上海華師大二附中2020屆高一數(shù)學(xué)上冊(cè) 直線預(yù)習(xí)教案上 滬教版（通用）

1、上海華師大二附中2020屆高一數(shù)學(xué)上冊(cè) 直線預(yù)習(xí)教案上 滬教版1.兩條直線的相交、平行和重合在同一平面上的兩條直線有相交、平行和重合三種位置關(guān)系，現(xiàn)在我們通過(guò)直線方程來(lái)表示這些位置關(guān)系。設(shè)兩條直線的方程分別是， ， 若點(diǎn)是直線的公共點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是二元一次方程組 的解。若是方程組的解，則以為坐標(biāo)的點(diǎn)是兩條直線的公共點(diǎn)。因此直線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)與方程組的解的個(gè)數(shù)是相同的。當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解，。此時(shí)，兩條直線有唯一的交點(diǎn)。當(dāng)，時(shí)，兩條直線垂直。當(dāng)時(shí)，（1）若，或，則方程組無(wú)解，此時(shí)，兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，即兩條直線平行。（2）若，則方程組有無(wú)數(shù)組解，此時(shí)，兩條直線重合。1.判斷下列兩條直線的位置關(guān)系：（

2、1），； ， 直線相交。（2），； ， 直線重合。（3），； ， 直線平行。（4），。 ， 直線垂直。2.根據(jù)的不同取值，判斷直線和的位置關(guān)系。，。，。當(dāng)時(shí)，直線相交。時(shí)，直線垂直。當(dāng)時(shí)，直線重合。當(dāng)時(shí)，直線平行。3.已知三條直線相交于一點(diǎn)，求的值。直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解。 ， 。 交點(diǎn)， ，解得 。4.已知直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍。 ， 。 交點(diǎn)在第四象限， 。 的取值范是。練習(xí)：1.已知直線和，當(dāng)滿足什么關(guān)系時(shí)，直線具有下列位置關(guān)系：（1）與垂直；（2）與平行；（3）與重合。（1）；（2）；（3）。2.已知直線和，求滿足下列條件的的值：（1）與垂直；（2）與平行；（3

3、）與重合。（1）；（2）。（3）。兩條直線的夾角定義：兩條相交直線所成的銳角（或直角）叫做兩條相交直線的夾角。補(bǔ)充：兩條直線平行或重合時(shí)，稱(chēng)它們的夾角為。設(shè)，與的夾角為。取的法向量，方向向量；取的法向量，方向向量。設(shè)的夾角為。（1）； （2）。 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； ， 即 。設(shè)直線的傾斜角分別為，斜率分別為。 ， 當(dāng)與垂直時(shí)，。 ， 當(dāng)與不垂直時(shí)，。1.已知直線，當(dāng)為何值時(shí)，直線與的夾角為。 ， ，解得 ，或。2.求過(guò)點(diǎn)，且與直線成角的直線方程。 已知直線的傾斜角是， 所求直線的傾斜角是，或。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。3.在等腰直角三角形中，直角頂點(diǎn)為，斜邊所在直線方程為，求兩條直角邊所在直線的方程。 ，

4、直角邊所在直線與斜邊所在直線的夾角是， 。 ；。 ，即 ；，即 。 ， ，即 ；，即 。4.直線過(guò)點(diǎn)，且與直線和軸圍成等腰三角形，求直線的方程。當(dāng)是等腰的底邊時(shí)，；當(dāng)是等腰的底邊時(shí)，；當(dāng)是等腰的底邊時(shí)，若，則；若，則。5.已知，直線是內(nèi)的平分線，求點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是。 點(diǎn)的坐標(biāo)是。6.已知直線過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，問(wèn)滿足條件的直線有多少條？設(shè)直線方程是。由已知 。，或 。 滿足條件的直線有條。7.已知定點(diǎn)和定直線，動(dòng)點(diǎn)分別在軸和直線上移動(dòng)，且滿足，求的面積取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)。 ， ，即 。，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)。 點(diǎn)的坐標(biāo)是，或。設(shè)。，。 ， 當(dāng)時(shí)，取最大值，點(diǎn)的坐標(biāo)

5、是，或。點(diǎn)到直線的距離1.問(wèn)題提出在坐標(biāo)平面上，已知點(diǎn)和直線，求點(diǎn)到直線的距離。2.學(xué)生研究 要求學(xué)生每人獨(dú)立制定解決問(wèn)題的方案（至少一個(gè)）； 分組交流研究方案，互相評(píng)價(jià)，提出建設(shè)性意見(jiàn)，完善方案。3.師生活動(dòng)每組推選一名代表進(jìn)行課堂交流，師生一起評(píng)價(jià)；教師介紹若干解決問(wèn)題的方案。解法1：過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，交直線于點(diǎn)。 ， 。，。 ，。 ，即 。 解法2：當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)分別作軸、軸、直線的垂線，交直線于點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)。 ， 。 。（*）當(dāng)，；當(dāng)，；均適合（*）式。 。 解法3：過(guò)點(diǎn)分別作軸、直線的垂線，交直線于點(diǎn)、點(diǎn)。當(dāng)是銳角時(shí)，；當(dāng)是鈍角時(shí)，。 。命題：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)。證法1：。證法2：

6、設(shè)。 ， 。解法4：設(shè)是直線上的點(diǎn)。 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)， 。解法5：過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足是點(diǎn)。設(shè)是與平行的單位向量。 ， 。 ，或 ， 。解法6：過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足是點(diǎn)，。設(shè)以軸正向?yàn)槭歼?、為終邊的角為，叫做法線的幅角，。直線的點(diǎn)法向式方程是，即 。 法線式方程當(dāng)時(shí)，把直線的法線式方程是，設(shè)點(diǎn)且與直線平行的直線是。 ， 。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，同理可得 。點(diǎn)到直線、直線的距離分別是。當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)時(shí)，與同號(hào)，；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，與異號(hào)，。1.已知兩條平行直線方程分別是，求兩條平行直線之間的距離。設(shè)。兩條平行直線之間的距離等于點(diǎn)到直線的距離。 ， 。2.已知等腰三角形兩腰

7、的方程分別是，點(diǎn)在底邊所在的直線上，求底邊所在直線的方程。設(shè)是頂角平分線上的點(diǎn)。 ， 頂角平分線方程是，。 底邊所在直線的斜率分別是和， 底邊所在直線的方程是，。3.求直線，使得兩點(diǎn)，到它的距離都是。當(dāng)在直線的同側(cè)時(shí)，直線與直線平行，。設(shè)，即 。 。當(dāng)在直線的異側(cè)時(shí)，直線過(guò)線段的中點(diǎn)。若直線的斜率不存在，則。若直線的斜率存在，則，即 。4.已知直線過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，且，與的距離是。（1）求的取值范圍；當(dāng)均與軸垂直時(shí)，。當(dāng)?shù)男甭识即嬖跁r(shí)，。 ， 。令 ， 變形，得 。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令 ，解得 。 的取值范圍是。（2）當(dāng)取最大值時(shí)，求兩條直線的方程。 當(dāng)時(shí)， 所求的直線方程是，。直 線 綜 合一.醒

8、腦健脾練習(xí)1.若直線的斜率，則其傾斜角的取值范圍是 。2.若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)。3.若直線不能化為截距式方程，則的取值范圍是 。4.直線通過(guò)第一、第二、第三象限的充要條件是。5.若點(diǎn)不在直線上，則過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是 。6.點(diǎn)到直線的距離是。7.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是。8.若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)。9.直線到直線的角是。10.若點(diǎn)在直線運(yùn)動(dòng)，則的最小值是。二.銘心刻骨范例1.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，其中。根據(jù)下列條件確定的值。（1）的重心是； ， 。（2）的垂心是； ， ，解得 。 （3）的外心是； 的垂直平分線方程是，即 ， 用代入上式，得 。 。（4）的內(nèi)心是。，即 。設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)

9、稱(chēng)點(diǎn)為。， 。2.設(shè)，求直線，使得兩點(diǎn)到它的距離都是。（1）點(diǎn)、點(diǎn)在直線的同側(cè)。 ， 設(shè)，即 。 點(diǎn)到直線的距離是， ，解得 。 所求的直線方程是 ，。（2）點(diǎn)、點(diǎn)在直線的異側(cè)。此時(shí)直線過(guò)線段的中點(diǎn)，即過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。若直線的斜率不存在，則。當(dāng)時(shí)，合乎要求。若直線的斜率存在，則設(shè)直線方程為。 點(diǎn)到直線的距離是， 。 化簡(jiǎn)，得 （1）當(dāng)時(shí)，。若，則。當(dāng)時(shí)，方程（1）無(wú)解。當(dāng)時(shí)，方程（1）有重根，。當(dāng)，或時(shí)，方程（1）有兩個(gè)不等實(shí)根 ，。當(dāng)時(shí)，滿足條件的直線有四條: ，；當(dāng)時(shí)，滿足條件的直線有四條:；當(dāng)時(shí)，滿足條件的直線有三條:；當(dāng)時(shí)，滿足條件的直線有兩條:。3.已知，動(dòng)點(diǎn)沿折線從起點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，

10、動(dòng)點(diǎn)沿線段從起點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)1秒鐘同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。（1）若動(dòng)點(diǎn)可以相遇，求的值；設(shè)。，。令。當(dāng)時(shí)，由 ，得 （舍）。當(dāng)時(shí)，由 得 。（2）若，問(wèn)何時(shí)取最小值？并求出。 ， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。 當(dāng)時(shí)，。4.已知矩陣滿足為單位矩陣。（1）求的值； ， 。（2）設(shè)。矩陣變換可以將點(diǎn)變換為點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求經(jīng)過(guò)矩陣變換后點(diǎn)的軌跡方程。 ，即 ， 。 點(diǎn)在直線上， ，即點(diǎn)的軌跡方程是。（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點(diǎn)經(jīng)上述變換后得到的點(diǎn)仍在該直線上？若存在，求出所有這樣的直線；若不存在，則說(shuō)明理由。垂直于坐標(biāo)軸的直線不合要求。設(shè)，。 ， 。當(dāng)時(shí)，無(wú)解。

11、當(dāng)時(shí)，。解得 ，或 。 所求直線是。三.活血舒筋作業(yè)1.若點(diǎn)到軸、軸的距離之比是，且到兩點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)是。2.若點(diǎn)既是為端點(diǎn)的線段的三等分點(diǎn)，又是線段的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)是。3.若過(guò)點(diǎn)的直線與以為端點(diǎn)的線段相交，則直線的傾斜角的取值范圍是。4.過(guò)點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1的直線的方程是 。5.已知直線與直線的夾角平分線方程是。若直線的方程是 ，則直線的方程是。6.若直線與直線垂直，則的值是。7.若三條直線和交于一點(diǎn)，則。8.已知直線，根據(jù)下列條件確定實(shí)數(shù)的值。（1） 直線在軸上的截距是；令，得 ，解得 。（2）直線的斜率是1。 ， 。9.已知直線。（1）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)

12、；設(shè). ， 。（2）求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線的方程。設(shè)是直線上的任意點(diǎn)，存在直線上的點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。 ， 。代入直線的方程，得。10.已知直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。若三點(diǎn)到直線的距離的平方和最小，求直線的方程。若直線的斜率不存在，則三點(diǎn)到直線的距離的平方和為。若直線的斜率存在，則設(shè)。若，則。若，則由，得 。 當(dāng)時(shí)， 直線的方程是。直線綜合試卷一.填空題1.若點(diǎn)在直線上的射影為關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則的點(diǎn)法向式方程。2.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線方程是。3.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為。4.若光線沿直線射入，遇到直線立即反射，則反射光線所在的直線的方程是。5.若直線的傾斜角是直線的一半，則的值為。6.若點(diǎn)，

13、直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是。7.過(guò)點(diǎn)且和原點(diǎn)距離是的直線方程是。8.若點(diǎn)在直線上，則直線 必過(guò)定點(diǎn)。9.若的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則的平分線所在的直線方程為。10.無(wú)論取何值，直線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。11.若用記號(hào)表示函數(shù)中的最小值，則函數(shù) 的最大值為。12.若集合，且為單元素集合，則的取值范圍是。二.選擇題13.方程表示的圖形是 （ ）（）一條直線； （）兩條相交直線； （）兩條平行直線； （）圓。14.直線的傾斜角的取值范圍是 （ ）（）； （）； （）； （）。15.方程所表示的封閉圖形的面積是 （ ） （）； （）； （）； （）。16.若直線與直線是同一個(gè)圓的兩條切線，則該圓的面積等于 （ ）（）； （）； （）； （）。三解答題17.如圖所示，中，是斜邊上的點(diǎn)，且，求。設(shè)。 ， 。 ， 。 ， 。 。18.已知，在軸上求點(diǎn)和點(diǎn)：（1）使最?。辉O(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。 ， 當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值。 ， 令 ，得 。（2）使最大。 ， 當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最大值。 ， 令 ，得 。19.已知點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別在直線和上，求周長(zhǎng)的最小值。關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為。20.證明：三角形的垂心、重心和外心三點(diǎn)共線。設(shè)，為在上的射影，分別是的中點(diǎn)。分別是三角形的垂心、重心和外心。 ， 。令，得 。 的中垂線方程是，的中垂線方程是， 。，。 ， 。 三點(diǎn)共線，且