概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程小論文

1、淺談隨機(jī)變量的數(shù)字特征摘要：我們知道，隨機(jī)變量的分布函數(shù)完全刻畫(huà)了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，它反應(yīng)了隨機(jī)變量的全貌，而隨機(jī)變量的數(shù)字特征只是隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的某一個(gè)方面的數(shù)量描述，不能完整地描述隨機(jī)變量，但卻反映隨機(jī)變量取值的一些特征。本文就從這點(diǎn)出發(fā)，主要講述隨機(jī)變量的數(shù)字特征的引出、相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及重點(diǎn)和隨機(jī)變量數(shù)字特征的應(yīng)用。 關(guān)鍵字：數(shù)字特征 數(shù)學(xué)期望 方差 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù)我們知道隨機(jī)變量的分布函數(shù)能夠全面地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性。但實(shí)際問(wèn)題中，由于有時(shí)很難求出隨機(jī)變量的分布函數(shù)或者不需要知道隨機(jī)變量的一切統(tǒng)計(jì)特性，而只需要知道隨機(jī)變量的某些特征。例如在分析某校學(xué)生英語(yǔ)四級(jí)水平時(shí)，只要計(jì)算該

2、校的平均成績(jī)和計(jì)算該校每位學(xué)生的考試成績(jī)與平時(shí)成績(jī)的偏離大小，便可以對(duì)該校的學(xué)生英語(yǔ)四級(jí)水平做出比較客觀的判斷，這種能表示隨機(jī)變量某些方面特征的數(shù)就是隨機(jī)變量的數(shù)字特征。另外我們還注意到許多的重要分布都會(huì)含1到3個(gè)參數(shù)，而這些參數(shù)都與數(shù)字特征重合或關(guān)系密切，因此只要知道分布的類型，通過(guò)數(shù)字特征就能完全確定分布函數(shù)。由此可見(jiàn)，隨機(jī)變量的數(shù)字特征的研究具有理論上和實(shí)際上的重要意義。通過(guò)這章的學(xué)習(xí)，我理解了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的概念，并會(huì)運(yùn)用它們的基本性質(zhì)計(jì)算具體分布的期望、方差；掌握了二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差；會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布計(jì)算其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

3、；會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布計(jì)算其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望正；理解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，掌握它們的性質(zhì)，并會(huì)利用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，了解矩的概念。下面是我總結(jié)出來(lái)的本章知識(shí)要點(diǎn)： 1數(shù)學(xué)期望 設(shè)是離散型的隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則定義的數(shù)學(xué)期望為； 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分絕對(duì)可積，則定義的數(shù)學(xué)期望為 2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率函數(shù)如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為； 特別地. 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分 絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 設(shè)

4、為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為，如果廣義積分絕對(duì)收斂，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；特別地 ,. 3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 3.1 (其中c為常數(shù))； 3.2 (為常數(shù))； 3.3 ； 3.4 如果與相互獨(dú)立，則. 4方差與標(biāo)準(zhǔn)差 隨機(jī)變量的方差定義為計(jì)算方差常用下列公式： 當(dāng)為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為如果級(jí)數(shù)收斂，則的方差為； 當(dāng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，如果廣義積分收斂，則的方差為.隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差的算術(shù)平方根. 5方差的性質(zhì) 5.1 (c是常數(shù))； 5.2 (為常數(shù))； 5.3如果與獨(dú)立，則. 6協(xié)方差 設(shè)為二維隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的協(xié)方差定義為計(jì)算協(xié)方差常用下列公式：當(dāng)時(shí)，

5、協(xié)方差具有下列性質(zhì)： 6.1 (c是常數(shù))； 6.2 ； 6.3 (是常數(shù))； 6.4 7相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)定義為相關(guān)系數(shù)反映了隨機(jī)變量與之間線性關(guān)系的緊密程度，當(dāng)越大，與之間的線性相關(guān)程度越密切，當(dāng)時(shí)，稱與不相關(guān) 相關(guān)系數(shù)具有下列性質(zhì)： 7.1 ； 7.2 的充要條件是，其中為常數(shù)； 7.3 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則與不相關(guān)，即，但由不能推斷與獨(dú)立 7.4下列5個(gè)命題是等價(jià)的： 7.4.1 ； 7.4.2 ； 7.4.3 ； 7.4.4 )； 7.4.5 利用協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)可以計(jì)算 8原點(diǎn)矩與中心矩 隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩定義為； 隨機(jī)變量的階中心矩定義為； 隨機(jī)變量的階混合原點(diǎn)矩定義

6、為； 隨機(jī)變量的階混合中心矩定義為 一階原點(diǎn)矩是數(shù)學(xué)期望； 二階中心矩是方差D(X)； 階混合中心矩為協(xié)方差. 9常用分布的數(shù)字特征 9.1當(dāng)服從二項(xiàng)分布時(shí)， 9.2 當(dāng)服從泊松分布時(shí)， 9.3 當(dāng)服從區(qū)間上均勻分布時(shí)， 9.4 當(dāng)服從參數(shù)為的指數(shù)分布時(shí)， 9.5 當(dāng)服從正態(tài)分布時(shí)， 9.6 當(dāng)服從二維正態(tài)分布時(shí)，；上面講了那么多的知識(shí)點(diǎn)，看起來(lái)很是繁瑣，個(gè)人認(rèn)為重點(diǎn)是期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念、計(jì)算和性質(zhì)；常用分布的數(shù)字特征；利用性質(zhì)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的期望。從隨機(jī)變量的數(shù)字特征的引出中，我們可以知道研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征可以簡(jiǎn)化某些實(shí)際問(wèn)題的解答，可以從總體上掌握隨機(jī)變量某一側(cè)面的性

7、質(zhì),下面講講隨機(jī)變量的數(shù)字特征的應(yīng)用：1.通過(guò)分布求數(shù)字特征如：已知某網(wǎng)站每天的登錄人數(shù)服從參數(shù)為 的泊松分布，而進(jìn)入該網(wǎng)站的每個(gè)人打開(kāi)某網(wǎng)頁(yè)的概率為 ，試求訪問(wèn)該網(wǎng)頁(yè)人數(shù)的分布律及其數(shù)學(xué)期望.解 以 表示登錄網(wǎng)站的人數(shù)， 表示訪問(wèn)某網(wǎng)頁(yè)的人數(shù).依題意:由全概率公式得:可見(jiàn) 仍服從泊松分布，參數(shù)為 ，因此其數(shù)學(xué)期望為 2.利用運(yùn)算性質(zhì)求數(shù)字特征如：已知隨機(jī)變量 和 服從正態(tài)分布 和 ，且 與 的相關(guān)系數(shù) ，設(shè) ， 試求 (1) ， ， ； (2) 與 是否相互獨(dú)立?為什么.解 (1)由運(yùn)算性質(zhì)，有 ，故 ；(2)由于 不一定是二維正態(tài)分布，故由 不能推出 與 相互獨(dú)立.(若 與 均服從正態(tài)分布，且 與 相互獨(dú)立，則 服從二維正態(tài)分布)3.利用分解法進(jìn)行計(jì)算如：對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)射擊，直至命中 次為止.設(shè)每次射擊的命中率為 ，試求消耗的子彈數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解 設(shè) 表示第 次命中至第 次命中之間