16.3 角的平分線 課件

16.3角的平分線學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.（重點(diǎn)）3.能利用尺規(guī)作出一個(gè)已知角的平分線.（重點(diǎn)）2.能利用角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理證明相關(guān)結(jié)論.（難點(diǎn)）1.下圖中表示點(diǎn)P到直線l的距離的是

.線段PC的長(zhǎng)PlABCD點(diǎn)到直線的距離是指：點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度.新課導(dǎo)入2.本章中，從哪些方面學(xué)習(xí)線段的垂直平分線？①線段的垂直平分線的定義③線段的垂直平分線的性質(zhì)定理④線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理⑤線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖類似地，今天我們將從這些角度學(xué)習(xí)角的平分線的相關(guān)知識(shí)......②線段的軸對(duì)稱性新課導(dǎo)入問(wèn)題1角是軸對(duì)稱圖形嗎？將∠AOB對(duì)折，你發(fā)現(xiàn)了什么？ABO歸納：角是軸對(duì)稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.新知探究問(wèn)題2OC是∠AOB的平分線，在角平分線OC上任意選一點(diǎn)P，在邊OA上取點(diǎn)D，邊OB上取點(diǎn)E，怎樣才能使PD=PE?同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備好的∠AOB，用折紙的方法確定D、E的位置.CABO新知探究有可能出現(xiàn)的情況很多，我們選擇兩種來(lái)展示，展開(kāi)后的圖形如下：.CABPODE猜想：PD與PE有何數(shù)量關(guān)系呢？PD=PE.CABPODE新知探究PAOBCDE已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E.你能用什么方法說(shuō)明你的結(jié)論是正確的？求證：PD=PE.新知探究用刻度尺測(cè)量PD,PE，得到兩條線段的長(zhǎng)度相等.PAOBCDE方法一：方法二：利用角的對(duì)稱性，當(dāng)沿OC所在的直線對(duì)折時(shí)，PD與PE重合，因此PD=PE.新知探究PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90

°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.方法三：新知探究

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.用途：

證明兩條垂線段相等.BADOPEC試一試：請(qǐng)你用語(yǔ)言描述你所得到的結(jié)論.角平分線的性質(zhì)定理新知探究幾何語(yǔ)言：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE.PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC注意：一定要表明是兩條垂線段.新知探究（1）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）∴

=

，()角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC判斷下列的寫法是否正確？理由：沒(méi)有垂直，不能確定BD,CD是點(diǎn)D到角兩邊的距離.練一練（2）∵

如圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

，()角內(nèi)任意一條線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCDBADC理由：無(wú)法確定點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.×練一練線段的垂直平分線的性質(zhì)定理有逆定理，角的平分線的性質(zhì)定理是否也有逆定理呢？請(qǐng)你說(shuō)出角平分線的性質(zhì)定理的逆命題.如果一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在角的平分線上.新知探究角平分線性質(zhì)定理的逆定理到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE用途：

證明點(diǎn)在角平分線上，即可以判定角平分線.在17章進(jìn)行證明新知探究例

如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.A

B

C

PN

M典型例題D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.典型例題思考：點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點(diǎn)P在∠A的平分線上.D

E

F

A

B

C

P

N

M

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.新知探究如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD，BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說(shuō)明它的道理嗎?CADBCE兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形全等，兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.所以AE就是角平分線.想一想：能夠運(yùn)用這種方法作出任意角的角平分線嗎？新知探究用尺規(guī)作已知角的角平分線ABMNCO已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.（2）分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.新知探究ABMNCO證明：連接CM,CN由作圖過(guò)程知，OM=ON,CM=CN,又OC=OC∴△OMC≌△ONC,∴∠AOC=∠BOC.即OC是∠AOB的平分線.試一試：在練習(xí)本上分別作銳角，鈍角，平角的角平分線.角平分線作法的依據(jù)新知探究1.如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，則四邊形ABCD的面積是______.D

A

B

C

BA.24B.30C.36D.42課堂練習(xí)2.用尺規(guī)作圖作一個(gè)已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等ABMNCOA課堂練習(xí)125°3.如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊AB,BC,AC的距離OF=OD=OE，若∠BAC=70°，則∠BOC=______.F

D

E

A

B

C

O

課堂練習(xí)4.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．

證明：過(guò)點(diǎn)F分別作FG⊥AE于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥AD于點(diǎn)H，F(xiàn)M⊥BC于點(diǎn)M.∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC.∴FG＝FM.又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥