線性代數(shù)第三章.ppt

1、第三章 線性方程組,線性方程組在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。解線性方程組是線性代數(shù)的 主要任務(wù)之一。本章討論用消元法解線性方程組、線性方程組解得存在性和線性方程組解得結(jié)構(gòu)等內(nèi)容。,3.1 消元法解線性方程組,定義3.1.1：含有n個(gè)未知量的若干個(gè)線性方程構(gòu)成一個(gè)n元線性方程組。如 (3.1),推論3.1.1 含有n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的的齊次線性方程組 有非零解的充要條件是 .,定理3.1.2 若線性方程組（3.1）有解，且秩（ ） ，則當(dāng) 時(shí)，（3.1）有唯一解，當(dāng) 時(shí)，（3.1）有無窮解,例1 解線性方程組,例2 解線性方程組,例3 解線性方程組,例4 試確定 的值，使齊次線性方程

2、組,有非零解。,例5 當(dāng) 為何值時(shí)，方程組,（1）無解； （2）有唯一解； （3）有無限多解,并在有無限多解式求其所有解。,例6 設(shè)有線性方程組,討論當(dāng) 為何值時(shí)， （1） 方程組有解？（2）無解？ （3）當(dāng)有解時(shí)，試求出其解。,3.2 向量及其線性運(yùn)算,定義3.2.1 n 個(gè)有順序的實(shí)數(shù)所組成的數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，這n個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量，第i個(gè)數(shù)稱為該向量的第i個(gè)分量。,定義3.2.2 所有分量都是零的向量稱為零向量，記作,n維向量 的各分量都取相反數(shù)組成的向量稱為的負(fù)向量，記作,定義3.2.3 如果n維向量 與 的對(duì)應(yīng)分量全相等，即,則稱向量 與 相等，記作 。,定義3.2.4 設(shè)

3、維向量 ， 則 與 的和記作 且,利用負(fù)向量的概念，可以定義向量的減法，即,定義3.2.5設(shè) 是一個(gè)維向量， 則數(shù) 與向量 的乘積稱為數(shù)乘向量，簡(jiǎn)稱數(shù)乘，記作 ，且,例1 設(shè),，,，,（1）求,（2）若有向量 ，滿足 求 。,容易驗(yàn)證，向量的線性運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)律,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,其中 為任意向量， 為任意實(shí)數(shù)。,3.3 向量組的線性相關(guān)性,定義3.3.1 給定向量組 ,對(duì)于任意一組實(shí)數(shù) ，表達(dá)式,稱 為向量組的一個(gè)線性組合， 稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。,給定向量組 和向量 ,如果存在一組實(shí)數(shù) ，使得,則稱 是向量組 的線性組合，又稱向量 可由向

4、量組A線性表示（或線性表出）。,例1 設(shè) ， ， ，則顯然有,例2 任意一個(gè)向量 都可由,線性表示。因?yàn)?例3 零向量是任意一個(gè)向量組的線性組合。因?yàn)?例4 向量組 中的 任意一個(gè)向量 都可由該向量線性表示，因?yàn)?例題4 詳見教材85頁(yè) （例5 + 例6）,定義3.3.2給定向量組 ，如果存在一組不全為零的實(shí)數(shù),則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱 是線性無關(guān)的。,注：1、“否則”指的是找不到一組不全為零的實(shí)數(shù) ，使得,也就是說若 ，則 一定全為零。,2、單獨(dú)一個(gè)非零向量一定線性無關(guān)，一個(gè)向量組中如果含有零向量，則這個(gè)向量組一定線性相關(guān)。,3、僅含有兩個(gè)向量的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是這兩個(gè)向

5、量的對(duì)應(yīng)分量成比,定理3.3.1 向量組 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)以,為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組 有非零解。,推論3.3.1向量組 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 的行列式值為零。,定理3.3.2向量組 線性相關(guān)的充要條件是向量組 中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示。,例5 判斷下列向量組是否線性相關(guān)，如果線性相關(guān)，試將其中的一個(gè)向量表示為其余向量的線性組合。,（1）,，,，,；,（2）, 一個(gè)線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是該 向量組本身。,注： 條件（2）也可以改為“將向量組中的任意 一個(gè)向量添加到部分組 中，得到的向量組都線性相關(guān)”；,例5 在向量組 中，可以驗(yàn)證， 是該向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組， 也是

6、該向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，這說明一個(gè)向量組的極大線性極大無關(guān)組是不唯一的。,性質(zhì)：對(duì)矩陣A僅施行行初等變換得到矩陣B，則B的列向量組與A的列向量組間有相同的線性關(guān)系 即行初等變換保持了列向量的線性無關(guān)性及相關(guān)性,例6 求向量組 , 的一個(gè)極大無關(guān)組。,極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)=向量組的秩 初等行變換,求出下列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量表示為該極大線性無關(guān)組的線性組合：,一 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 二 非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu),3.4 線性方程組解的結(jié)構(gòu),討論齊次線性方程組 的解 在本例中，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)事實(shí)：它有無窮多個(gè)解；存在一個(gè)特殊的解，使得它的一般解可以用它線性表出；系數(shù)矩陣的秩顯然為2，而未知量個(gè)數(shù)為3。（未知量個(gè)數(shù)-秩）=3-2=1，它恰好是用來線性表達(dá)一般解的特殊解的個(gè)數(shù)。,定義3.4.1 如果 是齊次線性方程組 （4,1）的解向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，則稱 是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。,其中,為任意實(shí)數(shù)。,若 是齊次線性方程組（4.1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則（4.1）的通解可以表示為：,定理3.4.1 對(duì)于n元齊次線性方程組 ，若秩（ ） ，則該方程組的基礎(chǔ)解系一定存在，且每一個(gè)基礎(chǔ)解系中所含的解向量的個(gè)數(shù)均為 。 除去極大無關(guān)組中的未知量，剩下的部分稱為自由未知量，取相應(yīng)的值可以得到基礎(chǔ)解系。,例1 求線性