高考數(shù)學難點突破_難點16 三角函數(shù)式的化簡與求值

1、難點16 三角函數(shù)式的化簡與求值三角函數(shù)式的化簡和求值是高考考查的重點內(nèi)容之一.通過本節(jié)的學習使考生掌握化簡和求值問題的解題規(guī)律和途徑，特別是要掌握化簡和求值的一些常規(guī)技巧，以優(yōu)化我們的解題效果，做到事半功倍.難點磁場()已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值_.案例探究例1不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值.命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對計算能力的要求較高.屬于級題目.知識依托：熟知三角公式并能靈活應用.錯解分析：公式不熟，計算易出錯.技巧與方法：解法一利用三角公式進行等價變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，使解法更簡單更精妙，需認

2、真體會.解法一：sin220+cos280+sin220cos80= (1cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1cos40+ (cos120cos40sin120sin40)+sin20(cos60cos20sin60sin20)=1cos40cos40sin40+sin40sin220=1cos40(1cos40)= 解法二：設x=sin220+cos280+sin20cos80y=cos220+sin280cos20sin80，則x+y=1+1sin60=，xy=cos40+cos160+sin100=2

3、sin100sin60+sin100=0x=y=，即x=sin220+cos280+sin20cos80=.例2設關于x的函數(shù)y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值為f(a)，試確定滿足f(a)=的a值，并對此時的a值求y的最大值.命題意圖：本題主要考查最值問題、三角函數(shù)的有界性、計算能力以及較強的邏輯思維能力.屬級題目知識依托：二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.錯解分析：考生不易考查三角函數(shù)的有界性，對區(qū)間的分類易出錯.技巧與方法：利用等價轉(zhuǎn)化把問題化歸為二次函數(shù)問題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等.解：由y=2(cosx)2及cosx1，1得：f(a)f(a)=,14a=a=

4、2,+故2a1=，解得：a=1，此時，y=2(cosx+)2+，當cosx=1時，即x=2k，kZ，ymax=5.例3已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值時相應的x的值；(3)若當x，時，f(x)的反函數(shù)為f1(x)，求f-1(1)的值.命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識，還考查計算變形能力，綜合運用知識的能力，屬級題目.知識依托：熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識.錯解分析：在求f-1(1)的值時易走彎路.技巧與方法：等價轉(zhuǎn)化，逆向思維.解：(1)f(x

5、)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos+cosxsin)sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T=(2)當2x+=2k，即x=k (kZ)時，f(x)取得最小值2.(3)令2sin(2x+)=1，又x,2x+,2x+=，則x=，故f-1(1)= .錦囊妙計本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：1.求值問題的基本類型：1給角求值，2給值求值，3給式求值，4求函數(shù)式的最值或值域，5化簡求值.2.技巧與方法：1要尋求角與角關系的特殊性，化非特角為特殊角，熟練準確地應用公式.2注意切割化弦、異

6、角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用.3對于條件求值問題，要認真尋找條件和結(jié)論的關系，尋找解題的突破口，很難入手的問題，可利用分析法.4求最值問題，常用配方法、換元法來解決.殲滅難點訓練一、選擇題1.()已知方程x2+4ax+3a+1=0(a1)的兩根均tan、tan，且，()，則tan的值是( )A.B.2 C. D. 或2二、填空題2.()已知sin=，(，)，tan()= ，則tan(2)=_.3.()設()，(0，)，cos()=，sin(+)=，則sin(+)=_.三、解答題4.不查表求值:5.已知cos(+x)=，(x)，求的值.6.()已知=，且k(kZ).求的最大值及

7、最大值時的條件.7.()如右圖，扇形OAB的半徑為1，中心角60，四邊形PQRS是扇形的內(nèi)接矩形，當其面積最大時，求點P的位置，并求此最大面積.8.()已知cos+sin=，sin+cos的取值范圍是D，xD，求函數(shù)y=的最小值，并求取得最小值時x的值.參考答案難點磁場解法一：,0.+,sin()=sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)解法二：sin()=,cos(+)=,sin2+sin2=2sin(+)cos()=sin2sin2=2cos(+)sin()=sin2=殲滅難點訓練一、1.解析：a1，tan+tan=4a0.tan+tan=3a+10,又

8、、(,)、(,),則(,0),又tan(+)=,整理得2tan2=0.解得tan=2.答案：B2.解析：sin=,(,),cos=則tan=,又tan()=可得tan=,答案：3.解析：(),(0, ),又cos()=.答案：三、4.答案：2（kZ）, （kZ）當即（kZ）時,的最小值為1.7.解：以OA為x軸.O為原點，建立平面直角坐標系，并設P的坐標為(cos,sin)，則PS=sin.直線OB的方程為y=x，直線PQ的方程為y=sin.聯(lián)立解之得Q(sin；sin)，所以PQ=cossin.于是SPQRS=sin(cossin)=(sincossin2)=(sin2)=(sin2+cos2)= sin(2+).0,2+.sin(2+)1.s