北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列32垂徑定理及其推論【十大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題3.2垂徑定理及其推論【十大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】...........................................................1

【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】......................................................2

【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】....................................................3

【題型4在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】....................................................5

【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】............................................................6

【題型6利用垂徑定理求同心圓問題】............................................................7

【題型7垂徑定理的實際應(yīng)用】..................................................................8

【題型8垂徑定理在格點中的運用】..............................................................9

【題型9利用垂徑定理求整點】..................................................................10

【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】........................................................11

，舉一反三

【知識點1垂徑定理及其推論】

（1）垂徑定理

垂史于弦的直徑平分這條弦，并一旦平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】

【例1】（2023春?九年級單元測試）如圖，6是。。的直徑，弦于點E,連接8C、BD,下列結(jié)論

中不一定正確的是（）

A.AE=BEB.AD=BDC.OE=DED.AC=BC

【變式皿】（2023春?北京海淀?九年級人大附中?？茧A段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了《圓》這一章節(jié)之后，甲、乙兩位

同學(xué)分別整理了??個命題：

甲相等的弦所對的圓心角相等;乙:平分弦的直徑垂直于這條弦.

下面對這兩個命題的判斷，正確的是

A.甲對乙錯B.甲錯乙對C.甲乙都對D.甲乙都錯

【變式1-2]（2023春.全國?九年級專題練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧B.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心

C.平分弦的直徑垂直于弦D.平分弦所對的兩條弧的直線垂直于弦

【變式1-3]（2023?福建三明?泰安模擬）如圖，AB是。O的直徑，弦CD_LAB于點E,則下列結(jié)論正確的

A.DE=BEB.BC=BD

C.aBOC是等邊三角形D.四邊形ODBC是菱形

【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】

【例2】（2023?貴州遵義?統(tǒng)考三模）在半徑為/?的圓中,弦BC垂直平分若BC=6,則r的值是（）

0

A.V3B.3V3C.2V3D.—

2

【變式2-1]（2023春?浙江?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，己知。0的半徑為5,弦AB=8,點E在AB上運

動，連結(jié)OE,過點E作EFJ_OE交。O于點F,當EF最大時，OE+EF的值為

B

【變式2-2]（2023?湖北孝感?校聯(lián)考一模）如圖，aABC內(nèi)接于。。，OCLOB,OD_LAB于Q交AC于E

點，已知。。的半徑為1,則4￡2+CE2的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式2-3]（2023春?江蘇泰州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在0O中，A8是更徑，F(xiàn)為A4上一點，過點

尸作弦MN,ZNPB=45°.

⑴若AP=2,BP=6,求MN的長;

(2)若MP=3,NP=5,求A8的長;

(3)當P在A8上運動時（NNP5=45。不變），筆手的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化,

/ID

請求出其范圍.

【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】

【例3】（2023春?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，。。的弦48垂直于CD,點E為垂足，連接。￡若力E=l,

AB=CD=6,則OE的值是（）

A.2V2B.3V2C.4V2D.5V2

【變式3-1］（2023春?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，為圓O直徑，尸點在圓上，E點、為AF中點、,連接

作CO_LAB于點。，己知直徑為10,OE=4,求0。的長度.

【變式3-2］（2023?上海?統(tǒng)考中考真題）已知：在圓。內(nèi)，弦力D與弦BC交于點G,4D=分別是CB和

4D的中點，聯(lián)結(jié)MN,OG.

（2）聯(lián)結(jié)/C,4M,CN,當CN〃OG時，求證：四邊形4CNM為矩形.

【變式3-3］（2023春?江西贛州?九年級統(tǒng)考期末）按要求作圖

圖2

圖1

⑴如圖I，已知48是。。的直徑，四邊形/C0E為平行四邊形，請你用無刻度的直尺作出乙AOD的角平分線

0P;

(2)如圖2,已知力8是。。的直徑，點C是BD的中點，AB||CD,請你用無刻度的直尺在射線DC上找?點P,

使四邊形7WPZ)是平行四邊形.

【題型4在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】

【例4】(2023春?九年級單元測試)如圖，在平面直角坐標系中，OP的圓心坐標是(3,a)(Q>3),半徑為

3,函數(shù)y="的圖像被OP截得的弦48的長為4&，則〃的值是()

A.4B.3+V2C.3V2D.3+V3

【變式4-1](2023?全國?九年級專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標系中，點力的坐標是(10,0),點B的坐標是

(8,0),點C,。在以。4為直徑的半圓M上，且四邊形0CQ8是平行四邊形，求點C的坐標.

【變式4-2](2023?江蘇南京,九年級專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、

B、C、。四點.已知A(6,0),8(-2,0),C(0,3),則點D的坐標為.

【變式4-3]（2023春?湖北鄂州?九年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，。。經(jīng)過點直線

y=心:+2k一4與。0交于8、C兩點，則弦BC的最小值是（）

A.6V2B.10>/3C.8A/5D.以上都不對

【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】

【例5】（2023?全國?九年級專題練習(xí)）在半徑為10的。。中，弦力8=12,弦CC=16,且力BIICD,則力B與

CD之間的距離是

【變式5-1]（2023春?浙江杭州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，知形4BCZ）與圓心在A8上的。。交于點G,

【變式5-2]（2023春?九年級課時練習(xí)）如圖，AB,CD是半徑為15的。O的兩條弦，AB=24,CD=18,

MN是直徑，ABJ_MN于點E,CD_LMN于點F,P為EF上任意一點，則PA+PC的最小值為

【變式5-3]（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，A,B,C,。在0。上，AB〃CD經(jīng)過圓心。的線段EF148

于點F,與CD交于點E,已知。0半徑為5.

AB

（1）若為8=6,CD=8,求E尸的長；

（2）若CO=4A后，且EF=8F,求弦48的長：

【題型6利用垂徑定理求同心圓問題】

【例6】（2023春?湖北孝感?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，兩個圓都是以。為圓心.

<I）求證：AC=BD；

（2）若48=10,8。=2,小圓的半徑為5,求大圓的半徑/?的值.

【變式6-1］（2023春?浙江臺州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被

一條直線所截得的一組圓弧.已知每個臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm）,測得AB=200cm,

AC=BD=40cm,則弧AB所在的圓的半徑為cm

【變式6-2］（2023春?九年級課時練習(xí)）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置

在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm,水的最大深度是2cm,則杯

底有水面AB的寬度是（）cm.

A.6B.4V2C.4V3D.4^5

【變式6-3］（2023?浙江杭州?九年級）如圖，兩個同心圓的半徑分別為2和4,矩形488的邊48和CD分別

是兩圓的弦，則矩形48CD面積的最大值是.

【題型7垂徑定理的實際應(yīng)用】

【例7】（2023?浙江溫州?校聯(lián)考二模）如圖，是某隧道的入口，它的截面如圖所示，是由71PB和直角"CB圍

成，且點。也在AP8所在的圓上，已知4c=4m,隧道的最高點P離路面BC的距離OP=7m,則該道路的路

面寬BC=m；在APB上，離地面相同高度的兩點E,F裝有兩排照明燈，若E是RP的中點，則這兩

排照明燈離地面的高度是m.

【變式7-1]（2023春?浙江嘉興?九年級平湖市林域中學(xué)校聯(lián)考期口）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂,

維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

（1）請你用直尺和圓規(guī)補全這個輸水管道的圓形截面（保留作圖痕跡）；

（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬=8cm,水面最深地方的高度為2cm,求這個圓形截面的半徑.

【變式7-2]（2023春?河北邢臺?九年級校聯(lián)考期末）“筒車”是一種以水流作動力，取水灌田的工具.如圖，

“簡車“盛水簡的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心。始終在水面上方.且當圓被水面截得的弦48

為6米時，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點距離水面的最大距離）.

⑴求該圓的半徑：

（2）若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦力8從原來的6米變?yōu)?米時，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？

【變式7-3】（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)

保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(如圖①).假定在水流量穩(wěn)定的

情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.

問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為，?的O。.如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米.當￡=0

時，某盛水筒恰好位于水面A處,此時心力OM=30。，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點8處.：參考數(shù)據(jù),

企右1.414,V3?1.732)

圖①圖②

問題解決：

(I)求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到8處時，々BOM的度數(shù)；

⑵求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至5處時，它到水面的距離.(結(jié)果精確至IJ0.1米)

【題型8垂徑定理在格點中的運用】

【例8】(2023春?湖北武漢?九年級校聯(lián)考期末)如圖是由小正方形組成的7x6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點

叫做格點.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖.

(1)(2)

(1)在圖(1)中，A,B,C三點是格點，畫經(jīng)過這三點的圓的圓心。并在該圓上畫點。，使4。=8。；

(2)在圖(2)中，A,E,尸三點是格點，經(jīng)過點A.先過點F畫4E的平行線交。/于M,N兩點，再畫

弦MN的中點G.

【變式8-1］（2023春?遼寧盤錦?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標系中有一段弧經(jīng)過格點（正方形

網(wǎng)格交點）A、B、C,其中8（2,3）,則圓瓠所在圓的圓心坐標為.

【變式8-2］（2023春?河南駐馬店,九年級統(tǒng)考期末）小英家的圓形鏡子被打碎了，她拿了如圖（網(wǎng)格中的每

個小正方形邊長為1）的一塊碎片到玻璃店，配制成形狀、大小與原來一致的鏡面，則這個鏡面的半徑是—.

【變式8-3］（2023?北京?九年級專題練習(xí)）如圖，在每個小正方形的邊長為1cm的網(wǎng)格中，畫出了一個過格

點A,4的圓，通過測量、計算，求得該圓的周長是cm.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

—1

?

-3

1

【題型9利用垂徑定理求整點】

【例9】（2023春?九年級課時練習(xí)）如圖，AZ?是。C的弦，直徑MALLA4于點。，MN=IO,AB=8,如圖以

。為原點建立坐標系.我們把橫縱坐標都是整數(shù)的點叫做整數(shù)點，則線段OC長是—，。。上的整數(shù)點有

個.

【變式9-1]（2U23春?全國?九年級統(tǒng)考期中）的自徑為1。，弦48=6,〃是弦A8上一動點，滿足線段

。尸的長為整數(shù)的點P有處不同的位置.

【變式9-2】（2023春?九年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，4（0,4）,8（4,4）,C（6,2）.注：把在平面

直角坐標系中橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為脩卓（htticepoint）.

（1）若經(jīng)過4、B、C三點的圓弧所在的圓心為M,則點M的坐標為；

（2）若畫出該圓弧所在的圓，則在整個平面坐標系網(wǎng)格中該圓共經(jīng)過格點.

【變式9-3]（2023?湖南邵陽?校聯(lián)考一模）。。的直徑為10,弦AB=8,點P為AB上一動點，若OP的值

為整數(shù)，則滿足條件的P點有一個.

【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】

【例10】（2023春?湖北武漢,九年級校考階段練習(xí)）如圖，矩形力BCD的頂點4,C在半徑為5的上，0（2,1）,

當點力在。。上運動時，點。也隨之運動，則矩形4BCD的對角線4C的最小值為（）.

A.2x/5B.10-V5C.10+V5D.10-2遍

【變式10-1】（2023?廣東佛山?統(tǒng)考二模）如圖，。。的半徑為5cm,弦<8=8cm,P是弦力8上的一個動點,

則0P的長度范圍是（）

A.8<OP<10B.5<OP<SC.4<OP<5D.3<OP<5

【變式10-2］（2023春?浙江金華?九年級統(tǒng)考期中）如圖，。。的半徑OFJL弦力8于點是。。上一點,EF=2,

力8=12,CE的長的最大值為一.

【變式1（）-3］（2023春?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，以G（0,l）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、8兩點,

與），軸交于C,。兩點，點E為。G上一動點，于凡則弦的長度為:當點E在。G的

運動過程中，線段的長度的最小值為.

專題3.2垂徑定理及其推論【十大題型】

【北師大版】

，題型梳理

【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】...........................................................1

【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】......................................................2

【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】....................................................3

【題型4在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】....................................................5

【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】............................................................6

【題型6利用垂徑定理求同心圓問題】............................................................7

【題型7垂徑定理的實際應(yīng)用】..................................................................8

【題型8垂徑定理在格點中的運用】..............................................................9

【題型9利用垂徑定理求整點】..................................................................10

【題型10利用垂徑定理求最值或取值范圍】........................................................11

，舉一反三

【知識點1垂徑定理及其推論】

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對■的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

【題型1由垂徑定理及其推論判斷正誤】

【例1】（2023春?九年級單元測試）如圖，是。。的直徑，弦于點E,連接BC、BD,下列結(jié)論

中不一定正確的是（）

A.AE=BEB.AD=BDC.UE=DED.AC=BC

【答案】A

【分析】根據(jù)垂徑定理判斷即可；

【詳解】???直徑CO垂直于弦力8于點E,則由垂徑定理可得，AE=BE,AD=BD,AC=BC,故選項A,B,

DE確;Of=DE無法得出，故C錯誤.

故選C.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2023春?北京海淀?九年級人大附中?？茧A段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了《圓》這一章節(jié)之后，甲、乙兩位

同學(xué)分別整理了一個命題：

甲:相等的弦所對的圓心角相等;乙:平分弦的直徑垂直于這條弦.

下面對這兩個命題的判斷，正確的是

A.甲對乙錯B.甲錯乙對C.甲乙都對D.甲乙都錯

【答案】D

【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩

組量也相等，可判斷甲命題；由垂徑定理可得判斷乙命題.

【詳解】（1）在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧對應(yīng)相等，故甲命題錯誤;（2）平分弦的直徑垂直于不是直徑的

弦；故乙命題項錯誤；

故選D.

【點睛】本題主要考查同圓或等圓中，弧、弦、圓心角的關(guān)系及垂徑定理.

【變式1-2]（2023春?全國?九年級專題練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧B.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心

C.平分弦的直徑垂直于弦D.平分弦所對的兩條弧的直線垂直于弦

【答案】DBD

【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論進行判斷即可.

【詳解】A、垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，正確；

B、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，正確：

C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故錯誤；

D、平分弦所對的兩條弧的直線垂直于弦，正確；

故選ABD.

【點睛】本題考查了垂徑定理：熟練掌握垂徑定理及其推論是解決問題的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2023?福建三明?泰安模擬）如圖，AB是。O的直徑，弦CDJ_AB于點E,則下列結(jié)論正確的

是（）

A.DE=BEB.BC=BD

C.aBOC是等邊三角形D.四邊形ODBC是菱形

【答案】B

【詳解】試題分析：VAB1CD,AB過O,

/.DE=CE,BC=BD,

根據(jù)已知不能推出DE=BE,4BOC是等邊三角形，四邊形ODBC是菱形.

故選B.

【考點】垂徑定理.

【題型2根據(jù)垂徑定理與勾股定理綜合求值】

【例2】（2023?貴州遵義?統(tǒng)考三模）在半徑為/"的圓中，弦8。垂直平分。人若BC=6,則/?的值是（）

A.百B.3V3C.2V3D.苧

【答案】A

【分析】設(shè)BC、。/1交于。，根據(jù)題意和垂徑定理得到。0BD=3,^ODB=90°,在RtAOB。由勾股

定理得到『2=32+6）2,解方程即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)8C、。力交于。，

二弦8c垂直平分。力，BC=6,

???0。t。4=+BD=^BC=3,"DB=90。,

在Rt408。中，由勾股定理得。82=。。2+8。2,

二產(chǎn)=32+針，

解得r=2V3,

【點睛】本題主要考查了勾股定理和垂徑定理，利用方程的思想求解是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023春?浙江?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，己知。O的半徑為5,弦AB=8,點E在AB上運

動，連結(jié)OE,過點E作EFJ_OE交。O于點F,當EF最大時，OE+EF的值為.

【分析】當OEJ_AB,EF最大，即點F與點B重合，過。作OE_LAB于E,連接OB,根據(jù)垂徑定理得到

BE=4,根據(jù)勾股定理得到OE=而屏』/，從而得到答案.

【詳解】解：當OEJ_AB,EF最大，即點F與點B重合，

過0作OEJ_AB于E,連接OB,

VAB=8,

ABE=4,

VOB=5,

.\OE=VO52-FF2=3,

.,.0E+EF=0E+0B=7,故答案為工

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2023?湖北孝感?校聯(lián)考一模）如圖,△A8C內(nèi)接于OCA.OB,0。_143于。交4。于￡：

^]AE24-CE2的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】連接/犯根據(jù)垂徑定理得到得到E4=E5,NEAO=NEBO=/ACO,根據(jù)勾股定理計算即

可.

【詳解】解:連接3E,如圖，

?/ODA.AB,

：.AD=DB,

:?EA=EB,ZEAO=ZEBO=ZACO,

???ZECB+ZEBC=ZECO+450+ZEBC=ZOBE+45°+ZEBC=90°,

???NBEC=90°,

在直角△BEC中，BE2+CE2=BC2,

,：OCA-OB>jlOC=()B=OA

：,BC2=2OA2=2,

，BE2+CE2=2,即AE?+CE2=2.

【變式2-3](2023春?江蘇泰州?九年級?？茧A段練習(xí))如圖，在。。中，AB是直徑，尸為48上一點，過點

P作弦MN,NNPB=45°.

(1)若AP=2,BP=6,求MN的長；

(2)若MP=3,NE,求AB的長；

(3)當。在/W上運動時(NNPB=45。不變)，世二歲的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化,

刀D

請求出其范圍.

【答案】(1)2V14；(2)2V17：(3)不變，值為；

【分析】(1)作OH_LMN于H,連接ON,先計算出OA=4,OP=2,在RtZkPOH中，由于NOPH=45。，則

OH=yOP=V2,再在RQ0HN中，利用勾股定理計算出NHW值然后根據(jù)垂徑定理由OH_LMN得到

HM=HN,所以MN=2NH=2g；

(2)作OH_LMN于H,連接ON,先計算出HM=HN=4,PH=1,在RtZiPOH中，由NOPH=45，得到OH=1,

再在RlAOHN中利用勾股定理可計算出0N=g,所AB=2ON=2V17：

(3)作OHLMN于H,連接ON,根據(jù)垂定理得HM=HN,設(shè)圓的半徑為R,在RsOHN中，利用勾股定

理得到OH2+NH2=ON2=R2,在RIAPOH中，由NOPH=45。得OH=PH,W?JPH2+NH2=R2,然后變形PN^+PM2

可得到2(PH2+NH2),所以PM4PN2的值為2R2,又AB=2R,代入計算即可求出答案.

【詳解】解：(1)作OHJ_MN于H,連接ON,

VAP=2,BP=6,

AAB=8,

/.OA=4,OP=2,

在RIAPOH中，*.*ZOPH=45°,

AOH=yOP=V2,

在RIAOHN中，VON=4,OH=、2,

ANH=JN02_042=J42-(V2)2=V14,

V0H1MN,

AHM=HN,

.*.MN=2NH=2V14：

(2)作OH_LMN于H,連接ON,

則HM=HN,

VMP=3,NP=5,

AMN=8,

AHM=HN=4,

APH=1,

在R(APOH中，???ZOPH=45°,

AOH=h

在RSOHN中，?.?HN=4,OH=L

ON=VOH24-NH2=\[17,

r.AB=2ON=2T17；

(3)空募"的值不發(fā)生變化，為定值J,

作OH_LMN于H,連接ON,

則HM=HN,

設(shè)圓的半徑為R,

在RSOHN中，OH2+NH2=ON2=R2,

在RSPOH中，?；ZOPH=45°,

，0H=PH,

APH2+NH2=R2,

VPM2+PN2=(HM-PH)2+(NH+PH)2

=(NH-PH)2+(NH+PH)2

=2(PH2+NH2)

=2R2.

又AB2=4R2,

.PM2+PN22R21

??AB22

???嗎密的值不發(fā)生變化，為定值j

【點睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定理.

【題型3根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求值】

【例3】（2023春?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，。。的弦力8垂直于CD,點E為垂足，連接?！耆袅=l,

AB=CD=6,則OE的值是（）

A.2V2B.3V2C.4V2D.5V2

【答案】D

【分析】如圖所示，過。點作OH1A8于H點，OFJ.G）于尸點，連接。8、0C,根據(jù)垂徑定理可求出EH的值,

再證RtAOB"三RtaOCF（HL）,可得0"=。凡根據(jù)正方形的判定可得四邊形。"Er為正方形，由此即可

求解.

【詳解】解：如圖所示，過。點作0"J.4B于，點，。尸1CD于尸點，連接OB、0C,

，根據(jù)垂徑定理得，DF=CF=^CD=^x6=3,AH=BH=^AB=6=3,

*：AE=1,

：.EH=AH-AE=3-1=2f

在RtZkOBH和Rt/kOCF中，

(OB=OC

iBH=CF'

/.Rt△ODII=RtAOCF(IIL),

工OH=OF,

VCDLAB,

：,LHEF=90°,

?：￡OHE=Z.OFE=90°,

???四邊形04EF為正方形，OE是正方形的對角線，

：.0E=V2EH=2V2,

【點睛】本題考查圓與三角形的綜合，掌握圓的基礎(chǔ)值，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判

定和性質(zhì)等知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1](2023春?全國?九年級專題練習(xí))如圖，為圓O直徑，尸點在圓上，E點為AF中點,連接

EO,作COJ_E。交圓。于點C,作于點。，已知直徑為10,OE=4,求0。的長度.

【答案】3

【分析】根據(jù)垂徑定理的逆定理得到OE_LAF,由CO_LEO,得到OC〃AF,即可得到NOAE=NCOO,然

后通過證得aAEO且△OOC,證得CD=OE=4,然后根據(jù)勾股定理即可求得OD

【詳解】解：???￡點為AF中點，

J.OEYAF,

???CO_LE。，

：,OC//AF,

:?tOAE=NCOD,

*：CD±AB,

：.ZAEO=ZODC,

在A4七。和4OOC中，

(LOAE=乙COD

l^AEO=LODC，

(OA=OC

A(AAS),

：.CD=OE=4,

VOC=5,

JOD=VOC2-CD2=V52-42=3.

【點睛】本題考查垂徑定理的逆定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌

握垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵

【變式3-2](2023?上海?統(tǒng)考中考真題)已知:在圓。內(nèi),弦4D與弦BC交于點&4。=18,”,此分別是。8和

力。的中點，聯(lián)結(jié)MN,0G.

(1)求證：0G1MN；

(2)聯(lián)結(jié)AC,AM,CN,當CN〃OG時，求證：四邊形ACNM為矩形.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】(1)連結(jié)OM,ON,由歷、N分別是CB和4。的中點，可得OM_LBC,ONLAD,由/￡=CO,可

得OM=ON,可證Rt/EOP三RM~OP(，L),MG=NG,乙MG。=(NGO,根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)

0G1MN;

(2)設(shè)0G交例N于E,[hRtAEOPRtAFOP,可得MG=NG,可得乙CMN=^ANM,CM=-CB=-AD=

22

AN,可證△CMN=△4NM可得4M=CN,由CN〃OG,可得N4MN=乙CNM=90。，由乙4MN+4CNM=180。

可得AM〃CM可證ACNM是平行四邊形，再由N/1M/V=9。。可證四邊形AC7VM是矩形.

【詳解】證明：(I)連結(jié)0M,0M

?：M、N分別是C8和40的中點，

???0M,ON為弦心距，

：?0M工BC,ONIAD,

:.“MO=Z.GNO=90°,

在00中，AB=CD,

???0M=ON,

在RmOMG和Rt&ONG中，

(0M=ON

(0G=0G'

:.RtAGOM三RtAGON(HL),

:.MG=NG,iMGO=iNGO,

???0G1MN;

(2)沒OG交MN于E,

???RtAGOM三RMGON(HL),

：.MG=NG,

GMN=^GNM,即zCMN=/i4NM,

VCM=-CB=-AD=AN,

22

在ACMN和AANM中

(CM=AN

乙CMN=乙ANM,

kMN=NM

?MCMN三AANM,

???AM=CN/AMN=乙GNM,

，：CN〃OG,

Z.CNM=乙GEM=90°,

:.Z.AMN=乙CNM=90°,

乙AMN+乙CNM=90°+90o=180°,

.??4CNM是平行四邊形，

vZ.AMN=90°,

???四邊形ACNM是矩形.

【點睛】本題考查垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的

判定，掌握垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定

是解題關(guān)鍵.

【變式3-3](2023春?江西贛州?九年級統(tǒng)考期末)按要求作圖

圖]圖2

⑴如圖1，已知48是。。的直徑，四邊形4C0E為平行四邊形，請你用無刻度的直尺作出440D的角平分線

OP；

(2)如圖2,已知48是。。的直徑，點。是BD的中點，ABIICD,請你用無刻度的直尺在射線。C上找一點P,

使四邊形力8PD是平行四邊形.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）連接A。，EC交于點凡作射線O小交。。于點P,0。即為所求；

（2）連接08,0C交于點E,作射線AE交。C于點P,四邊形48PZ）即為所求.

【詳解】（1）解：如圖1，連接AQ,EC交于點凡作射線。尸交。。于點P,。。即為所求;

圖1

?.?四邊形4CDE為平行四邊形，

AAF=DF,

v0A=0Df

OP是乙4。0的角平分線；

（2）如圖2,連接OQ,連接04,。。交于點￡作射線AE交射線0c于點P,四邊形ABPO即為所求;

圖2

???點C是8。的41點,

A0C1DB,

0D=0B,

*'?DE=EB,

-ABWCD,

???/.ABE=乙PDE,

POE中,

AABE=乙PDE

Z.AEB=乙PED，

.DE=BE

???△ABE=△PDE,

???AB=DP,

???ABWDP,

.??四邊形4BPD是平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，三線合一，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【題型4在坐標系中利用垂徑定理求值或坐標】

【例4】(2023春?九年級單元測試)如圖，在平面直角坐標系中，OP的圓心坐標是(3,Q)(Q>3),半徑為

3,函數(shù)y=%的圖像被OP截得的弦力8的長為4a,則a的值是()

A.4B.3+V2C.3V2D.3+百

【答案】B

【分析】作PC_Lx軸于C,交力8于。，作PEJ.A8于E,連接PB,求出。點坐標為(3,3),可得△OCD為等

腰直角三角形，從而也為等腰直角三角形.根據(jù)垂徑定理得4E=8E=2a,在Rt^PBE中，利用

勾股定理求出PE=1,再求出PD的長即可求解.

【詳解】解：作PC1》軸于C，交48于。，作PE1/B于E,連接PB,如圖,

〈OP的圓心坐標是(3,a),

：.0C=3,PC=a,

把無=3代入y=%得y=3,

???。點坐標為(3,3),

：.CD=3,

???AOCC為等腰直角三角形，

?"PDE=NODC=45。，

*：PELAB,

:.kPEO為等腰直角三角形，AE=BE=^AB=1x4x/2=2加，

在中，PB=3,

：.PE=-(2&)2=i,

:?PD=4lPE=鼻,

G=3+y/2.

故選B.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及垂徑定理：垂直于弦

的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

【變式4-1](2023?全國?九年級專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(10,0),點8的坐標是

(8,0),點C,。在以。力為直徑的半圓M上，且四邊形OCOB是平行四邊形，求點C的坐標.

【答案】點C的坐標為(1,3)

【分析】連接CM,作MNJLC。于內(nèi)，?！?.04于4,根據(jù)題意得CO=。8=8,CN=MH,CH=MN,根據(jù)

垂徑定理得出CN=D/V=|CD=4.M0=MC=5,在MNC中，勾股定理得出MN=3,進而得出C的

縱坐標為3,又?！?。用一""=5-4=1,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接CM,作MNJ.C。于N,?！?。4于”.

???四邊形OCDB為平行四邊形，B點的坐標是(8,0),

CD=OB=8,CN=MH,CH=MN.

又?；MN1CD,

：.CN=DN=-CD=4.

2

???點4的坐標是(10,0)，

:.OA=10,

???MO=MC=5.

在RtAMNC中，MN=VCM2-CN2=V52-42=3.

CH=3.又。，=。"一聞，=3-4=1.

???點C的坐標為(1,3).

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形，垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2](2023?江蘇南京?九年級專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、

B、C、。四點.已知4(6,0),3(-2,0),C(0,3),則點。的坐標為.

【詳解】設(shè)圓心為P，過點。作于點￡,PFLCD于點F,先根據(jù)垂徑定理可得￡A=￡3=4,FC=

FD,進而可求出OE=2,再設(shè)P(2,/〃)，即可利用勾股定理表示出PC2,附2,最后利用以=布列方程

即可求出加值，進而可得點。坐標.

【解答】解：設(shè)圓心為P,過點P作P&LA8于點E,/7」。。于點尸，則￡4=歐=學(xué)=4,FC=FD,

，E(2,0),

設(shè)P(2,次)，則F(0,in),

連接PC、PAf

在/?/△CPF4*,PC2=(3-m)2+22,

在R/ZkAPE中，PA2=m2+42,

VM=PC,

:.(3-m)2+22=m2+42,

(舍正)，

:.F(0,--),

2

.?.CF=DF=3-(-1)=^,

/.OD=OF+DF=-2+-2=4,

：,D(0,-4),

故答案為：(0,-4).

【點睛】本題考查垂徑定理，涉及到平面直角坐標系，勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用半徑相等列方程.

【變式4-3](2023春?湖北鄂州?九年級校聯(lián)考期末)如圖，在平面直角坐標系中，。0經(jīng)過點[0,10),直線

y=kx+2k—4與。0交于8、C兩點，則弦BC的最小值是()

A.6企B.10V3C.8V5D.以上都不對

【答案】A

【分析】易知直線y=〃％+2攵一4過定點0(-2,-4),運用勾股定理可求出0。，由。。經(jīng)過點(0,10),可求

出半徑。8=10,由于過網(wǎng)內(nèi)定點。的所有弦中，與。。垂直的弦最短，因此只需運用垂徑定理及勾股定理就

可解決問題.

【詳解】解:對于直線y=土"+2"-4,

當《=-2時，y--4,

故直線y=kx+2k-4恒經(jīng)過點(-2,-4),記為點D.

由于過圓內(nèi)定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，即當0D18C時，8C最短，

連接OB,如圖所示，

VD(-2,-4),

：?0D=/(-2)2+(-4)2=2瓜

;。。經(jīng)過點(0,10)，

???0B=10,

:?BD=>JOB2-OD2=J102-(2可=與瓜

?：OB1BC,

：.BC=2BD=8V5,

???弦8c的最小值是8^5.

【點睛】本題主要考宣了直線上點的坐標特征、垂徑定理、勾股定理等知識，發(fā)現(xiàn)直線恒經(jīng)過點(-2,-4)以

及運用“過圓內(nèi)定點0的所有弦中，與。。垂直的弦最短''這個經(jīng)驗是解決該題的關(guān)鍵.

【題型5利用垂徑定理求平行弦問題】

【例5】(2023?全國?九年級專題練習(xí))在半徑為10的O。中,弦48=12,弦列。=(6,且48|以，則4?與

之間的距離是

【答案】2或14

【分析】由于弦力8與CD的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論：①弦與CC在圓心同側(cè)；②弦力8

與CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可.

【詳解】解：①當弦48與CD在圓心同側(cè)時，如圖①，

圖①

過點。作0F1A8,垂足為人交CD于點E,連接040C,

VABHCD,

：?0E1CD,

'：AB=12,CD=16,

：,CE=8,AF=6,

VOA=0C=10,

???由勾股定理得：EO=V102-82=6,OF=V102-62=8,

：.EF=OF-0E=2；

②當弦力8與CD在圓心異側(cè)時，如圖,

過點。作。E_LCD于點E,反向延長。￡交于點凡連接040C,

同理E。=V102-82=6,OF=V102-62=8,

EF=OF+0E=14,

所以718與CD之間的距離是2或14.

故答案為：2或14.

【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解.

【變式5-1】（2023春?浙江杭州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABC。與圓心在A8上的。。交于點G,

B,F,E,GB=5,EF=4,那么AO=.

【答案】:

【分析】連接OF，過點。作OH_LER垂足為〃，根據(jù)垂徑定理，在AOHF中,勾股定理計算.

【詳解】如圖，連接。F,過點。作O“_LEF,垂足為“，

則EH=FH=^EF=2,

?：GB=5,

???OF=OBW，

在A。”產(chǎn)中，勾股定理，得

0修（y—22=

???四邊形ABCD是矩形，

，四邊形。4?！币彩蔷匦?，

???3吟

故答案為：|.

【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握兩個定理是解題的關(guān)健.

【變式5-2]（2023春?九年級課時練習(xí)）如圖，AB,CD是半徑為15的。O的兩條弦，AB=24,CD=18,

MN是直徑，AB_LMN于點E,CDJ_MN于點F,P為EF上任意一點，則PA+PC的最小值為.

【分析】由于A、B兩點關(guān)于MN對稱，因而PA+PC=PB+PC,即當B、C、P在一條直線上時，PA+PC

的值最小，即BC的值就是PA+PC的最小值.

【詳解】解：連接BC,OB,OC,作CH垂直于AB于H.

VAB=24,CD=18,MN是直徑，AB_LMN于點E,CDJ_MN于點F,

???BE=：AB=12,CF=2：D=9,

22

：,0E=>JOB2-BE2=9,OF=>/OC2-CF2=12,

，CH=OE+OF=9+12=21,

BH=BE+EH=BE+CF=12+9=21,

在RSBCH中，根據(jù)勾股定理得：BC=y/BH2+CH2=2172,

即PA+PC的最小值為21a.

故答案為：21V2.

【點睛】本題考查垂徑定理以及最短路徑問題，靈活根據(jù)垂徑定理確定最短路徑是解題關(guān)鍵.

【變式5-3](2023?全國?九年級專題練習(xí))如圖，A,B,C,。在O。上，力8〃8經(jīng)過圓心。的線段EF148

于點片與CD交于點E,已知半徑為5.

(1)若48=6,CD=8,求E尸的長;

(2)若CO=4乃，且EF=BF,求弦力B的長;

【答案】(1)7；(2)8

【分析】(1)連接AO和DO,由垂徑定理得=再由勾股定理求出OF的長，同理求出OE的

長，即可求出EF的長；

(2)連接BO和DO,先由垂徑定理和勾股定理求出O