隨機(jī)變量及其分布

1、1,第二章 隨機(jī)變量,2.1 隨機(jī)變量的概念,2.2 隨機(jī)變量的分布,2.3 二元隨機(jī)變量,2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,2,擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果可以用1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)字來(lái)表示,從有3件廢品的一批產(chǎn)品中任取5件，觀察出現(xiàn)廢品的件數(shù)我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果可以用0，1，2，3這4個(gè)數(shù)字來(lái)表示,擲骰子,產(chǎn)品檢驗(yàn),2.1 隨機(jī)變量的概念,3,拋一硬幣，結(jié)果只有“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”兩種，若用0表示出現(xiàn)正面，1表示出現(xiàn)反面，那么，拋一枚硬幣的結(jié)果也可以用0，1這兩個(gè)數(shù)字來(lái)表示,從最長(zhǎng)使用壽命為10000h的一批燈泡中，任取一個(gè)檢驗(yàn)，觀察

2、使用壽命 t我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果為,拋硬幣,燈泡壽命,4,為了更好的揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律, 有必要引入 來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果。,隨機(jī)變量,設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間, 若對(duì),則稱上的單值實(shí)函數(shù)X ( ) 為隨機(jī)變量。,隨機(jī)變量一般用大寫拉丁字母X, Y , Z , 或小寫希臘字母 , , 表示,定義,隨機(jī)變量,即, 如果對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都有一個(gè)實(shí)數(shù),與之對(duì)應(yīng)，則稱 為隨機(jī)變量,5,定義域：事件域 ,隨機(jī)性：隨機(jī)變量 X 的可能取值不止一個(gè), 試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪一個(gè)值,概率特性： X 以一定的概率取某個(gè)值或某些值,隨機(jī)變量性

3、質(zhì),6,有了隨機(jī)變量之后, 可用隨機(jī)變量來(lái)表達(dá)隨機(jī)事件：,隨機(jī)變量的函數(shù)一般也是隨機(jī)變量。,事件 “某天9:00 10:00 接到電話次數(shù)超過(guò)100次”可表示為：,在同一個(gè)樣本空間可同時(shí)定義多個(gè)隨機(jī)變量：, = 兒童的發(fā)育情況 ,X() 身高,Y() 體重,各個(gè)隨機(jī)變量之間可能有有關(guān)系, 也可能 沒(méi)有關(guān)系 即相互獨(dú)立。,7,離散型,非離散型,引 入 隨機(jī)變量 的意義,任何隨機(jī)現(xiàn)象可被隨機(jī)變量描述,借助微積分方法進(jìn)行深入分析,8,2.2 隨機(jī)變量的分布,一、離散型隨機(jī)變量的分布,定義 若隨機(jī)變量 , 的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè), 則稱 為離散型隨機(jī)變量,可能取值為,取每一個(gè)值,的概率為,，則下表

4、稱為,設(shè)離散型隨機(jī)變量,概率分布也可簡(jiǎn)寫為,概率函數(shù)、分布律,9,概率分布的性質(zhì),例 設(shè)有10件產(chǎn)品，其中正品、次品各5件。從中任取3件產(chǎn)品，設(shè) X 表3件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，試分析隨機(jī)變量 X 的概率分布。,一般所說(shuō)的離散型隨機(jī)變量的分布就是指其概率分布或概率函數(shù),10,solution: 依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì),有,a0,解得,即有：,試確定常數(shù)a .,k =0,1,2, ,11,X = xk 1 0,(1) 0 1 分布,Pk p 1 - p,0 p 1,注：其分布律可寫成,常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布,若試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，總能用,應(yīng)用場(chǎng)景,0 1分布描述，如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng),計(jì)、

5、射擊是否命中、電力消耗是否超標(biāo)等等.,12,(2) 二項(xiàng)分布,n 重Bernoulli 試驗(yàn)中, X 是事件A 在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) , P (A) = p ,若,則稱 X 服從參數(shù)為n, p 的二項(xiàng)分布，記作,注：01 分布是 n = 1 的二項(xiàng)分布,13,設(shè) X 為在任一時(shí)刻車床停車的臺(tái)數(shù)，,對(duì) 12 臺(tái)車床的觀察可看作 12重伯努利試驗(yàn)，,每臺(tái)車床在任一時(shí)刻處于停車狀態(tài)的概率為1/3，,每臺(tái)車床由于工藝需要時(shí)常需要停車.,求在任一指定時(shí)刻,設(shè)每臺(tái)車床的停(開(kāi))車是相互獨(dú)立的，,例 某車間里有12臺(tái)車床，,(1) 車間里恰有 2 臺(tái)車床處于停車狀態(tài)的概率 ;,(2) 處于停車狀態(tài)的車

6、床不少于 2 臺(tái)的概率.,解 視在任一時(shí)刻對(duì)一臺(tái)車床的觀察為一次試驗(yàn)，,= 0. 9461 .,則 X B(12 , 1/3).,(1),= 0. 1272 ;,(2),P( X 2 ),14,因此這 3 次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，,現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取 1 個(gè)，,解 因這是有放回地取 3 次，,且每次取次品的概率為0.05.,設(shè) X 為所取的 3 件產(chǎn)品中的次品數(shù)，,則 X B( 3, 0. 05 ),例 已知 100 個(gè)產(chǎn)品中有 5 個(gè)次品，,求在所取的 3 個(gè)中恰有 2 個(gè)次品的概率.,它是 3重伯努利試驗(yàn)，,問(wèn) 若將本例中的“有放回”改為“無(wú)放回”，怎么辦？,伯努利概型對(duì)試

7、驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次試驗(yàn)條件相同；,二項(xiàng)分布描述的是n重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn) “成功” 次數(shù)X的概率分布,（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果 A 或,（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立；,不是伯努利概型，只能用古典概型求解.,15,若一年中某類保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率等于0.005，現(xiàn)有10000個(gè)人參加這類人壽保險(xiǎn)，試求在未來(lái)一年中在這些保險(xiǎn)者里面： 有40個(gè)人死亡的概率; 死亡人數(shù)不超過(guò)70個(gè)的概率.,記 X 為未來(lái)一年中在這些人中死亡的人數(shù)，則,16,(3) Poisson 分布,若,的Poisson 分布.,應(yīng)用場(chǎng)景：,在某個(gè)時(shí)段內(nèi)：,超市的顧客數(shù)；,某地區(qū)撥錯(cuò)號(hào)的電話呼

8、喚次數(shù)；,醫(yī)院急診病人數(shù)；,某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).,某容器中的細(xì)菌數(shù)；,一本書一頁(yè)中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；,17,example：一電話交換臺(tái)每分鐘接到呼喚次數(shù) 服從參數(shù)為 的泊松分布，求每分鐘有8次呼喚的概率。,實(shí)際計(jì)算時(shí)可查泊松分布表查表的介紹,Solution:,18,example5. 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是 p，求所需射擊發(fā)數(shù)X 的概率函數(shù).,solution: 顯然，X 可能取的值是1,2, ，,P(X=1)=P(A1)= p ,為了計(jì)算 P(X =k )， k = 1,2, ，,Ak = 第k發(fā)命中，k =1, 2, ，,設(shè),于是,可見(jiàn),這就是

9、求所需射擊發(fā)數(shù) X 的概率函數(shù).,幾何分布,19,對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概率函數(shù),也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律. 在這個(gè)意義上，我們說(shuō),離散型隨機(jī)變量由它的概率函數(shù)唯一確定.,20,二、隨機(jī)變量的分布函數(shù),定義,為 的分布函數(shù).,設(shè) 為隨機(jī)變量, x 是任意實(shí)數(shù) ,稱函數(shù),由定義知 落在區(qū)間( a ,b 里的概率可用分布函數(shù)來(lái)計(jì)算：,由于F(x) 是 取 的諸值 xk 的概率之和，故又稱 F(x) 為累積概率函數(shù).,21,分布函數(shù)的性質(zhì),F ( x ) 單調(diào)不減，即,且,F ( x ) 右連續(xù)，即,22,利用分布函數(shù)求事件的概率,. a,利用分布函數(shù)可求隨機(jī)變量在任意區(qū)間上取

10、值的概率,利用 F(x)可求任一隨機(jī)事件的概率 ! ! !,只要知道 X 的分布函數(shù), X 的概率統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述,. a -,23,solution：,example1 設(shè)汽車在開(kāi)往甲地途中需經(jīng)過(guò) 4 盞信號(hào)燈, 每盞信號(hào)燈獨(dú)立地以概率 p 允許汽車通過(guò)，令 X 表示首次停下時(shí)已通過(guò)的信號(hào)燈盞數(shù)。,求 X 的概率分布與 p = 0.4 時(shí)的分布函數(shù).,概率分布為,24,當(dāng),25,當(dāng)x0 時(shí)， X x = ， 故 F(x) =0,當(dāng)0 x 1時(shí)， F(x) = P(X x) = P(X=0) =,F(x) = P(X x),solution:,求分布函數(shù)F(x).,當(dāng)1 x 2時(shí)，

11、 F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =,當(dāng)x 2時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1,26,故,分布函數(shù)圖,27,example,28,29,example,設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為,solution： 由分布函數(shù)的性質(zhì)，我們有:,30,三、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,連續(xù)型隨機(jī)變量的概念,定義 設(shè) X 是隨機(jī)變量, 若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù) ，使得分布函數(shù) F ( x ),則稱 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量， 是它的概率密度函數(shù)( p.d.f. )，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)或概率密度,即分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限定積分.,可以證明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函

12、數(shù)是一連續(xù)函數(shù),31,分布函數(shù)與密度函數(shù)關(guān)系,32,p.d.f. 的性質(zhì),常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)，,在 的連續(xù)點(diǎn)處，有,33,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X , P(X = a) = 0,其中 a 是隨機(jī)變量 X 的一個(gè)可能的取值,命題 連續(xù)隨機(jī)變量取任一常數(shù)的概率為零,概率為0 (1) 的事件未必不發(fā)生(發(fā)生),注意:,34,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 X,35,另有,36,下面求一個(gè)連續(xù)型 r.v 的分布函數(shù).,example. 設(shè)r.v X 的密度函數(shù)為 f (x),求 F(x).,F(x) = P(X x) =,solution：,當(dāng) x -1 時(shí)，有F(x) = 0

13、,當(dāng),37,當(dāng) x1 時(shí)， 有F (x) = 1,即,38,例 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為,試確定常數(shù) c,并求其分布函數(shù) F(x) 和 P(0 X 1)。,解:由概率密度的性質(zhì)有,而,0 x0,39,(1)均勻分布,常見(jiàn)的連續(xù)性隨機(jī)變量的分布,若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為,則稱 X 服從區(qū)間( a , b)上的均勻分布或稱,X 服從參數(shù)為 a , b的均勻分布，記作,40,即 X 落在(a,b)內(nèi)任何長(zhǎng)為 d c 的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān), 只與其長(zhǎng)度成正比。,進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算時(shí), 若在小數(shù)點(diǎn)后第k 位進(jìn)行四舍五入, 則產(chǎn)生的誤差可看作服從 的隨機(jī)變量。,應(yīng)用場(chǎng)景,兩輛公共汽車前后

14、通過(guò)某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等.,41,均勻分布的分布函數(shù),X 的分布函數(shù)為,42,43,例 某公車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即7:00，7:15，7:30，7:45等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，若乘客到達(dá)此站時(shí)間X是7:00到 7:30之間的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.,解：,X U ( 0, 30 ),以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位，依題意：,即：,44,為使候車時(shí)間X少于 5 分鐘，乘客必須在 7:10 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達(dá)車站.,從而所求概率為：,即乘客候車時(shí)間少于5 分鐘的概率是1/3.,45,(2) 指數(shù)分布,若

15、 X 的密度函數(shù)為,則稱 X 服從 參數(shù)為的指數(shù)分布，,記作, 0 為常數(shù),應(yīng)用場(chǎng)景,電話問(wèn)題中的通話時(shí)間；,無(wú)線電元件的壽命,動(dòng)物的壽命；,46,X 的分布函數(shù)為,指數(shù)分布的分布函數(shù),47,48,example 電子元件的壽命(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率。,solution,49,正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.,正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.,棣莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.,(3) 正態(tài)分布,50,定義,若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為,則稱 X 服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布,記作

16、 X N ( , 2 ),為常數(shù)，,亦稱高斯 (Gauss)分布,f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.,51,f (x) 的性質(zhì)：,圖形關(guān)于直線 x = 對(duì)稱, 即,在 x = 時(shí), f (x) 取得最大值,在 x = 時(shí), 曲線 y = f (x) 在對(duì)應(yīng)的 點(diǎn)處有拐點(diǎn)；,曲線 y = f (x) 以 x 軸為漸近線,曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀或鐘形狀,f ( + x) = f ( - x),52,f ( x) 的兩個(gè)參數(shù)：, 位置參數(shù),即固定 , 對(duì)于不同的 , 對(duì)應(yīng)的 f (x)的形狀不變化， 只是位置不同, 形狀參數(shù),固定 ，對(duì)不同的 ， f ( x) 的形狀不同： 較大

17、時(shí)，曲線平緩， 反之則陡峭。,53,54,正態(tài)分布之應(yīng)用場(chǎng)景,各種測(cè)量的誤差； 人體的生理特征；,工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；,海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強(qiáng)度；,熱噪聲電流強(qiáng)度； 學(xué)生的考試成績(jī)；,一種重要的正態(tài)分布, 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1),概率密度：,其圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的鐘罩形曲線：,“兩頭小，中間大， 關(guān)于y軸對(duì)稱”,56,example 如何查概率密度函數(shù)表,57,二、一般正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系,度分別記為 和,和 ，,定理,，分布函數(shù)分別記為,則有,定理,如果 ，,，則有,58,表中給的是x 0時(shí), (x)的值.,當(dāng)-x0時(shí) ？,三、借助正態(tài)分布函數(shù)的計(jì)算,對(duì)于標(biāo)

18、準(zhǔn)正態(tài)分布而言，我們有,59,當(dāng)-x0時(shí),當(dāng) 時(shí)，有,當(dāng) 時(shí)，有,60,solution：由附表可直接查得：,example ，,試求,61,62,對(duì)于一般正態(tài)分布而言,從而，只要將一般正態(tài)分布的分布函數(shù)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后查表就可計(jì)算.,定理,如果 ，,，則有,63,solution：,example. 設(shè) , 求,64,Solution: (1),(1) = 0.841 3, (2) = 0.977 2,（2）,65,二維正態(tài)分布,若二維隨機(jī)變量 具有概率密度,記為,66,定理 二元正態(tài)分布的邊緣概率密度是一元正態(tài)分布,67,P(X x),X() 數(shù)值化,分布函數(shù),隨機(jī)變量 的概率分布

19、列,隨機(jī)變量 的概率密度,分布函數(shù) 的性質(zhì),概率分布列與 分布函數(shù)的關(guān)系,概率密度與 分布函數(shù)的關(guān)系,小 結(jié),離散型,連續(xù)型,常見(jiàn)的 離散型分布,常見(jiàn)的 連續(xù)型分布,隨機(jī)變量,隨機(jī)事件,68,2.3 二元隨機(jī)變量,一、離散型二維隨機(jī)向量,三、隨機(jī)向量的獨(dú)立性,二、連續(xù)型二維隨機(jī)向量,69,在實(shí)際問(wèn)題中, 試驗(yàn)結(jié)果有時(shí)需要同,時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的 r.v.來(lái)描述.,例如 用溫度和風(fēng)力來(lái)描述天氣情況；,通過(guò)對(duì)含碳、含硫、含磷量的測(cè)定來(lái)研究,需考慮多維 r.v.及其取值規(guī)律,鋼的成分. 要研究這些 r.v.之間的聯(lián)系, 就,多維分布.,70,定義 若二維 r.v.(X ,Y )所有可能的取值為有 限

20、多個(gè)或無(wú)窮可列多個(gè), 則稱(X ,Y ) 為 二維離散型 r.v.,要描述二維離散型 r.v.的概率特性及其與每個(gè) r.v.之間的關(guān)系常用其聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布,一、 離散型 r.v.及其概率特性,71,聯(lián)合分布律,則稱,顯然，,設(shè)( , )的所有可能的取值為 ，,為二維 r.v.( , ) 的聯(lián)合概率分布也簡(jiǎn)稱概率分布或分布律,72,二維離散r.v.的聯(lián)合分布函數(shù),由聯(lián)合分布律可求出其聯(lián)合分布函數(shù)，反之亦可,二維離散r.v.的邊緣分布律,由聯(lián)合分布可確定邊緣分布,其逆不真.,73,x1 xi,( , )的聯(lián)合分布律,74,1,x1 xi,聯(lián)合分布律及邊緣分布律,75,例 某校新選出的學(xué)

21、生會(huì) 6 名女委員, 文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，現(xiàn)從中隨機(jī)指定 2 人為學(xué)生會(huì)主席候選人. 令X , Y 分別為候選人中來(lái)自文、理科的人數(shù).,解： X 與Y 的可能取值分別為0 , 1和0 , 1 , 2.,求 (X, Y) 的聯(lián)合分布律和邊緣分布律？,由乘法公式,76,或由古典概型：,77,故 聯(lián)合分布律與邊緣分布律為,0 1,0 1 2,3/15 6/15 1/15,3/15 2/15 0,pi,p j,1/3,2/3,1,6/15 8/15 1/15,78,二、連續(xù) r.v.及其概率特性,聯(lián)合概率密度函數(shù),定義 設(shè)二維 r.v.( , )的分布函數(shù)為F(x ,y ),若存在

22、非負(fù)可積函數(shù) ,使得對(duì)于任意實(shí)數(shù) x , y 有,則稱( , ) 為二維連續(xù)型 r.v.,79,聯(lián)合密度與聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),若G 是平面上的區(qū)域，則,對(duì)任意實(shí)數(shù) ， ，有,80,邊緣分布函數(shù)與邊緣d.f.,同樣的,已知聯(lián)合分布可以求得邊緣分布；反之則不能唯一確定.,81,其中k 為常數(shù)。求,常數(shù) k ;,解：令,例. 設(shè) r.v.( , ) 的聯(lián)合 d.f. 為,；,82,(1),83,(2),0.5,84,若r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合為,則稱( X ,Y ) 服從參數(shù)為1,12,2,22, 的正態(tài)分布, 記作( X ,Y ) N(1,12;2,22; ),，其中1,20, -1 1

23、.,二維正態(tài)分布,85,三、隨機(jī)向量的獨(dú)立性 -將事件獨(dú)立性推廣到隨機(jī)向量,兩個(gè)r.v.相互獨(dú)立性,定義,設(shè)( , )為二維r.v. 若對(duì)任何實(shí)數(shù)x,y都有,則稱 r.v. 和 相互獨(dú)立,86,即,二維離散 r.v. 相互獨(dú)立,二維連型 r.v. 相互獨(dú)立,二維 r.v. 相互獨(dú)立,則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布,87,(1),(2),例 已知 的聯(lián)合d.f.為,討論 , 是否獨(dú)立？,88,解：,(1) 由圖知邊緣 d.f.函數(shù)為,顯然，有：,故 , 相互獨(dú)立,89,(2) 由圖知邊緣d.f.為,顯然，有：,故 , 不獨(dú)立。,90,2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,方法 將與Y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 X 的

24、事件,求隨機(jī)因變量Y= g ( X )的密度函數(shù) 或分布律,問(wèn)題 已知隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù) 或分布律,91,設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為,由已知函數(shù) g( x)可求出隨機(jī)變量 Y 的所有可能取值，則 Y 的概率分布為,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,92,solution： 當(dāng) X 取值 1，2，5 時(shí)， Y 取對(duì)應(yīng)值 5，7，13，,example,求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù).,而且 X 取某值與Y 取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.,故,93,如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作并項(xiàng)對(duì)應(yīng)概率相加即可.,一般地，若X是離散型 r.v ，X的概率函數(shù)為,94,example 已知 X 的概率分布為,求 Y 1= 2X