五年級(jí)奧數(shù)計(jì)數(shù)綜合概率（ABC級(jí)）學(xué)生版

等閡假第胸

一、概率的古典定義

如果一個(gè)試驗(yàn)滿足兩條：⑴試驗(yàn)只有有限個(gè)基本結(jié)果；

⑵試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果出現(xiàn)的可能性是一樣的.

這樣的試驗(yàn)，稱為古典試驗(yàn).對(duì)于古典試驗(yàn)中的事件/,它的概率定義為：〃表示該試

驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果的總數(shù)目，，〃表示事件力包含的試驗(yàn)基本結(jié)果數(shù).小學(xué)奧數(shù)中所涉及的概率

都屬于占典概率.其中的〃，和〃需要我們用枚舉、加乘原理、排列組合等力法求出.

二、對(duì)立事件

對(duì)立事件的含義：兩個(gè)事件在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，那么這兩個(gè)事件叫作對(duì)立事件

如果事件力和8為對(duì)立事件（互斥事件），那么4或8中之一發(fā)生的概率等于事件力發(fā)生的概率與事

件8發(fā)生的概率之和，為1,即：P（/l）+P伊）=1.

三、相互獨(dú)立事件

事件/是否發(fā)生對(duì)事件后發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.

如果事件力和8為獨(dú)立事件，那么4和8都發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率

之積,即：P（A-B）=P（A）P（B）.

危初題需圖

【例1】約翰與湯姆擲便幣，約翰擲兩次，湯姆擲兩次，約翰擲兩次......這樣輪流擲下去.若約翰

連續(xù)兩次擲得的結(jié)果相同，則記1分，否則記0分.若湯姆連續(xù)兩次擲得的結(jié)果中至少有1次

硬幣的正面向上，則記1分，否則記0分.誰(shuí)先記滿10分誰(shuí)就贏.嬴的可能性較大

（請(qǐng)?zhí)顪坊蚣s翰）.

【鞏固】一個(gè)小方木塊的六個(gè)面上分別寫(xiě)有數(shù)字2、3、5、6、7、9,小光、小亮兩人隨意往桌面上扔

放這個(gè)木塊.規(guī)定：當(dāng)小光扔時(shí)，如果朝上的一面寫(xiě)的是偶數(shù)，得1分.當(dāng)小亮扔時(shí)，如果朝上

的一面寫(xiě)的是奇數(shù)，得1分.每人扔100次，得分高的可能性比較大.

【例2】一個(gè)骰子六個(gè)面上的數(shù)字分別為0,1,2,3,4,5,現(xiàn)在來(lái)擲這個(gè)骰子，把每次擲出的點(diǎn)

數(shù)依次求和，當(dāng)總點(diǎn)數(shù)超過(guò)12時(shí)就停止不再擲了，這種擲法最有可能出現(xiàn)的總點(diǎn)數(shù)是.

【鞏固】有兩個(gè)骰子A和B,骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6擲出的兩枚骰子朝上的數(shù)字之和不是12

的可能性是。

【例3］從小紅家門(mén)口的車站到學(xué)校，有1路、9路兩種公共汽車可乘，它們都是每隔10分中開(kāi)來(lái)一輛.小

紅到車站后，只要看見(jiàn)1路或9路，馬上就上車，據(jù)有人觀察發(fā)現(xiàn)：總有1路車過(guò)去以后3分鐘

就來(lái)9路車，而9路車過(guò)去以后7分鐘才來(lái)1路車.小紅乘坐路車的可能性較大.

【鞏固】同學(xué)等車上學(xué)，可坐8路或23路，8路10分一班，23路車15分鐘，則同學(xué)等車不超過(guò)8分鐘

的概率是。

［例4］有黑桃、紅桃、方塊、草花這4種花色的撲克牌各2張，從這8張牌中任意取出2張。請(qǐng)問(wèn)；

這2張撲克牌花色相同的概率是多少？

【鞏固】小悅從1、2、3、4、5這5個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，冬冬從2、3、4、5、6、7這6個(gè)自然數(shù)中

任選一個(gè)數(shù)。選出的兩個(gè)數(shù)中，恰好有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的概率是多少

【例5］媽媽去家樂(lè)福購(gòu)物，正好碰上了橘子、香蕉、葡循和榴蓮大降價(jià)。于是她決定從這4中水果中

任選一種買(mǎi)回家。爸爸下班時(shí)路過(guò)集貿(mào)市場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)有蘋(píng)果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售。他也

決定任選一種買(mǎi)回家。請(qǐng)問(wèn)：他們買(mǎi)了不同的水果的概率是多少？

【鞏固】在標(biāo)準(zhǔn)英文字典中，由2個(gè)不同字母組成的單詞一共有55個(gè).如果從26個(gè)字母中任取2個(gè)不同

的排列起來(lái)，那么恰好能拍成一個(gè)單詞的概率是多少？

［例6］一只普通的骰子有6個(gè)面，分別寫(xiě)有1、2、3、4、5、6。擲出這個(gè)骰子，它的任何一面朝上的

概率都是六分之一＜假設(shè)你將某一個(gè)骰子連續(xù)投擲了9次，每次的結(jié)果都是1點(diǎn)朝上。那么第

十次投擲后，朝上的面上的點(diǎn)數(shù)恰好是奇數(shù)的概率是多少？

【鞏固】甲、乙、丙、丁四人玩撲克，發(fā)牌以后沒(méi)人拿到13張牌（整副牌共52張）。結(jié)果甲、乙兩人共

拿了11張黑桃。請(qǐng)問(wèn)：丙、丁兩人恰好每人拿到1張黑桃的概率是多少？有一人拿到2張黑桃，

另一人沒(méi)有拿到黑桃的概率又是多少？

［例7］一輛肇事車輛搔人后逃離現(xiàn)場(chǎng)，警察到現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查取證，目擊者只能記得車牌是由2、3、5、7、

9五個(gè)數(shù)字組成，卻把它們的排列順序忘記了，警察在調(diào)查過(guò)程中，如果在電腦上輸入一個(gè)由

這五個(gè)數(shù)字構(gòu)成的車牌號(hào)，那么輸入的車牌號(hào)正好是肇事車輛車牌號(hào)的可能性是.

【鞏固】如圖所示，將球放在頂部，讓它們從頂部沿軌道落下，球落到底部的從左至右的概率依次是

［例8］一個(gè)班有女生25人男生27人，任意抽選兩名同學(xué)，恰好都是女生的概率是幾分之幾？

【鞏固】從6名學(xué)生中選4人參加知識(shí)競(jìng)賽，其中甲被選中的概率為.

【例9】一張圓桌旁有四個(gè)座位，4、B、C、。四人隨機(jī)坐到四個(gè)座位上，求力與3不相鄰而坐的概

率.

【鞏固】從裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球的口袋中任意摸出兩球，全是白球的概率.

【例10］在某次的考試中，甲、乙、丙三人優(yōu)秀（互不影響）的概率為一，考試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)幾

個(gè)人優(yōu)秀？

【鞏固】在某次的考試中，甲、乙兩人優(yōu)秀（互不影響）的概率為，，考試結(jié)束后，只有乙優(yōu)秀的概率為

多少？

【例11】4、3、。、。、E、E六人抽簽推選代表，公證人一共制作了六枚外表一模一樣的簽，其中

只有一枚刻著“中“，六人按照字母順序先后抽取簽，抽完不放回，誰(shuí)抽到“中”字，即被推選為代

表，那么這六人被抽中的概率分別為多少？

1鞏固】如果例題中每個(gè)人抽完都放回，任意一個(gè)人如果抽中，則后邊的人不再抽取，那么每個(gè)人抽中的

概率為多少？

【例12】某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率為40%,如果該射手在百步之外連射三箭，三箭全

部射中靶心的概率為多少？有一箭射中靶心的概率為多少？有兩箭射中靶心的概率為多少？

【鞏固】設(shè)每門(mén)高射炮擊中敵機(jī)的概率為（）.6,今欲以99%的把握擊中敵機(jī)，則至少應(yīng)配備幾門(mén)高射炮同時(shí)

射擊？

“瑪邕您蒯

【隨練1】氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降雨概率是80%”.對(duì)此信息，下列說(shuō)法中正確的是.

①本巾明天將有XO%的地區(qū)降水.②本巾明天將有80%的時(shí)間降水.

③明天肯定下雨.④明天降水的可能性比較大.

【隨練2】冬冬與阿奇做游戲：由冬冬拋出3枚硬幣，如果拋出的結(jié)果中，有2枚或2枚以上的硬幣正

面朝上，冬冬就獲勝；否則阿奇獲勝。請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)游戲公平嗎？

【隨練3】分別先后擲2次骰子，點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為多少?點(diǎn)數(shù)之積為6的概率為多少？

I

【作業(yè)1】在某個(gè)池塘中隨機(jī)捕撈100條魚(yú)，并給魚(yú)作上標(biāo)記后放回池塘中，過(guò)?段時(shí)間后又再次隨機(jī)

捕撈200尾，發(fā)現(xiàn)其中有25條魚(yú)是被作過(guò)標(biāo)記的，如果兩次捕撈之間魚(yú)的數(shù)量沒(méi)有增加或減少,

那么請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)池塘中一共有魚(yú)多少尾？

【作業(yè)2】用血清甲胎蛋白法診斷肝癌：如果患者患有肝癌，那么診斷出肝癌的概率為；如果患者沒(méi)有

患肝癌，那么診斷出不是肝癌的概率為。假設(shè)人群中肝癌患病率為。現(xiàn)在李強(qiáng)在體檢中被診斷

為患有肝癌，請(qǐng)問(wèn)：他實(shí)際患有肝癌的概率是多少？（結(jié)果保留3位小數(shù)）

【作業(yè)3】某小學(xué)六年級(jí)有6個(gè)班，每個(gè)班各有40名學(xué)生，現(xiàn)要在六年級(jí)的6個(gè)班中隨機(jī)抽取2個(gè)班，

參加電視臺(tái)的現(xiàn)場(chǎng)娛樂(lè)活動(dòng)，活動(dòng)中有1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，將抽取4名幸運(yùn)觀眾，那么六年級(jí)學(xué)生小

寶成為幸運(yùn)觀眾的概率為多少？

【作業(yè)4】甲、乙兩個(gè)學(xué)生各從0?9這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)挑選