2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第七章　§7.3　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系VIP

§7.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課標(biāo)要求1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題.1.基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.2.“三個”推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.3.空間中直線與直線的位置關(guān)系共面直線4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a∩α=A1個平行a∥α0個在平面內(nèi)a?α無數(shù)個平面與平面平行α∥β0個相交α∩β=l無數(shù)個5.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.6.異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：0，1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線.(×)(2)直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種.(×)(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.(×)(4)兩兩相交的三條直線共面.(×)2.用符號表示“點A不在直線m上，直線m在平面α內(nèi)”，正確的是()A.A?m，m?α B.A?m，m∈αC.A?m，m?α D.A?m，m∈α答案A解析由題意用符號表示“點A不在直線m上，直線m在平面α內(nèi)”，即A?m，m?α.3.(多選)下列命題正確的是()A.空間任意三個點確定一個平面B.一個點和一條直線確定一個平面C.兩條相交直線確定一個平面D.空間兩兩平行的三條直線確定一個或三個平面答案CD解析A中，空間不共線的三點確定一個平面，A錯；B中，只有點在直線外時才能確定一個平面，B錯；C中，兩條相交直線確定一個平面，C正確；D中，空間兩兩平行的三條直線確定一個平面或三個平面，D正確.4.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC和MN所成的角為.

答案60°解析因為M，N分別為棱BC和棱CC1的中點，所以MN∥BC1，又在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC∥A1C1，所以∠A1C1B或其補角為異面直線AC和MN所成的角，又在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1B為正三角形，所以∠A1C1B=60°，即異面直線AC和MN所成的角為60°.(1)異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線.(2)異面直線所成角的范圍：兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.題型一基本事實的應(yīng)用例1已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點.證明(1)如圖所示，連接B1D1.因為EF是△C1D1B1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面.(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1C，設(shè)A1，C，C1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點，同理，P是α與β的公共點.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點共線.(3)因為EF∥BD且EF<BD，所以DE與BF相交，設(shè)交點為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點.思維升華共面、共線、共點問題的證明(1)共面：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).(2)共線：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.(3)共點：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，G，H分別在CD和AD上，且滿足CGGD=AHHD(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)EH，F(xiàn)G，BD三線共點.證明(1)因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC.又因為CGGD=所以GH∥AC.所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點在同一平面內(nèi)，即E，F(xiàn)，G，H四點共面.(2)因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC，EF=12AC由題意知CGGD=AHHD=2，HG∥AC，HG=1所以四邊形EFGH為梯形，直線EH和FG必相交，設(shè)交點為M，即EH∩FG=M，因為EH?平面ABD，所以點M∈平面ABD，同理可得點M∈平面BCD.又因為平面ABD∩平面BCD=BD，所以點M∈直線BD，所以直線EH，F(xiàn)G，BD三線共點.題型二空間位置關(guān)系的判斷例2(1)(多選)下列推斷中，正確的是()A.若M∈α，M∈β，α∩β=l，則M∈lB.若α∩β=l，a?α，b?β，a∩b=A，則A∈lC.l?α，A∈l?A?αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合答案ABD解析對于A，因為M∈α，M∈β，α∩β=l，由基本事實3可知M∈l，A對；對于B，若a?α，b?β，a∩b=A，則A∈α，A∈β，因為α∩β=l，所以A∈l，B對；對于C，若l∩α=A，則有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α，C錯；對于D，有三個不共線的點在平面α，β中，故α，β重合，D對.(2)(多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，當(dāng)點P在線段BC1上(不包含端點)運動時，下列直線中一定與直線OP異面的是()A.AB1 B.A1CC.A1A D.AD1答案BCD解析對于A，如圖①，連接AB1，C1D，BD，當(dāng)P為BC1的中點時，OP∥DC1∥AB1，故A不正確；對于B，如圖②，連接A1C，A1C1，AC，因為A1C?平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O?A1C，P?平面AA1C1C，所以直線A1C與直線OP一定是異面直線，故B正確；對于C，如圖②，因為A1A?平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O?A1A，P?平面AA1C1C，所以直線A1A與直線OP一定是異面直線，故C正確；對于D，如圖③，連接AD1，D1C，AC，因為AD1?平面AD1C，O∈平面AD1C，O?AD1，P?平面AD1C，所以直線AD1與直線OP一定是異面直線，故D正確.思維升華判斷空間直線的位置關(guān)系一般有兩種方法：一是構(gòu)造幾何體(如長方體、空間四邊形等)模型來判斷.二是排除法.特別地，對于異面直線的判定常用到結(jié)論：“平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線.”跟蹤訓(xùn)練2(1)空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()A.平行 B.異面C.相交或平行 D.平行或異面或相交均有可能答案D解析根據(jù)條件作出示意圖，容易得到以下三種情況，由圖可知AB與CD有相交、平行、異面三種情況.(2)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列結(jié)論正確的是()A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交答案D解析如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確.題型三異面直線所成的角例3(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BD的中點，則直線B1E與A1D所成的角為()A.30° B.60° C.120° D.150°答案A解析如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=DC，A1B1∥DC，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，則有A1D∥B1C，所以直線B1E與A1D所成的角等于直線B1E與B1C所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，則BB1=2，BE=CE=2，B1C=2B1E=BB1在△EB1C中，cos∠EB1C=B1E所以∠EB1C=30°.所以直線B1E與A1D所成的角為30°.(2)如圖，已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長均為2，E為棱PA的中點，則異面直線BE與PC所成角的余弦值為()A.63 B.C.13 D.答案B解析連接AC，取AC的中點O，連接OE，OB，由題意知，EO∥PC，則異面直線BE與PC所成的角為∠BEO(或其補角)，在△BEO中，EO=1，BO=2，BE=則cos∠BEO=BE2則異面直線BE與PC所成角的余弦值為33思維升華異面直線所成角的求法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解補形法在該幾何體的某側(cè)補接上一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解跟蹤訓(xùn)練3(1)(2025·崇明模擬)已知底面半徑為1的圓柱，O是其上底面圓心，A，B是下底面圓周上兩個不同的點，BC是母線.若直線OA與BC所成角的大小為π3，則BC=答案3解析如圖所示，過A作母線AD，連接OD，則∠OAD為直線OA與BC所成的角，則∠OAD=π在Rt△OAD中，可得AD=1tanπ即BC=33(2)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，異面直線BD與AC1所成角的余弦值為15，則該長方體外接球的表面積為(A.90π B.196πC.784π D.1372π答案B解析連接AC與BD交于O點，則O為AC中點，取CC1的中點E，連接BE，OE，則AC1∥OE，所以∠EOB為異面直線BD與AC1所成的角(或補角)，設(shè)CE=x，AB=8，AD=6，則BE=x2+36，OB=OC=5在△OBE中，由余弦定理得BE2=OB2+OE2-2OB×OE×cos∠EOB，若cos∠EOB=1則36+x2=25+25+x2-225解得x=26(負值舍去)，若cos∠EOB=-15，則36+x2=25+25+x2+225所以CC1=2x=46所以長方體的體對角線長為36+64所以長方體的外接球的半徑R=7，所以長方體外接球的表面積S=4πR2=196π.課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.若直線上有兩個點在平面外，則()A.直線上至少有一個點在平面內(nèi)B.直線上有無窮多個點在平面內(nèi)C.直線上所有點都在平面外D.直線上至多有一個點在平面內(nèi)答案D解析根據(jù)題意，兩點確定一條直線，那么由于直線上有兩個點在平面外，則直線在平面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個點在平面內(nèi).2.下列說法正確的是()A.空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、垂直和異面B.若空間中兩直線沒有公共點，則這兩直線異面C.和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線D.若兩直線分別是長方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面答案D解析對于A，空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和異面，故A錯誤；對于B，若空間中兩直線沒有公共點，則這兩直線異面或平行，故B錯誤；對于C，和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線或相交直線，故C錯誤；對于D，如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，當(dāng)A'B所在直線為a，BC'所在直線為b時，a與b相交，當(dāng)A'B所在直線為a，B'C所在直線為b時，a與b異面，若兩直線分別是長方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面，故D正確.3.下列推理錯誤的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β=ABC.A∈l，l?α?A∈αD.若直線a?α，直線b?β，則a與b為異面直線答案D解析由A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根據(jù)基本事實2可得l?α，故A正確；由A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，根據(jù)基本事實3可得α∩β=AB，故B正確；由A∈l，l?α可得A∈α，故C正確；由于平面α和平面β位置不確定，則直線a與直線b位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故D錯誤.4.在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，若EF∩HG=P，則點P()A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.可能在直線AC上，也可能在BD上D.不在直線AC上，也不在直線BD上答案B解析因為EF∩HG=P，E，F(xiàn)，G，H四點分別是AB，BC，CD，DA上的點，所以EF在平面ABC內(nèi)，HG在平面ACD內(nèi)，所以P既在平面ABC內(nèi)，又在平面ACD內(nèi)，所以P在平面ABC和平面ACD的交線上，又平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC.5.已知平面α∩平面β=l，點A，C∈α，點B∈β，且B?l，又AC∩l=M，過A，B，C三點確定的平面為γ，則β∩γ是()A.直線CM B.直線BMC.直線AB D.直線BC答案B解析已知過A，B，C三點確定的平面為γ，則AC?γ.又AC∩l=M，則M∈γ，又平面α∩平面β=l，則l?α，l?β，又因為AC∩l=M，所以M∈β，因為B∈β，B∈γ，所以β∩γ=BM.6.安徽徽州古城與四川閬中古城、山西平遙古城、云南麗江古城被稱為中國四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底層部分可近似看作一個正方體ABCD-A1B1C1D1.已知該正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點，過D1，E，F(xiàn)三點的平面與平面ABCD的交線為l，則直線l與直線AD1所成的角為()A.π3 B.π6 C.π答案A解析如圖所示，在平面AA1D1D中，連接D1E與DA的延長線交于點H，則HA=AD，在平面CC1D1D中，連接D1F與DC的延長線交于點G，則GC=CD，則GH為平面D1EF與平面ABCD的交線l，且GH∥AC，而在等邊△ACD1中AC與AD1所成的角為π故l與直線AD1所成的角為π3二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.給出以下四個命題，其中錯誤的是()A.不共面的四點中，其中任意三點不共線B.若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面C.若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面D.依次首尾相接的四條線段必共面答案BCD解析反證法：如果四個點中，有3個點共線，第4個點不在這條直線上，根據(jù)基本事實2的推論可知，這四個點共面，這與已知矛盾，故A正確；如圖1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B錯誤；如圖2，a，b共面，a，c共面，但b，c異面，故C錯誤；如圖3，a，b，c，d四條線段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D錯誤.圖1圖2圖38.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是棱PD，PA的中點，下列說法正確的有()A.多面體ABF-DCE是三棱柱B.直線BF與PC互為異面直線C.平面ADP與平面BCP的交線平行于EFD.四棱錐P-ABCD和四棱錐P-BCEF的體積之比為8∶3答案BCD解析對于A，多面體ABF-DCE中，由直線AF∩DE=P，得平面ABF與平面DCE不平行，顯然多面體ABF-DCE中不存在平行的兩個面，則該多面體不是三棱柱，A錯誤；對于B，由E，F(xiàn)分別是棱PD，PA的中點，得EF∥AD∥BC，BF?平面BCEF，C∈平面BCEF，P?平面BCEF，C?BF，因此直線BF與PC互為異面直線，B正確；對于C，由AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，則AD∥平面PBC，令平面PBC∩平面PAD=l，而AD?平面PAD，則l∥AD∥EF，C正確；對于D，連接AC，CF，令四棱錐P-ABCD的體積為V，由E，F(xiàn)分別是棱PD，PA的中點，得V三棱錐P-BCF=V三棱錐B-PCF=12V三棱錐B-PCA=12V三棱錐P-ABC=14V，V三棱錐P-CEF=V三棱錐C-PEF=14V三棱錐C-PDA=14V三棱錐P-ADC=18V，因此四棱錐P-BCEF的體積V四棱錐P-BCEF=V三棱錐P-BCF+V三棱錐P-CEF=三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直線，P為空間中一點.若α∩β=l，m?α，n?β，m∩n=P，則點P與直線l的位置關(guān)系用符號表示為.

答案P∈l解析∵m?α，n?β，m∩n=P，∴P∈α且P∈β，又α∩β=l，∴點P在直線l上，即P∈l.10.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有對.

答案3解析畫出該正方體的直觀圖如圖所示，易知異面直線有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3對.四、解答題(共27分)11.(13分)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，CC1的中點.(1)求異面直線A1E與D1F所成角的余弦值；(7分)(2)求三棱錐A1-D1EF的體積.(6分)解(1)如圖，設(shè)BB1的中點為H，連接HF，EH，A1H，因為F是CC1的中點，所以A1D1∥CB∥HF，A1D1=CB=HF，因此四邊形A1D1FH是平行四邊形，所以D1F∥A1H，D1F=A1H，因此∠EA1H是異面直線A1E與D1F所成的角或其補角，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E是AB的中點，所以A1E=A1H=22+EH=12+由余弦定理可知，cos∠EA1H=A1E2+所以異面直線A1E與D1F所成角的余弦值為45(2)因為A1D1∥HF，HF?平面A1D1E，A1D1?平面A1D1E，所以HF∥平面A1D1E，因此點H，F(xiàn)到平面A1D1E的距離相等，即V三棱錐A1-D1V三棱錐D1-A1EH==13×2×22所以三棱錐A1-D1EF的體積為1.12.(14分)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點，M為AB上一點.(1)若D1E與CM相交于點K，求證：D1E，CM，DA三條直線相交于同一點；(4分)(2)若AB=2，AA1=4，∠BAD=π3，求點D1到平面FBD的距離.(10(1)證明∵D1E與CM相交于點K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E?平面ADD1A1，CM?平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三條直線相交于同一點K.(2)解∵四邊形ABCD為菱形，AB=2，∴BC=CD=2，而四棱柱的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中點，CC1=4，∴CF=2，∴BF=DF=22又∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=π∴BD=AB=2，∴S△FBD=12×2×(22)連接D1F，D1B(圖略)，設(shè)點D1到平面FBD的距離為h，點B到平面DD1F的距離為d，則d=2sinπ3=又∵V三棱錐D∴13×S△FBD×h=13×S△∴13×7×h=13×12×4×解得h=421即點D1到平面FBD的距離為42113題5分，14題6分，共11分13.(2025·綿陽模擬)在平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，BC=25，CD=2，沿對角線BD將△CBD折起，所得四面體ABCD外接球的表面積為24π，則異面直線AB與CD所成的角為(A.30° B.45° C.60° D.90°答案D解析取BC中點O1，AD中點O2，BD中點F，則O1為△