45度角問題處理策略-構(gòu)造半角模型(教學(xué)設(shè)計(jì))-2024《幾何模型教學(xué)設(shè)計(jì)培優(yōu)專題》

“百師助學(xué)”課程第17講《45度角問題處理策略——構(gòu)造半角模型》教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容分析在初中幾何中，45°角是一個(gè)比較特殊的角，以45°角為載體的中考題層出不窮，構(gòu)造正方形半角模型(下文簡(jiǎn)稱半角模型)，是初中平面幾何中處理45°角的問題的常見基本構(gòu)圖之一。如何構(gòu)造半角模型，是一個(gè)比較難突破的點(diǎn)。本節(jié)課就利用幾個(gè)常見題型，探討如何來構(gòu)造半角模型，進(jìn)而利用半角模型常見結(jié)論來解決問題。二、教材以及學(xué)情分析這節(jié)課是初三復(fù)習(xí)階段的一個(gè)微專題，需要利用構(gòu)造正方形、平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等方式，構(gòu)造半角模型來解決部分有關(guān)45°角問題，是綜合性較強(qiáng)的一節(jié)課。學(xué)生已經(jīng)完整學(xué)習(xí)了圖形三大變換的規(guī)律及性質(zhì)、直角三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形全等相似的判定與性質(zhì)等有關(guān)內(nèi)容，已經(jīng)做好了學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識(shí)儲(chǔ)備。三、教學(xué)目標(biāo)1、讓學(xué)生能夠根據(jù)半角模型的典型特征，判斷是否能構(gòu)造半角模型解決問題；2、讓學(xué)生能夠根據(jù)題目特點(diǎn)，構(gòu)造出半角模型，并進(jìn)一步利用半角模型常用結(jié)論解決部分有關(guān)45°角的問題。四、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1、根據(jù)半角模型的典型特征，判斷是否能構(gòu)造半角模型解決問題；2、根據(jù)題目特點(diǎn)，構(gòu)造出半角模型，并進(jìn)一步利用半角模型常用結(jié)論解決部分有關(guān)45°角的問題。難點(diǎn)：根據(jù)題目特點(diǎn)，構(gòu)造出半角模型。五、前置學(xué)習(xí)（知識(shí)梳理）1、半角模型原理如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，∠DAE=12∠BAC，則可將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ACE處，使得AB和AC重合，連接EF，（如圖2），進(jìn)而可得△AED≌△AEF.圖1圖22、正方形內(nèi)半角模型的部分常用結(jié)論(1)如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接AE、AF、EF。利用半角模型研究原理（如圖4），則有以下結(jié)論成立：=1\*GB3①△AEG≌△AEF=2\*GB3②BE+DF=EF；=3\*GB3③∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠AFD；圖3圖4圖5進(jìn)一步可推出：如圖5，若AH⊥EF于點(diǎn)H，則=1\*GB3①△ABE≌△AHE，△ADF≌△AHF,，AH=AB=2\*GB3②點(diǎn)A、B、E、H四點(diǎn)共圓，點(diǎn)A、D、F、H四點(diǎn)共圓=3\*GB3③∠BAH=∠CEF，∠DAH=∠CFE設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)半角模型基本原理，理解半角模型常見結(jié)論的由來，為本節(jié)課學(xué)習(xí)打好理論基礎(chǔ)。六、學(xué)習(xí)過程模塊一：45度角問題一一、例題精講例題1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，則AF的長(zhǎng)為．【解答】解：如圖，在AD上取點(diǎn)M使得AM=AB=2，過點(diǎn)M作MN垂直BC于點(diǎn)N，與AF交于點(diǎn)G，連接EG.則由“半角模型常用結(jié)論”得EG=BE+MG.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=AE2-設(shè)EG＝x，則GN＝2﹣x，EG＝x+1，Rt△ENG中，由勾股定理得2-解得x=2∵∠FAD＝∠GAM，∠D＝∠AMG＝90°∴△ADF∽△AMG∴AD∴6∴DF=2在Rt△ADF中，由勾股定理得AF=AD2+解析小結(jié)：當(dāng)45°的角是從某一直角頂點(diǎn)發(fā)射出來時(shí)，可以考慮構(gòu)造半角模型，并利用半角模型常用結(jié)論快速解決問題。例題2．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OCNM為矩形，如圖，M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），已知m，n滿足．S，G，R，H分別為OC，OM，MN，NC上一點(diǎn)，SR，HG交于點(diǎn)D．若∠SDG＝135°，，則RS＝?！窘獯稹拷猓骸?，又∵≥0，|5﹣m|≥0，∴n﹣5＝0，5﹣m＝0，∴n＝m＝5．如圖，過C作CE∥SR，在x軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)E′，使OE′＝EN，得?CSRE，且△CEN≌△CE′O，則CE＝SR，過C作CF∥GH交OM于F，連接FE，得?CFGH，則CF＝GH＝，∵∠SDG＝135°，∴∠SDH＝180°﹣135°＝45°，∴∠FCE＝∠SDH＝45°，∴∠NCE+∠OCF＝45°，∵△CEN≌△CE′O，∴∠E′CO＝∠ECN，CE＝CE′，∴∠E′CF＝∠E′CO+∠OCF＝45°，∴∠E′CF＝∠FCE，∵CF＝CF，∴△E′CF≌△ECF（SAS），∴E′F＝EF在Rt△COF中，OC＝5，F(xiàn)C＝，由勾股定理得：OF＝＝，∴FM＝5﹣＝，設(shè)EN＝x，則EM＝5﹣x，F(xiàn)E＝E′F＝x+，則（x+）2＝（）2+（5﹣x）2，解得：x＝，∴EN＝，由勾股定理得：CE＝＝＝，∴SR＝CE＝．故答案為．解析小結(jié)：45°的角即使不是從直角頂點(diǎn)發(fā)出，而是在矩形或者正方形內(nèi)由交叉的線段構(gòu)成時(shí)，也可以考慮用平移的方法構(gòu)造半角模型解決問題。二、跟進(jìn)練習(xí)1．（2021.宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長(zhǎng)是（）A．2 B． C． D．3【解答】解：如圖，延長(zhǎng)EH交CF于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作MN⊥CD于N，∵將矩形紙片沿CE、CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，在△CPH和△CPN中，，∴△CPH≌△CPN（AAS），∴NP＝PH，CH＝CN＝4，∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，∴四邊形BCNM是矩形，又∵CN＝CB＝4，∴四邊形BCNM是正方形，∴MN＝BM＝4，∴EM＝2，∵EP2＝EM2+PM2，∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，∴NP＝，∵tan∠DCF＝，∴，∴DF＝2，故選：A．2.如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，E、F、G分別是邊AB、CD、BC上的點(diǎn)，EF與AG相交于點(diǎn)O，且∠AOE＝45°，EF＝，線段AG的長(zhǎng)為．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH∥EF交CD于點(diǎn)H．∵AE∥FH，AH∥EF，∴四邊形AHFE是平行四邊形，∴AH＝EF＝，∵AD＝CD＝3，∠D＝90°，∴DH＝＝＝1，∴CH＝CD﹣DH＝3﹣1＝2，設(shè)BG＝x，則GH＝DH+BG＝1+x，CG＝3﹣x，∵∠HCG＝90°，∴22+（3﹣x）2＝（x+1）2，∴x＝，∴BG＝，∴AG＝＝＝．3．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，線段DM的長(zhǎng)為．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AB至P，使BP＝BN＝1，過P作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)AN交PQ于E，連接EM，則四邊形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，設(shè)DM＝x，則MQ＝4﹣x，∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PE＝BN＝，∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，由“半角模型常用結(jié)論”得：EM＝PE+DM＝+x，在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，解得：x＝2，即DM的長(zhǎng)是2．4.如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，AE＝CF＝1，O為EF的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)G、H分別在邊AD、BC上，EF與GH的交點(diǎn)P在O、F之間（與O、F不重合），且∠GPE＝45°，設(shè)AG＝m，求m的取值范圍．【解答】解：如圖1，點(diǎn)H與點(diǎn)C重合，作CK∥EF，交AB于點(diǎn)K，連結(jié)GK，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝5，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠BCD＝90°，∴EK∥CF，∴四邊形EKCF是平行四邊形，∴AE＝CF＝EK＝1，∴AK＝2，BK＝5﹣2＝3，圖1∵CB＝CD，∠GCK＝∠GPE＝45°＝∠BCD，∠BCD+∠A＝180°，∵AG＝m，∴DG＝5﹣m，∴由“半角模型常用結(jié)論”得GK＝BK+DG＝3+5﹣m＝8﹣m，由AK2+AG2＝GK2，得22+m2＝（8﹣m）2，解得m＝，∴m的最大值為；如圖2，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，則∠GOE＝45°，過點(diǎn)O作MN∥BC，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，則MN∥BC∥AD；過點(diǎn)O作OQ∥AB，交AD于點(diǎn)Q，則OQ∥AB∥CD，圖2∵OE＝OF，∴，∴AQ＝DQ＝AD＝，OM＝ON，∵∠AMN＝∠B＝90°，∠A＝∠D＝90°，∴四邊形AMND是矩形，∴AM＝DN，∴BM＝CN，∵∠EOM＝∠FON，OE＝OF，OM＝ON，∴△EOM≌△FON（SAS），∴EM＝FN，∴AM＝AE+EM＝CF+FN＝CN，∴AM＝BM＝AB＝，∵AQ＝AM，∠AQO＝∠D＝90°，∠A＝∠AMO＝90°，∴四邊形AMOQ是正方形，∴OM＝OQ，∠MOQ＝90°，∴∠GOE＝∠MOQ，∠A+∠MOQ＝180°，∵EM＝﹣1＝，GQ＝﹣m，∴由“半角模型常用結(jié)論”得EG＝EM+GQ＝+﹣m＝4﹣m，由AE2+AG2＝EG2，得12+m2＝（4﹣m）2，解得m＝，∴m的取值范圍是＜m≤．模塊二：45度角問題二例題精講例題1.如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E為CD上一點(diǎn)，且∠BAE＝45°．若CD＝4，則△ABE的面積為（）A． B． C． D．【解答】解：作AF⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于F，在CF的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得FG＝DE．∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，∴四邊形ADCF是矩形，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∴四邊形ADCF是正方形，∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADE＝90°，∴△AFG≌△ADE，∴AG＝AE，∠FAG＝∠DAE，∴∠FAG+∠FAB＝∠EAD+∠FAB＝45°＝∠BAE，∴△BAE≌△BAG，∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，設(shè)BC＝a，則AB＝4+a，BF＝4﹣a，在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，∴BC＝1，BF＝3，設(shè)BE＝b，則DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，∴BG＝BE＝，∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．例題2．如圖，△AEF中∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，求S△AEF．【解答】解：如圖，將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長(zhǎng)BE和DF相交于點(diǎn)C．∴AD＝AG＝AB，∠D＝∠AGF＝90°，∠B＝∠AGE＝90°，∠DAF＝∠GAF，∠BAE＝∠GAE，∵∠EAF＝45°＝∠FAG+∠GAE，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠DAB＝45°+45°＝90°，即∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∴四邊形ABCD是正方形．由折疊知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴BE＝EG＝3，DF＝FG＝2，∵EF＝5，設(shè)AG＝x，則AB＝BC＝CD＝AG＝x，CE＝CB﹣BE＝x﹣3，CF＝x﹣2．∵CE2+CF2＝EF2，∴（x﹣3）2+（x﹣2）2＝52．解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去）．∴AG＝6．∴△AEF的面積＝EF?AG＝×5×6＝15．解析小結(jié)：45度若沒有出現(xiàn)在矩形或者正方形中，我們可以通過輔助線將原正方形補(bǔ)充完整，構(gòu)造出半角模型，最后再根據(jù)半角模型常用的結(jié)論解決問題。跟進(jìn)練習(xí)1．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．CE的長(zhǎng)度為．【解答】解：過B作DA的垂線交DA的延長(zhǎng)線于M，M為垂足，延長(zhǎng)DM到G，使MG＝CE，連接BG，易知四邊形BCDM是正方形，則△BEC與△BGM中，，∴△BEC≌△BMG（SAS），∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，即∠ABE＝∠ABG＝45°，在△ABE與△ABG中，，∴△ABE≌△ABG（SAS），∴AG＝AE＝10，設(shè)CE＝x，則AM＝10﹣x，AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24＝0；解得：x1＝4，x2＝6．故CE的長(zhǎng)為4或6．2．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE翻折得△AHE，延長(zhǎng)EH交邊CD于點(diǎn)F，連接AF．求證：∠EAF＝45°．（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，0）且a，b滿足|a﹣4|+（b+6）2＝0，點(diǎn)C在y軸正半軸上，∠ACB＝45°．①a＝，b＝；②求點(diǎn)C的坐標(biāo)；【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，∵△ABE沿AE翻折得△AHE，∴AH＝AB，∠HAE＝∠BAE，∠AHF＝∠AHE＝∠B＝90°，∴AH＝AD，∠AHF＝∠D，∵AH＝AH，∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），∴∠DAF＝∠HAF，∵∠BAE+∠HAE+∠HAF+∠DAF＝90°，∴2∠HAE+2∠HAF＝90°，∴∠HAE+∠HAF＝45°，∴∠ACB＝45°；（2）解：①由題意得，，∴a＝4，b＝﹣6，②如圖1，分別作△BOC和△AOC的關(guān)于CB和AC的對(duì)稱△BDC和△AEC，∴∠D＝∠BOC＝90°，∠E＝∠AOC＝90°，CD＝OC＝CE，BD＝OB＝6，AE＝OA＝4，∠BCD＝∠BCO，∠ACE＝∠ACO，∵∠ACB＝45°，∴∠DCE＝90°，∴四邊形CEFD是矩形，∴矩形CDFE是正方形，∴∠F＝90°，∴BF2+AF2＝AB2，設(shè)DF＝EF＝x，則BF＝x﹣6，AF＝x﹣4，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x1＝12，x2＝﹣2（舍去），∴OC＝CD＝DF＝12，∴C（0，12）.模塊三：隱含45度角問題一、例題精講例題1如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，AE=1．連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點(diǎn)G，則CG的長(zhǎng)為．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)EF與CD交于點(diǎn)H，連接BH；延長(zhǎng)BF，與AD交于點(diǎn)M，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N由折疊可知，AB=FB=3，AE=FE=1，∠BAE＝∠BFE=90°，∴DE=3又∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝BF＝3，∠ABC=∠BCH=90°，由勾股定理得，AC=3又∵BH為公共邊∴Rt△BFH≌Rt△BCH（HL），∴CH＝FH設(shè)CH＝FH＝x，∴HD＝3﹣x，EH＝1+x，∴在Rt△DEH中，22解得x＝32，即CH＝FH＝32，在Rt△NHF和Rt△EHD中，∵FH=DH=32，∠NHF＝∠EHD，∠NFH＝∠EDH=90∴△NHF≌△EHD∴NH=EH=52，CN=CH+NH=∵CN∥AB∴∠N＝∠GBA，∠NCG＝∠BAG∴△NCG∽△BAG∴CGAG=∴CG=47AC解析小結(jié)：正方形向內(nèi)折疊的時(shí)候，往往會(huì)隱含45度的條件，常?？梢詷?gòu)造半角模型解決問題。例題2如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上且EF⊥AB，AE＝2EB．將一個(gè)量角器擺放在矩形中，使它的0°線MN與EF重合，半圓與BC相切，現(xiàn)將該量角器繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖2所示），使得它的半圓與EF交于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作GH⊥MF，分別交邊AE，AD于G，H，若＝，則的值為?！窘獯稹拷猓喝鐖D1，連O與切點(diǎn)H，OH⊥BC，設(shè)半徑為r，EF＝BE＝2r，∵AE＝2EB，∴AE＝2r，AB＝3r，如圖2，連接FG，F(xiàn)H，∵EF＝MF＝DF＝2r，又∵FG＝FG，∴Rt△EFG≌Rt△MFG（HL），同理，Rt△DFH≌Rt△MFH（HL），∴MG＝EG，MH＝DH，設(shè)MG＝EG＝x，∵＝，∴MH＝3x＝HD，AG＝2r﹣x，AH＝2r﹣3x，∴（2r﹣x）2+（2r﹣3x）2＝（4x）2，解得r＝x或r＝x（舍去），連MP，MF是直徑，∴∠MPF＝90°，∵∠AGH+∠MGE＝180°，∠MFE+∠MGE＝180°，∴∠AGH＝∠MFE，∴＝＝＝，解析小結(jié)：45度有時(shí)候在題目中并沒有直接給出，往往是需要我們根據(jù)圖形的特性去判斷，一旦確定出現(xiàn)了45度時(shí)，半角模型常常就已經(jīng)構(gòu)造出來了，就可以借助此模型的有關(guān)結(jié)論快速求解。二、跟進(jìn)練習(xí)1.如圖，折疊邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分別延長(zhǎng)ME、DE交AB于點(diǎn)F、G，若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則FG＝cm．【解答】解：如圖，連接DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∵點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，∴CM＝BM＝BC＝2cm，由折疊得：DE＝CD＝4cm，EM＝CM＝2cm，∠DEM＝∠C＝90°，∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE，∴∠A＝∠DEF，在Rt△DAF和Rt△DEF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），∴AF＝EF，設(shè)AF＝xcm，則EF＝xcm，∴BF＝（4﹣x）cm，F(xiàn)M＝（x+2）cm，在Rt△BFM中，BF2+BM2＝FM2，即（4﹣x）2+22＝（x+2）2，解得：x＝，∴AF＝EF＝cm，BF＝4﹣＝cm，F(xiàn)M＝+2＝cm，∵∠FEG＝∠DEM＝90°，∴∠FEG＝∠B＝90°，∵∠EFG＝∠BFM，∴△FGE∽△FMB，∴＝，即＝，∴FG＝cm，故答案為：．2．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E為BC邊中點(diǎn)，沿直線DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)G，連接BF，則△BEF的面積為．【解答】解：連接GD，如圖所示，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，根據(jù)折疊可知DC＝DF，∠C＝∠DFE＝90°，∴AD＝DF，∠A＝∠DFG＝90°，又GD＝GD，∴△AGD≌△FGD（HL），∴AG＝GF，設(shè)AG＝GF＝x，則BG＝6﹣x，∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E為BC邊中點(diǎn)，∴BE＝EC＝EF＝3，在Rt△GBE中，GE＝EF+FG＝3+x，BE＝3，∴GE2＝BE2+BG2，即（3+x）2＝（6﹣x）2+32，解得：x＝2，∴GB＝6﹣2＝4，GE＝2+3＝5，∴，故答案為：．3．如圖1，已知一個(gè)量角器的直徑MN與正方形ABCD的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，量角器的半圓弧與邊BC交于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作GH⊥MN，交邊AB，AD于G，H．在量角器繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，若的度數(shù)為60°，則的值為．【解答】解：如圖1，連接CH，CG，在Rt△CGM和Rt△CGB中，，∴Rt△CGM≌Rt△CGB（HL），∴GM＝BG，在Rt△CHM和Rt△CHD中，，∴Rt△CHM≌Rt△CHD（HL），∴MH＝DH，∠DCH＝∠MCH，∵的度數(shù)為60°，∴∠MCP＝30°，∴∠MCD＝60°，∴∠DCH＝∠MCH＝30°，∴CD＝DH，設(shè)HD＝MH＝x，則CD＝x＝AB，∴AH＝x﹣x，∵AG2+AH2＝GH2，∴（x﹣GM）2+（x﹣x）2＝（x+GM