河北省衡水中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)六調(diào)考試試題 理（含解析）（通用）

1、20202020學(xué)年度第二學(xué)期高三年級(jí)六調(diào)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題5分，共60分.下列每小題所給選項(xiàng)只有一項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上）1.已知，為虛數(shù)單位，且，則的值為（ ）A. 4B. C. -4D. 【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念可知，故選C考點(diǎn)：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算點(diǎn)評(píng)：熟練掌握復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算法則是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題2.已知集合，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：由得，故，選項(xiàng)為C.考點(diǎn)：集合間的關(guān)系.【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】3.已知的面積為2，在所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn)、，滿足，則的面積為

2、（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】畫出ABC，通過，2，標(biāo)出滿足題意的P、Q位置，利用三角形的面積公式求解即可【詳解】由題意可知，P為AC的中點(diǎn)，2，可知Q為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，如圖：因?yàn)镾ABC2所以SAPQ故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力4.如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為，一個(gè)內(nèi)角為60的菱形，俯視圖為正方形，那么這個(gè)幾何體的表面積為（ ）A. B. C. 8D. 4【答案】D【解析】試題分析：因?yàn)橐粋€(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為，且一個(gè)內(nèi)角為的菱形，所以菱形的邊長(zhǎng)為，由三視圖可得，幾何體

3、是由兩個(gè)底面正方形的正四棱錐組合而成，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，所以幾何體的表面積為：，故選D考點(diǎn)：1、三視圖；2、多面體的表面積【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】5.七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖所示的是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】將右下角黑色三角形進(jìn)行移動(dòng)，可得黑色部分面積等于一個(gè)等腰直角三角形加一個(gè)直角梯形的面積之和，求解出面積再根據(jù)幾何概型公式求得結(jié)果.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為則處面積和右下角黑色

4、區(qū)域面積相同故黑色部分可拆分成一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)直角梯形等腰直角三角形面積為：直角梯形面積為：黑色部分面積為：則所求概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的面積類問題，屬于基礎(chǔ)題.6.定義運(yùn)算：，將函數(shù)的圖像向左平移 個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：，將函數(shù)化為再向左平移（）個(gè)單位即為:又為偶函數(shù),由三角函數(shù)圖象的性質(zhì)可得,即時(shí)函數(shù)值為最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.考點(diǎn)：對(duì)定義的理解能力,三角函數(shù)恒等變性, 三角函數(shù)圖象及性質(zhì).7.已知，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）A. B. C. D.

5、【答案】D【解析】【分析】由，則a，b，c的大小比較可以轉(zhuǎn)化為的大小比較設(shè)f（x），則f（x），根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，即可比較【詳解】，60，a，b，c的大小比較可以轉(zhuǎn)化為的大小比較設(shè)f（x），則f（x），當(dāng)xe時(shí)，f（x）0，當(dāng)xe時(shí)，f（x）0，當(dāng)0xe時(shí)，f（x）0f（x）在（e，+）上，f（x）單調(diào)遞減，e34，bca，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的大小比較，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題8.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且恰為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線與該拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，若是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析

6、：，焦點(diǎn)為，即，即，則，即，考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)9.如圖，利用斜二側(cè)畫法得到水平放置的的直觀圖，其中軸，軸.若，設(shè)的面積為，的面積為，記，執(zhí)行如圖的框圖，則輸出的值A(chǔ). 12B. 10C. 9D. 6【答案】A【解析】【分析】由斜二側(cè)畫法的畫圖法則，結(jié)合已知可求出S及k值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析變量T的值與S值的關(guān)系，可得答案【詳解】在直觀圖ABC中，ABBC3，SABBCsin45由斜二側(cè)畫法的畫圖法則，可得在ABC中，AB6BC3，且ABBCSABBC9則由SkS得k2，則TT（m1）T2（m1）故執(zhí)行循環(huán)前，S9，k2，T0，m1，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，T0，m

7、2當(dāng)T0，m2時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，T2，m3當(dāng)T2，m3時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，T6，m4當(dāng)T6，m4時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后，T12，m5當(dāng)T12，m5時(shí)，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，退出循環(huán)后，T12，故輸出的結(jié)果為12故選：A【點(diǎn)睛】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解模10.如下圖，第（1）個(gè)多邊形

8、是由正三角形“擴(kuò)展“而來，第（2）個(gè)多邊形是由正方形“擴(kuò)展”而來，如此類推.設(shè)由正邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為，則（ ）A. ；B. ；C. ；D. 【答案】A【解析】，猜想,故選A.11.過橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，點(diǎn)，為切點(diǎn)，過，的直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則的面積的最小值為（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】試題分析：點(diǎn)在橢圓上，設(shè)，過橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，則以O(shè)為圓心，以|AM|為半徑的圓的方程為又圓的方程為-得，直線AB的方程為：過A，B的直線l與x軸，y軸分別交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，P，Q，POQ面積，-1sin21，當(dāng)sin2=1時(shí)，POQ面積取最小

9、值考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合12.若函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足條件： 的最大值為0，則稱為“柯西函數(shù)”，則下列函數(shù)： ：:.其中為“柯西函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)即A,O,B三點(diǎn)共線，結(jié)合“柯西函數(shù)”定義可知，f(x)是柯西函數(shù)f(x)的圖像上存在兩點(diǎn)A與B，使得A,O,B三點(diǎn)共線過原點(diǎn)直線與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn).再利用柯西函數(shù)的定義逐個(gè)分析推理得解.【詳解】由柯西不等式得對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)即A,O,B三點(diǎn)共線，結(jié)合“柯西函數(shù)”定義可知，f(x)是柯西函數(shù)f

10、(x)的圖像上存在兩點(diǎn)A與B，使得A,O,B三點(diǎn)共線過原點(diǎn)直線與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn).,畫出f(x)在x0時(shí)，圖像若f(x)與直線y=kx有兩個(gè)交點(diǎn)，則必有k2，此時(shí)，所以（x0），此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以不是柯西函數(shù)；，曲線過原點(diǎn)的切線為，又（e,1）不是f(x)圖像上的點(diǎn)，故f(x)圖像上不存在兩點(diǎn)A,B與O共線，所以函數(shù)不是；顯然都是柯西函數(shù).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查柯西不等式，考查學(xué)生對(duì)新概念理解和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題（每題5分，共20分.把答案填在答題紙的橫線上）13.若等比數(shù)列的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)，則_【答案】【解析】，則其

11、常數(shù)項(xiàng)為，所以，則14.已知在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)滿足不等式，則的最大值為_.【答案】4【解析】試題分析：，又故本例轉(zhuǎn)化為在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值問題.可作出如右圖的可行域，顯然在點(diǎn)時(shí)為最優(yōu)解.即考點(diǎn)：線性規(guī)劃.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則使不等式成立的的最大值為_.【答案】4【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，所以，所以，又因?yàn)檫m合上式，所以，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即，易知的最大值為4.考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的求和公式；2.數(shù)列的通項(xiàng)公式.16.若四面體的三組對(duì)棱分別相等，即，則_.（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）四面體每個(gè)面的面積相等四面體每

12、組對(duì)棱相互垂直連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)都可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)【答案】【解析】【分析】由對(duì)棱相等知四面體為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線組成的三棱錐，借助長(zhǎng)方體的性質(zhì)判斷各結(jié)論是否正確即可【詳解】由題意可知四面體ABCD為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線組成的三棱錐，如圖所示；由四面體的對(duì)棱相等可知四面體的各個(gè)面全等，它們的面積相等，則正確；當(dāng)四面體棱長(zhǎng)都相等時(shí)，四面體的每組對(duì)棱互相垂直，則錯(cuò)誤；由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知四面體的對(duì)棱中點(diǎn)連線必經(jīng)過長(zhǎng)方體的中心，由對(duì)稱性知連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分，則正確；由，可得過四面體任意一點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)為的三邊長(zhǎng)，則正

13、確故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征與命題真假的判斷問題，解題的關(guān)鍵是把三棱錐放入長(zhǎng)方體中，屬于難題三、解答題（本大題共6小題，共62分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，寫在答題紙的相應(yīng)位置）17.設(shè)的三內(nèi)角、的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、，已知、成等比數(shù)列，且.（I）求角的大??；（）設(shè)向量，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷的形狀.【答案】（I）；（）為銳角三角形.【解析】【分析】（）根據(jù)正弦定理和等比數(shù)列的關(guān)系建立方程關(guān)系即可求角B的大??；（）根據(jù)向量的數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷三角形的形狀【詳解】（I）因?yàn)椤⒊傻缺葦?shù)列，則.由正弦定理得.又，所以因?yàn)?，則.因?yàn)?，所以?又

14、，則，當(dāng)且僅當(dāng)a=c等號(hào)成立，即故.（）因?yàn)?，所?所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.此時(shí)，于是.又，從而為銳角三角形.點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的形狀的判斷，利用正弦定理和三角函數(shù)的公式是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力18.在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點(diǎn)恰好是中點(diǎn)，又，.（1）求證：；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線平面，求的長(zhǎng)；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，證明BD平面PAC，可得BDPC；（2）取DC中點(diǎn)G，連接FG，證明平面EFG平面PAD，可得FG平面PAD，證明三角形AMF為直角三角形，即可求AF的長(zhǎng)

15、；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角APCB的余弦值【詳解】（1）是正三角形，是中點(diǎn)，即.又平面，.又，平面. （2）取中點(diǎn)，連接，則平面，又直線平面，EGEF=E所以平面平面，所以 為中點(diǎn)，.，則三角形AMF為直角三角形，又，故（3）分別以，為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，.為平面的法向量.，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則.所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，考查二面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查向量法的運(yùn)用，確定平面的法向量是關(guān)鍵19.在一次

16、高三年級(jí)統(tǒng)一考試中，數(shù)學(xué)試卷有一道滿分10分選做題，學(xué)生可以從，兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學(xué)生參加了本次考試，為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況，計(jì)劃從900名考生的選做題成績(jī)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本，為此將900名考生選做題的成績(jī)按照隨機(jī)順序依次編號(hào)為001一900.（1）若采用隨機(jī)數(shù)表法抽樣，并按照以下隨機(jī)數(shù)表，以方框內(nèi)的數(shù)字5為起點(diǎn)，從左向右依次讀取數(shù)據(jù)，每次讀取三位隨機(jī)數(shù)，一行讀數(shù)用完之后接下一行左端.寫出樣本編號(hào)的中位數(shù)；（2）若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣，且樣本中最小編號(hào)為08，求樣本中所有編號(hào)之和：（3）若采用分層軸樣，按照學(xué)生選擇題目或題目，將成績(jī)分為兩層，且

17、樣本中題目的成績(jī)有8個(gè)，平均數(shù)為7，方差為4：樣本中題目的成績(jī)有2個(gè)，平均數(shù)為8，方差為1.用樣本估計(jì)900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差.【答案】（1）667（2）4130（3）平均數(shù)為7.2，方差為3.56【解析】【分析】（1）由題取出十個(gè)編號(hào)，先將編號(hào)從小到大排列再求中位數(shù)（2）按照系統(tǒng)抽樣法，抽出的編號(hào)可組成以8為首項(xiàng)，以90為公差的等差數(shù)列，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和。（3）分別求出樣本的平均數(shù)和方差，900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差和樣本的平均數(shù)與方差相等?！驹斀狻拷猓海?）根據(jù)題意，讀出的編號(hào)依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重

18、復(fù)），687，858，554，876，647，547，332.將有效的編號(hào)從小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，故中位數(shù)為.（2）由題易知，按照系統(tǒng)抽樣法，抽出的編號(hào)可組成以8為首項(xiàng)，以90為公差的等差數(shù)列，故樣本編號(hào)之和即為該數(shù)列的前10項(xiàng)之和.（3）記樣本中8個(gè)題目成績(jī)分別為，2個(gè)題目成績(jī)分別為，由題意可知，故樣本平均數(shù)為.樣本方差為 .故估計(jì)該校900名考生該選做題得分的平均數(shù)為7.2，方差為3.56.【點(diǎn)睛】采用隨機(jī)數(shù)表法抽樣時(shí)需先將樣本編號(hào)，且要注意號(hào)碼位數(shù)相同，然后由隨機(jī)數(shù)表讀數(shù)，在樣本號(hào)碼范圍內(nèi)的取出，不在的舍掉。系統(tǒng)抽樣

19、法需先將樣本編號(hào)，然后分組，抽取的號(hào)碼數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列。20.已知橢圓 的左，右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)為，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的面積最大值為.（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若點(diǎn).為橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則是否存在常數(shù)，使得點(diǎn)到直線的距離為定值？若存在，求出常數(shù)和這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】() ；() 時(shí)，【解析】【分析】（）結(jié)合題目條件得，再由條件的面積最大值為得，結(jié)合，聯(lián)立方程組即可求出，從而得到橢圓方程.（）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，求出原點(diǎn)到直線的距離，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，然后利用韋達(dá)定理得到，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及將轉(zhuǎn)化為，其

20、對(duì)任意恒成立，從而得到關(guān)于和的方程組，從而求出和；再驗(yàn)證斜率不存在的情況也符合.【詳解】()由題得， ，解得 ， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ()設(shè) ，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其直線方程為：， 則原點(diǎn)到直線的距離為， 聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)得， 由得，則， 即對(duì)任意恒成立，則 ， 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，也成立. 故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線AB的距離為定值.【點(diǎn)睛】主要考查橢圓方程的求解以及定值問題，對(duì)于定值問題，主要是證明求解的一個(gè)量與參數(shù)無關(guān)，解這類問題時(shí)要會(huì)合理選擇參數(shù)(參數(shù)可能是直線的斜率、截距,也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等),使用參數(shù)表達(dá)其中變化的量,再使用這些變化的量表達(dá)需要求解的解題目標(biāo).當(dāng)使用直線的斜率和截距表達(dá)

21、直線方程時(shí),在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系,把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題解決.21.已知函數(shù).（1）令，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)，滿足條件，.試比較與0的關(guān)系，并給出理由【答案】（1）（2）見解析.【解析】【分析】（1）先求得，因?yàn)間（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，所以g（x）0在（0，3）上有實(shí)數(shù)解，且無重根由g（x）0，求得，由此可得a的范圍（2）由題意可得，f（x）mx0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，化簡(jiǎn)可得可得h（+），由條件知（21）（）0，利用分析法結(jié)合構(gòu)造函數(shù)證明h（+）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以在上有實(shí)數(shù)解，且無重根，由，有，令t=x+14則y=2(t+在t4單調(diào)遞增，故（2），又有兩個(gè)實(shí)根，兩式相減，得，于是.，.要證：，只需證：只需證：.（*）令，（*）化為，只需證在上單調(diào)遞增，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)