2025年高考數(shù)學模擬檢測卷（文科專用）-數(shù)列極限與無窮級數(shù)應用試題

2025年高考數(shù)學模擬檢測卷（文科專用）——數(shù)列極限與無窮級數(shù)應用試題一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1，若a1=1，則數(shù)列{an}的通項公式為（）A.an=2n-1B.an=2nC.an=2n-2D.an=2n+12.設數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2，則數(shù)列{an}的前n項和為（）A.3n^2-nB.3n^2+2nC.3n^2-2nD.3n^2+n二、填空題要求：將答案填在題中的橫線上。3.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1，若a1=1，則lim(n→∞)an=______。4.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n^2+2n，則數(shù)列{an}的前n項和為______。三、解答題要求：寫出解答過程，解答過程要完整。5.（1）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1，若a1=1，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列。（2）已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1，求證：數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列。6.（1）已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n^2+3n，求證：數(shù)列{an}的前n項和為Sn=______。（2）已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3^n-2^n，求證：數(shù)列{an}的前n項和為Sn=______。7.（1）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1，若a1=1，求證：數(shù)列{an}的極限為1。（2）已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1，求證：數(shù)列{an}的極限為0。四、證明題要求：證明下列各題中的結(jié)論。8.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3^n-2^n，證明數(shù)列{an}的極限不存在。9.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1，若a1=1，證明數(shù)列{an}的極限為1。五、計算題要求：計算下列各題中的值。10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1，若a1=1，求lim(n→∞)an。11.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1，求lim(n→∞)an。六、應用題要求：根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)解決實際問題。12.某商品的價格每年以5%的速率增長，若第一年的價格為100元，求第n年的價格。13.某人每年存入銀行1000元，銀行年利率為2%，求n年后該人銀行賬戶的總額。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.an=2n-1解析：由an=Sn-Sn-1，得an=an-1+an，即an=2an-1。因為a1=1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，通項公式為an=2n-1。2.A.3n^2-n解析：數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2，則前n項和為Sn=1+4+7+...+(3n-2)。利用等差數(shù)列求和公式，得Sn=n/2[2a1+(n-1)d]=n/2[2+(n-1)3]=3n^2-n。二、填空題3.1解析：由an=Sn-Sn-1，得an=Sn-Sn-1=1-S0=1-0=1。因此，lim(n→∞)an=1。4.n(n+1)解析：數(shù)列{an}的通項公式為an=n^2+2n，則前n項和為Sn=1^2+2×1+3^2+2×3+...+n^2+2n。將Sn與2Sn相減，得-Sn=2+2+...+2-n^2=2n-n^2，所以Sn=n(n+1)。三、解答題5.（1）證明：由an=Sn-Sn-1，得an=an-1+an，即an=2an-1。因為a1=1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，通項公式為an=2n-1。（2）證明：數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1，對于任意n≥1，有an+1-an=2^(n+1)-1-2^n+1=2^n>0。因此，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列。6.（1）證明：數(shù)列{an}的通項公式為an=n^2+3n，則前n項和為Sn=1^2+3×1+2^2+3×2+...+n^2+3n。將Sn與3Sn相減，得2Sn=3+3+...+3+3n-n^2=3n+n^2，所以Sn=n(n+1)。（2）證明：數(shù)列{an}的通項公式為an=3^n-2^n，則前n項和為Sn=3^1-2^1+3^2-2^2+...+3^n-2^n。將Sn與2Sn相減，得-Sn=2-2^2-2^3-...-2^n-3^n=2(1-2^n)/(1-2)-3^n=-2(1-2^n)-3^n。因此，Sn=2^n-1-3^n。7.（1）證明：由an=Sn-Sn-1，得an=an-1+an，即an=2an-1。因為a1=1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，通項公式為an=2n-1。因此，lim(n→∞)an=lim(n→∞)2n-1=∞。（2）證明：數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1，對于任意n≥1，有an+1-an=2^(n+1)-1-2^n+1=2^n>0。因此，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列。所以，lim(n→∞)an=lim(n→∞)2^n-1=∞。四、證明題8.證明：數(shù)列{an}的通項公式為an=3^n-2^n，假設數(shù)列{an}的極限存在，設為L。則lim(n→∞)an=lim(n→∞)(3^n-2^n)=L。但是，當n→∞時，3^n和2^n都趨于無窮大，所以L不存在。9.證明：由an=Sn-Sn-1，得an=an-1+an，即an=2an-1。因為a1=1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，通項公式為an=2n-1。因此，lim(n→∞)an=lim(n→∞)2n-1=∞。五、計算題10.解：由an=Sn-Sn-1，得an=an-1+an，即an=2an-1。因為a1=1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，通項公式為an=2n-1。因此，lim(n→∞)an=lim(n→∞)2n-1=∞。11.解：數(shù)列{an}的通項公式為an=2^n-1，對于任意n≥1，有an+1-an=2^(n+1)-1-2^n+1=2^n>0。因此，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列。所以，lim(n→∞)an=lim(n→∞)2^n-1=∞。六、應用題12.解：設第n年的價格為Pn，則Pn