該點的主應(yīng)變。,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),97 復(fù)雜應(yīng)力

10、狀態(tài)下的應(yīng)力 - 應(yīng)變關(guān)系 （廣義虎克定律）,一、單拉下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,二、純剪的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力 - 應(yīng)變關(guān)系,依疊加原理,得:,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),sz,sy,sx,主應(yīng)力 - 主應(yīng)變關(guān)系,四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系:,方向一致,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致?,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系,體積應(yīng)變：,體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系:,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),例7 已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點處的兩個面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6， 2=16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為 =0.3， 試求該點

11、處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。,所以，該點處的平面應(yīng)力狀態(tài),應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),例8 圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應(yīng)變片測得環(huán)向應(yīng)變 t =350l06，若已知容器平均直徑D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，試求:1.導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達式；2.計算容器所受的內(nèi)壓力。,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),s1,sm,p,O,圖a,1、軸向應(yīng)力:(longitudinal stress),解：容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達式,用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據(jù)平衡方程,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),用縱截

12、面將容器截開，受力如圖c所示,2、環(huán)向應(yīng)力：(hoop stress),3、求內(nèi)壓（以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之）,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),98 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),稱為形狀改變比能或歪形能。,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),例9 用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關(guān)系。,純剪單元體的比能為：,純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：,應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài),99 強度理論的概念 910 四個強度理論及其相當(dāng)應(yīng)力 911 莫爾強度理論及其相當(dāng)應(yīng)力,9-12 強度理論的應(yīng)用,一、引子：,99 強度理論的概念,強度理論,1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？,鑄鐵,2、組合變形桿將怎樣破壞？,二、強度理論

13、：是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強度失效（failure by lost strength）起因”的假說。,1、伽利略播下了第一強度理論的種子；,三、材料的破壞形式： 屈服； 斷裂 。,2、馬里奧特關(guān)于變形過大引起破壞的論述，是第二強度理論的萌芽；,3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪應(yīng)力理論；,4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximum distortion energy theory）；這是后來人們在他的書信出版后才知道的。,強度理論,910 四個強度理論及其相當(dāng)應(yīng)力,一、最大拉應(yīng)力（第一強度）理論： 認為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大拉應(yīng)力達到單向拉伸的強度極限時，構(gòu)件就斷了

14、。,1、破壞判據(jù)：,2、強度準(zhǔn)則：,3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。,強度理論,二、最大伸長線應(yīng)變（第二強度）理論： 認為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大伸長線應(yīng)變達到單向拉伸試驗下的極限應(yīng)變時，構(gòu)件就斷了。,1、破壞判據(jù)：,2、強度準(zhǔn)則：,3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。,強度理論,三、最大剪應(yīng)力（第三強度）理論： 認為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當(dāng)最大剪應(yīng)力達到單向拉伸試驗的極限剪應(yīng)力時，構(gòu)件就破壞了。,1、破壞判據(jù)：,3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。,2、強度準(zhǔn)則：,強度理論,四、形狀改變比能（第四強度）理論： 認為構(gòu)件的屈服是由形狀改變比能引起的

15、。當(dāng)形狀改變比能達到單向拉伸試驗屈服時形狀改變比能時，構(gòu)件就破壞了。,1、破壞判據(jù)：,2、強度準(zhǔn)則,3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。,強度理論,911 莫爾強度理論及其相當(dāng)應(yīng)力,莫爾認為：最大剪應(yīng)力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩擦定律）。綜合最大剪應(yīng)力及最大正應(yīng)力的因素，莫爾得出了他自己的強度理論。,強度理論,近似包絡(luò)線,極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線,O,t,s,一、兩個概念：,1、極限應(yīng)力圓：,2、極限曲線：極限應(yīng)力圓的包絡(luò)線（envelope）。,強度理論,2、強度準(zhǔn)則：,1、破壞判據(jù)：,二、莫爾強度理論：任意一點的應(yīng)力圓若與極限曲線相接觸， 則材料即將屈服或

16、剪斷。,強度理論,三、相當(dāng)應(yīng)力：（強度準(zhǔn)則的統(tǒng)一形式）。,其中， *相當(dāng)應(yīng)力。,強度理論,3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構(gòu)件及其拉壓極限強度不等的處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的破壞（巖石、混凝土等）。,912 強度理論的應(yīng)用,一、強度計算的步驟：,1、外力分析：確定所需的外力值。,2、內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險面。,3、應(yīng)力分析：畫危面應(yīng)力分布圖，確定危險點并畫出單元體， 求主應(yīng)力。,4、強度分析：選擇適當(dāng)?shù)膹姸壤碚?，計算相?dāng)應(yīng)力，然后進行 強度計算。,強度理論,二、強度理論的選用原則：依破壞形式而定。,1、脆性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時，使用第一理論；,3、簡單變形時：一律用與其對應(yīng)的強度準(zhǔn)則。如扭轉(zhuǎn)，都用：,2、塑性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時，使用第一理論；,4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關(guān)！,當(dāng)最小主應(yīng)力小于零而最大主應(yīng)力大于零時，使用莫爾理論。,當(dāng)最大主應(yīng)力小于等于零時，使用第三或第四理論。,其它應(yīng)力狀態(tài)時，使用第三或第四理論。,強度理論,解：危險點A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：,例1 直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN, 為鑄鐵構(gòu)件，=40MP