云南省保山曙光學(xué)校高一數(shù)學(xué)《指數(shù)與指數(shù)冪的運算（一）》教學(xué)設(shè)計（通用）

1、 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運算（一）一、內(nèi)容及其解析（一）內(nèi)容：章導(dǎo)言，引出指數(shù)冪概念的推廣，根式（二）解析：本節(jié)課是關(guān)于根式的一節(jié)概念課，是高中新課改人教A版教材第二章的第一節(jié)課第一章主要介紹了函數(shù)的概念，本章計劃用14個課時重點介紹幾類具體的基本初等函數(shù)，以此進一步理解函數(shù)概念，認識函數(shù)的思想其中，指數(shù)函數(shù)計劃用6課時，具體分配如下：根式（含章導(dǎo)言）1課時，分數(shù)指數(shù)冪1課時，無理指數(shù)冪1課時，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)3課時1章導(dǎo)言在本節(jié)課起到了一個承上啟下的作用，特別對學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)具有引導(dǎo)作用2本章首先要介紹的是指數(shù)函數(shù)，即f(x)=ax（a0且a1），這里的ax是一個指數(shù)冪，其中xR這就涉

2、及到實數(shù)指數(shù)冪的概念，而在此之前同學(xué)只學(xué)過整數(shù)指數(shù)冪，所以需要在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)前將同學(xué)已有指數(shù)冪的概念進行推廣，由整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理指數(shù)冪，再進一步推廣到實數(shù)指數(shù)冪由于先有根式才有有理指數(shù)冪（分數(shù)指數(shù)冪），根式就成了有理指數(shù)冪的基礎(chǔ)，而方根又是根式概念的核心，所以本節(jié)課主要就是針對有理指數(shù)冪，從n次方根逐步認識根式，為進一步認識有理指數(shù)冪奠定基礎(chǔ)3由于本模塊、本章和本節(jié)都是圍繞函數(shù)這一核心，從不同角度展開研究，所以無論是指數(shù)和指數(shù)冪的運算，還是根式，都是為函數(shù)教學(xué)服務(wù)的，都不是我們研究的重點這樣，本節(jié)課的重點就應(yīng)該放在為后續(xù)內(nèi)容的鋪墊上，即將整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理指數(shù)冪和引入指數(shù)函數(shù)，而關(guān)鍵在于

3、根式的概念，包括n次方根定義、表示和性質(zhì)二、目標及其解析（一）教學(xué)目標1初步了解指數(shù)冪和指數(shù)函數(shù)；2通過類比平方根、立方根，認識n次方根，進而初步理解根式的概念（二）解析1課程標準沒有明確提出本節(jié)課的具體教學(xué)內(nèi)容和要求，但根據(jù)它對本模塊、本章和本節(jié)的內(nèi)容要求，結(jié)合教科書當(dāng)前和今后內(nèi)容的實際，基于對相關(guān)內(nèi)容的分析，提出了上述教學(xué)目標的內(nèi)容并給出了相應(yīng)的要求定位2初步了解指數(shù)冪和指數(shù)函數(shù)，主要是指結(jié)合具體事例，從它們的表示形式上對它們有所了解，并不給出它們的定義，更不涉及其運算或圖象、性質(zhì)3由于本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容不僅涉及根式的定義，還涉及其表示和性質(zhì)，后續(xù)內(nèi)容還涉及其運算，所以對根式概念的定位應(yīng)該是

4、理解層次而本小節(jié)教科書之后將不再專門介紹根式，所以本節(jié)課務(wù)求初步理解根式概念，而在下節(jié)課的根式運算中逐步達到真正的理解4在與平方根、立方根比較的過程中，可以進一步學(xué)習(xí)類比的思想方法，提高同學(xué)的思維水平并在推廣與化歸的過程中，形成根式的知識鏈三、問題診斷分析同學(xué)在理解根式概念的過程中可能會遇到困難，具體表現(xiàn)在對n次方根定義的理解，特別是n次方根的存在性，以及性質(zhì)的認識因為從平方根和立方根到n次方根，是一個特殊到一般的變化過程，要求同學(xué)具有一定的歸納概括能力和抽象能力要克服這一困難，關(guān)鍵是引導(dǎo)同學(xué)建立n次方根與平方根和立方根的聯(lián)系，通過類比平方根和立方根，讓同學(xué)在已有的認知基礎(chǔ)上，從具體例子出發(fā)，

5、不斷地觀察、比較、模仿、判斷，從而形成概念，同時將新知識同化到已有的認知結(jié)構(gòu)中，從而克服可能遇到的困難四、教學(xué)過程設(shè)計（一）教學(xué)基本流程概念的引入概念的形成概念的明確概念的表示本章學(xué)習(xí)引導(dǎo)概念的鞏固和應(yīng)用（二）教學(xué)情景1本章學(xué)習(xí)引導(dǎo)問題1：老師想和在座的每一位同學(xué)簽署一份合同，合同的具體要求是：從今天開始的一個月內(nèi)（即31天），老師每天給你10萬元錢，而你第一天只需給老師1分錢，以后每天給老師的錢是前一天的兩倍你是否愿意簽署這份合同？請思考一分鐘，然后作出決定設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)一個有趣的情景，將同學(xué)的注意力引向本章的學(xué)習(xí)之中并借此揭示指數(shù)函數(shù)的形式和爆炸性增長的特點師生活動：對愿意和不愿意簽署

6、合同的同學(xué)，都要求其說明原因，即：（1）同學(xué)每天得到的錢（萬元）：10，10，10；一個月得到的總和（萬元）：=310（2）老師每天得到的錢（萬元）：10-6，210-6，2210-6，2n-110-6，23010-6；一個月得到的總和（萬元）：10-6+210-6+2210-6+2n-110-6+23010-6=2 147.483 647注：上式的計算可借助計算工具，若嫌求和復(fù)雜，可只求最后一個數(shù)進行體會，23010-6=1 073.741 824若同學(xué)們余興未盡，還可以進一步地問：從哪一天起，同學(xué)的支出超過收入？引導(dǎo)學(xué)生用計算器探究，并為第三章函數(shù)零點的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)問題2：閱讀章導(dǎo)言，看章

7、頭圖并思考章頭問題，然后回答：本章我們將要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？教科書為什么這樣安排？你準備怎樣學(xué)？設(shè)計意圖：引導(dǎo)同學(xué)對本章內(nèi)容有一個概括性的認識，并大致清楚學(xué)習(xí)的目標和方法師生活動：從同學(xué)的回答來把握其認識的程度，并從中進行引導(dǎo)：（1）當(dāng)同學(xué)泛泛地回答本章將學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)時，可進一步追問：哪些基本初等函數(shù)，每類函數(shù)又會學(xué)哪些內(nèi)容？以此來引導(dǎo)同學(xué)認真閱讀教科書的章導(dǎo)言，并結(jié)合前一章的內(nèi)容進行思考（2）對教科書“為什么這樣安排”的問題，可結(jié)合章頭圖和章頭問題，引導(dǎo)同學(xué)形成特殊到一般再到特殊的認識問題和解決問題的方法，具體講就是從一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等特殊函數(shù)到一般函數(shù)，再由一般函數(shù)到幾類基本

8、初等函數(shù)這些特殊函數(shù)并從中領(lǐng)會本章的學(xué)習(xí)目標（3）在學(xué)法指導(dǎo)上，可引導(dǎo)同學(xué)借助第一章函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)方法（4）為了進一步了解有關(guān)概念，可讓同學(xué)舉出類似前面情景問題和章頭問題的例子，也可給出本節(jié)教科書開始的兩個例子將問題所涉及到的指數(shù)冪概括為an的形式問題3：繼續(xù)閱讀教材P48頁的兩個例子，然后回答：（1） 正整數(shù)指數(shù)冪的含義是什么？它具有哪些運算性質(zhì)？（2） 兩個例子中的數(shù)均可以用同一種形式來表示，請將這種形式寫出來。問題4：對于an，當(dāng)n是正整數(shù)時的意義我們已經(jīng)知道；當(dāng)n是正分數(shù)時，它的意義又是什么呢？設(shè)計意圖：引導(dǎo)同學(xué)建立與根式的聯(lián)系師生活動：可進一步作出下列引導(dǎo)，幫助同學(xué)建立與根式的聯(lián)

9、系：以an的一個簡單情形為例，如果整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理指數(shù)冪也同樣適用，那么就有根據(jù)平方根的意義，就是2的一個正的平方根，而2的正的平方根是，可見=由此啟發(fā)我們，可以通過已經(jīng)有所認識的根式來認識指數(shù)冪an2概念的引入問題5：我們知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根（2次方根）；如果x3=a，那么x叫做a的立方根（3次方根）請問：（1）你由此想到，還有哪些方根？（2）你能否根據(jù)上述定義，給你所說的這些方根進行定義？設(shè)計意圖：通過回顧平方根和立方根，讓同學(xué)在已有認知基礎(chǔ)上，與同類概念進行比較，通過類比得到對新概念的認識方法上的啟發(fā)，并為領(lǐng)會新概念找到一個固著點，從而引出n次方根的定義以

10、此促進概括，明確n次方根概念的內(nèi)涵，進而準確把握此概念師生活動：為了幫助同學(xué)進行類比，可以將平方根和立方根的定義上下對齊寫在黑板上，然后讓同學(xué)將類比出的定義寫在它們的下面3概念的形成問題6：根據(jù)平方根和立方根的定義，我們可以舉例，例如，由于（2）2=4，所以2就是4的平方根；由于23=8，所以2就是8的立方根類似地，請根據(jù)你所給出的其他方根的定義，舉出相應(yīng)的例子設(shè)計意圖：當(dāng)n較大或就是n時，同學(xué)舉例困難了，于是引入n次方根的表示師生活動：可引導(dǎo)同學(xué)類比平方根和立方根的表示，給出n次方根的表示：（1）我們知道，4的平方根是2，可以表示為=2；8的立方根是2，可以表示為=2；-8的立方根是-2，可

11、以表示為=-2那么類似地，16的4次方根怎樣表示？32的5次方根怎樣表示？-32的5次方根怎樣表示？a的n次方根又怎樣表示？（2）從上述例子中我們是否能看出什么規(guī)律？也就是：n是奇數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有幾個？是正數(shù)，負數(shù)，還是零？怎樣表示？負數(shù)a的n次方根有幾個？是正數(shù)，負數(shù)，還是零？怎樣表示？n是偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有幾個？是正數(shù)，負數(shù)，還是零？怎樣表示？（3）負數(shù)有沒有偶次方根？（4）0的n次方根是多少？可以怎樣表示？4概念的明確問題7：請把前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容歸納一下，什么叫n次方根？如何表示？設(shè)計意圖：讓同學(xué)明確n次方根的概念師生活動：為了讓同學(xué)進一步明確根據(jù)n次方根的概念，解決下列問題：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，()n= ；當(dāng)n為偶數(shù)時，()n= 舉例說明（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，= ；當(dāng)n為偶數(shù)時，= 舉例說明5概念的表示前面用來表示a的n次方根的式子，我們把它叫做根式，讀作n次根號下a（其中一般讀作根號a），其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)當(dāng)根指數(shù)為n時，又把叫做n次根式問題8：請寫出一個根式，并讀出來，然后指出它的根指數(shù)和被開方數(shù)設(shè)計意圖：在明確了根式的概念之后，讓同學(xué)通過舉例和表示，并利用概念對具體例子進行判斷，推動他們對概念的理解活動，從而進一步形成對根式概念抽象的認識師生活動：為了讓同學(xué)對概念有豐富的例證，在他們舉例的基礎(chǔ)上，可繼續(xù)提出下列問題：讀出下列根