中考數(shù)學《重難點解讀專項訓練》專題13最值模型：瓜豆原理-主從動點問題(專項訓練)-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學《重難點解讀專項訓練》(原卷版+解析)

/專題13最值模型；瓜豆原理-主從動點問題（專項訓練）1．如圖，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，點E為對角線AC上一動點，BE⊥BF，，BG⊥EF于點G，連接CG，當CG最小時，CE的長為．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝2，點P在邊AC上運動（可與點A，C重合），將線段BP繞點P逆時針旋轉120°，得到線段DP，連接BD，CD，則CD長的最小值為．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在BC邊上，BC＝5，CD＝2，點E是邊AC所在直線上的一動點，連接DE，將DE繞點D順時針方向旋轉60°得到DF，連接BF，則BF的最小值為．4．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝6，∠DAC＝60°，點F在線段AO上從點A至點O運動，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點E和點A分別位于DF兩側，則點E運動的路程長是．5．如圖，正方形ABCD的邊長為7，E為BC上一點，且BE＝，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．6．如圖，正方形ABCD的邊長為8，E為BC上一點，且BE＝2.5，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．7．如圖，正方形ABCD中邊長為6，E為BC上一點，且BE＝1.5，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．8．如圖，已知點A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），動點P在線段AB上，點P、C、M按逆時針順序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，當點P從點A運動到點B時，則點M運動的路徑長為．9．如圖，∠AOB＝30°，OD＝4，當點C在OA上運動時，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，則O，E兩點間距離的最小值為．10．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為底向右側作等腰直角△EFG，連接CG，則CG的最小值為．11．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠B＝120°，E是BC的中點，F(xiàn)是對角線AC上的動點，連接EF，將線段EF繞點F按逆時針旋轉30°，G為點E對應點，連接CG，則CG的最小值為．12．已知邊長為6的等邊△ABC中，E是高AD所在直線上的一個動點，連接BE，將線段BE繞點B順時針旋轉60°得到BF，連接DF，則在點E運動的過程中，當線段DF長度的最小值時，DE的長度為．13．如圖，線段AB＝2，點C為平面上一動點，且∠ACB＝90°，將線段AC的中點P繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，連接BQ，則線段BQ的最大值為．14．如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB＝4，BC＝2，點P是⊙O上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，連接OD，則OD長的最大值為．14．已知⊙O的半徑長7cm，P為線段OA的中點，若點P在⊙O上，則OA的長是cm．15．如圖，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，⊙O沿著△ABC的內部邊緣滾動一圈，若⊙O的半徑為1，且圓心O運動的路徑長為18，則△ABC的周長為．16．如圖，⊙O的半徑為2，O到定點A的距離為5，點B在⊙O上，點P是線段AB的中點，若B在⊙O上運動一周．（1）點P的運動路徑是一個圓；（2）△ABC始終是一個等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍．（1）思路引導要證點P運動的路徑是一個圓，只要證點P到定點M的距離等于定長r，由圖中的定點、定長可以發(fā)現(xiàn)M，r．17．若AC＝4，以點C為圓心，2為半徑作圓，點P為該圓上的動點，連接AP．（1）如圖1，取點B，使△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將點P繞點A順時針旋轉90°得到AP′．①點P'的軌跡是（填“線段”或者“圓”）；②CP′的最小值是；（2）如圖2，以AP為邊作等邊△APQ（點A、P、Q按照順時針方向排列），在點P運動過程中，求CQ的最大值．（3）如圖3，將點A繞點P逆時針旋轉90°，得到點M，連接PM，則CM的最小值為．18．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥AC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接AE．（1）求證：AE與⊙O相切；（2）連接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的長；（3）若AB＝10，AC＝8，點F是⊙O任意一點，點M是弦AF的中點，當點F在⊙O上運動一周，則點M運動的路徑長為．19．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為B．（1）求拋物線解析式；（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，當點M運動到某一位置時，△ABM的面積等于△ABC面積的，求此時點M的坐標；（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點（F在E右側），若P點是⊙B上一動點，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點為逆時針順序），連接FD．求FD長度的取值范圍．/專題13最值模型；瓜豆原理-主從動點問題（專項訓練）1．如圖，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，點E為對角線AC上一動點，BE⊥BF，，BG⊥EF于點G，連接CG，當CG最小時，CE的長為．【答案】【解答】解：如圖，過點B作BP⊥AC于點P，連接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在點E的運動過程中，∠BPG的大小不變且等于∠BAC，∴當CG⊥PG時，CG最小，設此時AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC?sin∠CBP＝BC?sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝．∴CE＝，故答案為：．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝2，點P在邊AC上運動（可與點A，C重合），將線段BP繞點P逆時針旋轉120°，得到線段DP，連接BD，CD，則CD長的最小值為．【答案】【解答】解：如圖所示，以BC為底邊向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，連接PQ．由題意可得△BQC和△BPD均為頂角為120°的等腰三角形，可得，∠QBC＝∠PBD＝30°，∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，∴∠PBQ＝∠DBC，∴△PBQ∽△DBC，∴，∴當PQ⊥AC時，有PQ最小，即此時CD最小，如圖所示，設OP′⊥AC，延長AQ與BC交K，此時QP'為QP的最小值，可得AK⊥BC，∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，∴BK＝3，∠QBK＝30°，∴QK＝＝，∵tan∠ACB＝＝，KC＝3，∴AK＝＝，∴AQ＝AK﹣QK＝，AC＝＝，∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，∴△AQP'∽△ACK，∴，∴，∴QP'＝，∴CD＝＝．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在BC邊上，BC＝5，CD＝2，點E是邊AC所在直線上的一動點，連接DE，將DE繞點D順時針方向旋轉60°得到DF，連接BF，則BF的最小值為．【答案】【解答】解：如圖，以BD為邊作等邊三角形DBH，連接EH，過點H作HN⊥BD于N，∵BC＝5，CD＝2，∴BD＝3，∵△DHB是等邊三角形，HN⊥BD，∴DN＝BN＝，DB＝DH，∠HDB＝60°，∴CN＝，∵將DE繞點D順時針方向旋轉60°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠HDB，∴∠EDH＝∠FDB，在△DHE和△DBF中，，∴△DHE≌△DBF（SAS），∴EH＝BF，∴當EH有最小值時，BF有最小值，由垂線段最短可得：當EH⊥AC時，EH有最小值，此時，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，∴四邊形CNHE是矩形，∴HE＝CN＝，故答案為：．4．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝6，∠DAC＝60°，點F在線段AO上從點A至點O運動，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點E和點A分別位于DF兩側，則點E運動的路程長是．【答案】2【解答】解：連接OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝DO，∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，∴△DAO是等邊三角形，∴DA＝DO，∠ADO＝60°，∵△DFE是等邊三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠ADF＝∠ODE，又AD＝DO，DF＝DE，∴△ADF≌△ODE（SAS），∴OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，∴點E在射線OE上運動，且OE＝AF，當點F在線段AO上從點A至點O運動時，∴點E的運動路程是AO，在Rt△ADB中，設AD＝x，則BD＝2x，∴（2x）2﹣x2＝62，解得x＝2（負值舍去），∴AD＝AO＝2，即點E的運動路程為2，故答案為：2．5．如圖，正方形ABCD的邊長為7，E為BC上一點，且BE＝，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【答案】2【解答】解：∵△EFG為等邊三角形，∴EF＝EG，把△EBF繞點E順時針旋轉60°得到△EHG，如圖，延長HG交CD于M，過C點作CQ⊥HM，過E點作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G點在過H點且垂直于EH的線段HM上，易得四邊形HEPQ為矩形，∴PQ＝EH＝，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°﹣∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝，∴CQ＝CP+PQ＝+＝．∴CG的最小值為．故答案為．6．如圖，正方形ABCD的邊長為8，E為BC上一點，且BE＝2.5，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【答案】【解答】解：由題意可知，點F是主動點，點G是從動點，點F在線段上運動，點G也一定在直線軌跡上運動，將△EFB繞點E旋轉60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG，從而可知△EBH為等邊三角形，點G在垂直于HE的直線HN上，過點C作CM⊥HN，則CM即為CG的最小值，過點E作EP⊥CM，可知四邊形HEPM為矩形，則CM＝MP+CP＝HE+EC＝2.5+＝，故答案為：．7．如圖，正方形ABCD中邊長為6，E為BC上一點，且BE＝1.5，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【答案】【解答】解：如圖，以EC為邊作等邊三角形ECH，過點H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，又∵∠ABC＝90°，∴四邊形MHNB是矩形，∴MH＝BN，∵BE＝1.5，∴EC＝，∵△EHC是等邊三角形，HN⊥EC，∴EC＝EH＝，EN＝NC＝，∠HEC＝60°，∴BN＝＝MH，∵△FGE是等邊三角形，∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC，∴∠FEH＝∠GEC，在△FEH和△GEC中，，∴△FEH≌△GEC（SAS），∴FH＝GC，∴當FH⊥AB時，F(xiàn)H有最小值，即GC有最小值，∴點F與點M重合時，F(xiàn)H＝HM＝，故答案為．8．如圖，已知點A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），動點P在線段AB上，點P、C、M按逆時針順序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，當點P從點A運動到點B時，則點M運動的路徑長為．【答案】6【解答】解：∵點A（﹣3，0），B（0，3），∴AB＝，∵C（﹣1，4），動點P在線段AB上，∠CPM＝90°，CP＝MP，∴，P為主動點，M為從動點，C為定點，由“瓜豆原理”得P運動路徑（AB）與M運動路徑之比等于，∴點M運動的路徑長為÷＝6，故答案為：6．9．如圖，∠AOB＝30°，OD＝4，當點C在OA上運動時，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，則O，E兩點間距離的最小值為．【答案】2+2【解答】解：∵∠AOB＝30°，OD＝4，點C在OA上運動時，CD＝DE，CD⊥DE，∴C為主動點，E為從動點，D為定點，由“瓜豆原理”，C在OA上運動，則E在垂直O(jiān)A的直線上運動，當DC⊥OA時，如答圖：過E作EM⊥OA于M，交OB于N，則直線MN即為E的運動軌跡，OM的長為O，E兩點間距離的最小值，∵∠AOB＝30°，OD＝4，DC⊥OA，∴CD＝2，∵CD＝DE，∴DE＝2，∵∠OCD＝∠CDE＝90°，∴DE∥OA，而EM⊥OA，∴∠DEN＝90°，∠EDN＝30°，∴在△DEN中可得DN＝，∴ON＝4+，△OMN中可得OM＝×（4+）＝2+2，故答案為：2+2．10．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為底向右側作等腰直角△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【答案】【解答】解：如圖1，過點G作GP⊥AB于點P，GQ⊥BC于點Q，連接BD，根據(jù)題意知，∠ABC＝90°，∠PGQ＝90°．∴∠PGF+∠FGQ＝∠QGE+∠FGQ＝90°．∴∠PGF＝∠QGE．又∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FGE＝90°，∴GF＝GE．在△GPF與△GQE中，，∴△GPF≌△GQE（AAS）．∴GP＝GQ，∠GBP＝∠GBE＝∠ABC．∴點G在BD所在的直線上運動．∵F為AB邊上的一個動點，如圖2，當點F與點B重合時，點G的位置如圖所示．當點F與點A重合時，記點G的位置為G″．∴點G的運動軌跡為線段GG″．過點C作CG′⊥BD于點G′．∴|CG|min＝CG′＝BD．∵正方形ABCD的邊長為2，∴BD＝2．∴|CG|min＝．故答案是：．11．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠B＝120°，E是BC的中點，F(xiàn)是對角線AC上的動點，連接EF，將線段EF繞點F按逆時針旋轉30°，G為點E對應點，連接CG，則CG的最小值為．【答案】【解答】解：如圖取CD的中點K，連接FK，KG，EK，延長KG交BC于J，作CH⊥JK于H．∵四邊形ABCD是菱形，∴∠FCE＝∠FCK，CB＝CD，AB∥CD，∴∠DCB+∠B＝180°，∵∠B＝120°，∴∠DCB＝60°，∵BE＝EC，CK＝KD，∴CK＝CE，∴△ECK是等邊三角形，∵CF＝CF，∠FCK＝∠FCE，CK＝CE，∴△FCK≌△FCE（SAS），∴FK＝FE，∵FG＝FE，∴FE＝FG＝FK，∴∠EKG＝∠EFG＝15°，∵∠CKE＝60°，∴∠CKJ＝45°，∴點G在直線KJ上運動，根據(jù)垂線段最短可知，當點G與H重合時，CG的值最小，在Rt△CKH中，∵∠CKH＝45°，∠CHK＝90°，CK＝CD＝2，∴CH＝KH＝，∴CG的最小值為，故答案為．12．已知邊長為6的等邊△ABC中，E是高AD所在直線上的一個動點，連接BE，將線段BE繞點B順時針旋轉60°得到BF，連接DF，則在點E運動的過程中，當線段DF長度的最小值時，DE的長度為．【答案】【解答】解：連接CF，∵等邊△ABC，∴AB＝BC，∵線段BE繞點B順時針旋轉60°得到BF，∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），F(xiàn)點在直線CF上運動，∴CF＝AE，∠BCF＝30°，∴F點在直線CF上運動，當DF⊥CF時，DF最小，∵CD＝3，∴CF＝，∴AE＝，∵AD＝3，∴DE＝，故答案為．13．如圖，線段AB＝2，點C為平面上一動點，且∠ACB＝90°，將線段AC的中點P繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，連接BQ，則線段BQ的最大值為．【答案】【解答】解：如圖，取AB的中點D，連接CD，過點A作AE⊥AB，使AE＝AD＝，連接QE、BE．∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴，∵∠QAC＝90°，∠EAB＝90°，∴∠QAE＝∠CAD，∵，，∴△ADC∽△AEQ，∴，∴，∵∠EAB＝90°，∴＝，當點Q、E、B三點共線時，BQ最大為＝．故答案為：．14．如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB＝4，BC＝2，點P是⊙O上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，連接OD，則OD長的最大值為．【答案】2+1【解答】解：如圖，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，則CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴＝＝2，∴△COP∽△CED，∴＝＝2，即ED＝OP＝1（定長），∵點E是定點，DE是定長，∴點D在半徑為1的⊙E上，∵OD≤OE+DE＝2+1，∴OD的最大值為2+1，故答案為．14．已知⊙O的半徑長7cm，P為線段OA的中點，若點P在⊙O上，則OA的長是cm．【答案】14【解答】解：根據(jù)點和圓的位置關系，得OP＝7cm，再根據(jù)線段的中點的概念，得OA＝2OP＝14cm．故答案為：14．15．如圖，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，⊙O沿著△ABC的內部邊緣滾動一圈，若⊙O的半徑為1，且圓心O運動的路徑長為18，則△ABC的周長為．【答案】30【解答】解：設⊙O沿著△ABC的內部邊緣滾動一圈，如圖所示，連接DE、EF、DF，設切點分別為G、H、P、Q、M、N，連接DH、DG、EP、EQ、FM、FN，得矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DEMH，∴DE＝GP，EF＝QN，DF＝HM，根據(jù)切線長定理四邊形CPEQ是正方形，∴PC＝PE＝EQ＝CQ＝1，∵⊙O的半徑為1，且圓心O運動的路徑長為18，∴DE+EF+DF＝18，∵DE∥AC，DF∥AB，EF∥BC，∴∠DEF＝∠ACB，∠DFE＝∠ABC，∴△DEF∽△ABC，∴DE：EF：DF＝AC：BC：AB＝3：4：5，設DE＝3k（k＞0），則EF＝4k，DF＝5k，∵DE+EF+DF＝18，∴3k+4k+5k＝18，解得k＝，∴DE＝3k＝，EF＝4k＝6，DF＝5k＝，根據(jù)切線長定理，設AG＝AH＝x，BN＝BM＝y(tǒng)，則AC＝AG+GP+CP＝x++1＝x+5.5，BC＝CQ+QN+BN＝1+6+y＝y(tǒng)+7，AB＝AH+HM+BM＝x++y＝x+y+7.5，∵AC：BC：AB＝3：4：5，∴（x+5.5）：（y+7）：（x+y+7.5）＝3：4：5，解得x＝2，y＝3，∴AC＝7.5，BC＝10，AB＝12.5，∴AC+BC+AB＝30．所以△ABC的周長為30．故答案為30．16．如圖，⊙O的半徑為2，O到定點A的距離為5，點B在⊙O上，點P是線段AB的中點，若B在⊙O上運動一周．（1）點P的運動路徑是一個圓；（2）△ABC始終是一個等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍．（1）思路引導要證點P運動的路徑是一個圓，只要證點P到定點M的距離等于定長r，由圖中的定點、定長可以發(fā)現(xiàn)M，r．【解答】（1）解：連接OA、OB，取OA的中點H，連接HP，如圖1所示：則HP是△ABO的中位線，∴HP＝OB＝1，∴P點到H點的距離固定為1，∴B在⊙O上運動一周，點P運動的路徑是以點H為圓心，半徑為1的一個圓；（2）解：連接AO并延長AO交⊙O于點M、N，如圖2所示：∵△ABC是等邊三角形，點P是線段AB的中點，∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，∴PC＝PA＝AB，當點B運動到點M位置時，點P運動到點P'位置，PC最短，∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，∴AP'＝AM＝，∴PC＝；當點B運動到點N位置時，點P運動到點P''位置，PC最長，∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，∴AP''＝AN＝，∴PC＝；∴PC長的取值范圍是≤PC≤．17．若AC＝4，以點C為圓心，2為半徑作圓，點P為該圓上的動點，連接AP．（1）如圖1，取點B，使△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將點P繞點A順時針旋轉90°得到AP′．①點P'的軌跡是（填“線段”或者“圓”）；②CP′的最小值是；（2）如圖2，以AP為邊作等邊△APQ（點A、P、Q按照順時針方向排列），在點P運動過程中，求CQ的最大值．（3）如圖3，將點A繞點P逆時針旋轉90°，得到點M，連接PM，則CM的最小值為．【解答】解：（1）①連接CP、BP'，如圖1所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，由旋轉的性質得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，∴∠PAC＝∠P'AB，在△ABP'和△ACP中，，∴△ABP'≌△ACP（SAS），∴BP'＝CP＝2，即點P'到點B的距離等于定長，∴點P'的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓；故答案為：圓；②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，∴BC＝AC＝4，當點P'在線段BC上時，CP'最小＝BC﹣BP'＝4﹣2；故答案為：4﹣2；（2）以AC為邊長作等邊△ACD，連接DQ、CP，如圖2所示：∵△APQ和△ACD是等邊三角形，∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，∴∠DAQ＝∠CAP，在△ADQ和△ACP中，，∴△ADQ≌△ACP（SAS），∴DQ＝CP＝2，當C、D、Q三點共線時，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；（3）如圖3所示：M點的軌跡是以MM'為直徑的一個圓O'，則PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，則CO'是梯形PMM'P'的中位線，∴CO'＝（2+6）＝4，連接MM'''，則∠MM'''M'＝90°，∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'＝MM'''＝4，∴O'M''＝2，∴CM＝CO'﹣O'M''＝4﹣2；故答案為：4﹣2．18．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥AC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接AE．（1）求證：AE與⊙O相切；（2）連接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的長；（3）若AB＝10，AC＝8，點F是⊙O任意一點，點M是弦AF的中點，當點F在⊙O上運動一周，則點M運動的路徑長為．【解答】（1）證明：如圖1中，連接OC．∵OD⊥AC