2025屆山東省部分學(xué)校高三第六次學(xué)業(yè)水平聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省部分學(xué)校2025屆高三第六次學(xué)業(yè)水平聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】由，所以.故選：C.2.已知集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】有或，所以，，由有，所以，即.故選：A.3.已知的面積為4，在平面內(nèi)，將繞點旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)的，則的面積為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】如圖所示，將在平面內(nèi)，將繞點旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)的，可得，且與的高相等，所以.故選：B.4.已知圓與圓有條公切線，圓覆蓋圓，，則圓面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)圓的方程有：，圓圓心，半徑，因為兩圓有條公切線，所以圓、相外切，所以兩圓圓心距，即，解得，因為圓覆蓋圓，，所以圓半徑的最小值為，所以圓面積的最小值為.故選：A5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D6.已知直線與雙曲線相交于，兩點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)由對稱性有，由，所以，所以，所以.故選：C.7.若方程的非整數(shù)根是函數(shù)的一個零點，則圖象的對稱中心為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由有，得或（舍去），所以，即，所以，所以，所以函數(shù)圖象的對稱中心為，，故選：B.8.若定義在上的函數(shù)，，，，可以作為一個三角形的三條邊長，則稱是上的“三角形函數(shù)”．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的“三角形函數(shù)”，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，，又，，故，由題意得，即，解得.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖是年月日國家統(tǒng)計局發(fā)布的年月到年月的各月累計營業(yè)收入與利潤總額同比增速的折線圖，則（）A.累計營業(yè)收入同比增速的方差大于累計利潤總額同比增速的方差B.累計利潤總額同比增速的極差為C.累計營業(yè)收入同比增速的眾數(shù)為D.累計利潤總額同比增速的分位數(shù)為【答案】BCD【解析】A.根據(jù)折線圖得，累計利潤總額同比增速的折線圖波動程度明顯大于累計營業(yè)收入同比增速的折線圖波動程度，故累計營業(yè)收入同比增速的方差小于累計利潤總額同比增速的方差，A錯誤.B.累計利潤總額同比增速的最大值為，最小值為，故極差為，B正確.C.觀察累計營業(yè)收入同比增速的數(shù)據(jù)，出現(xiàn)了次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故累計營業(yè)收入同比增速的眾數(shù)為，C正確.D.將累計利潤總額同比增速的數(shù)據(jù)從小到大排序為，∵，∴累計利潤總額同比增速的分位數(shù)為，D正確.故選：BCD.10.在棱長為的正方體中，為的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，下列說法正確的是（）A.平面平面B.若四面體的四個頂點均在球的表面上，則球的表面積為C.當(dāng)點在線段上運動時，異面直線與所成角的取值范圍是D.當(dāng)直線與直線所成的角是時，點的軌跡長度為【答案】ACD【解析】對于選項A，因為，又面，面，所以，又，面，所以，連接，同理可證，又，面，所以面，又面，所以平面平面，故選項A正確，對于選項B，如圖建立空間直角坐標系，因為正方體棱長為，則,設(shè)四面體的外接球球心，半徑為，由，得到，解得，則，則球的表面積為，所以選項B錯誤，對于選項C，因為點在線段上，設(shè)，因為，，，又，設(shè)異面直線與所成的角為，則，又，則，所以，又，所以，故選項C正確，對于選項D，易知，設(shè)，則，又，則，整理得到，其軌跡為平面上，以為圓心，為半徑的圓，又是側(cè)面內(nèi)的動點，所以點的軌跡長度為，所以選項D正確，故選：ACD11.已知互不相等的正實數(shù)，，，，是，，，的任意順序的一個排列，定義隨機變量，滿足則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】依題意，，，的全排列有種，因為隨機變量，滿足，所以當(dāng)或時，，；當(dāng)或時，，；當(dāng)或時，，；又當(dāng)或時，，，即滿足的排列有，，，，，，，共種；所以，故A正確，B錯誤；同理當(dāng)或時，，，滿足，即；當(dāng)或時，，，滿足，即；綜上可得，故C正確；因為當(dāng)時，當(dāng)時時，所以滿足，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則的值為______．【答案】【解析】由.故答案為：.13.“曼哈頓距離”是一種在幾何空間中用于衡量兩點之間距離的方式，如在維空間中，設(shè)點，，則“曼哈頓距離”表示為．若橢圓的左焦點為，上頂點為，直線交于另一點，則，兩點的“曼哈頓距離”______；若將在軸上方的部分沿軸翻折得到一個直二面角，則在空間直角坐標系中，______．【答案】①.②.【解析】根據(jù)題干，上頂點，根據(jù)直線的截距式方程可得直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y整理得：，解得或，當(dāng)時，（對應(yīng)點B），當(dāng)時，，所以，根據(jù)“曼哈頓距離”，即可求出，將在軸上方的部分沿軸翻折得到一個直二面角，則在空間直角坐標系中，得到，,故，故答案為：；14.已知函數(shù)，，當(dāng)時，取得最值，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，則在上的零點個數(shù)為______．【答案】4【解析】當(dāng)時，取得最值，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值，設(shè)的最小正周期為，則，解得，故，解得，又，故，又，所以，①，，②聯(lián)立①②得，，故，，則，故或0或或，解得或或或，故在上的零點個數(shù)為4.故答案為：4四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記數(shù)列的前項和為，已知，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）記，是否存在實數(shù)，使得有兩個解？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）由題意可知，數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，則，即，故的通項公式為（2），則.又的對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，故不存在實數(shù)，使得有兩個解.16.新高考模式的選科是按物理類與歷史類兩大塊組合進行，即物理與歷史必選一科，再從化學(xué)、生物、地理、政治四個學(xué)科中任選兩科，加上語文、數(shù)學(xué)、英語組成一種組合，簡稱“物理類”與“歷史類”．為了解選科組合是否與性別有關(guān)，某機構(gòu)隨機選取了100名學(xué)生，進行了問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：性別選科組合合計物理類歷史類男生40女生30合計已知在這100名學(xué)生中隨機抽取1人，抽到選物理類學(xué)生的概率為0.6．（1）完成表中數(shù)據(jù)，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷選科組合是否與性別有關(guān)；（2）從上述選物理類的學(xué)生中利用分層隨機抽樣的方法抽取6人，再從6人中隨機抽取4人調(diào)查其選物理類的原因．（?。┯帽硎具@4人中男生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）已知這4人中有女生的條件下，求男生、女生人數(shù)不相等的概率．附：，其中．0.10.050.0052.7063.8417.879解：（1）由題可得選物理類學(xué)生為，可得列聯(lián)表：性別選科組合合計物理類歷史類男生401050女生203050合計6040100零假設(shè)：：選科組合是否與性別無關(guān)，由列聯(lián)表可得，根據(jù)小概率值0.005的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為選科組合與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005；（2）（?。┪锢眍惸猩鷳?yīng)抽取人數(shù)為：人，物理類女生應(yīng)抽取人數(shù)為：人，所以隨機變量的可能性為：.所以,所以的分布列為：234，（ⅱ）令事件為“這4人中有女生”，令事件為“男生、女生人數(shù)不相等”，則有,所以,所以在有女生的條件下，男生、女生人數(shù)不相等的概率為.17.如圖，已知正方形與矩形所在平面互相垂直，，，點在線段上運動．（1）若平面，求的值；（2）求三棱錐的體積；（3）當(dāng)時，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）設(shè)，分別連接，因為正方形，所以為的中點，又因為平面，且平面，平面平面，所以，在矩形中，為的中點，可得為的中點，所以，當(dāng)平面時，則.（2）因為四邊形為矩形，可得，且，又因為平面平面，且平面，平面平面，所以平面，即到平面的距離為，因為，且平面，平面，所以平面，又因為點在線段上運動，所以到平面的距離等于到平面的距離為，即三棱錐的高為1因為正方形的邊長為，可得，所以三棱錐的體積.（3）由（2）知：平面，且，所以平面，以為原點，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因，則，，可得，解得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率為，上的點與其中一個焦點的距離的最小值為．（1）求的方程；（2）設(shè)直線與相交于不同的兩點，．（?。c關(guān)于原點的對稱點為，直線的斜率為，證明：為定值；（ⅱ）當(dāng)時，求的值．解：（1）依題意得，解得，所以橢圓的方程為；（2）（?。┯傻?因為直線與橢圓有兩個交點，所以，即（*），設(shè)，，,則，所以，故，因此為定值，（ⅱ）因此，化簡可得，即，解得，均滿足（*），故19.“拉格朗日中值定理”是法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在其著作《解析函數(shù)論》中給出的，其內(nèi)容為若函數(shù)滿足如下條件：①在區(qū)間上的圖象是連續(xù)的；②在區(qū)間上可導(dǎo)，則在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使得成立．已知函數(shù)．（1），且，若恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，是否存在區(qū)間，使？若存在，寫出證明過程；若不存在，說明理由；（3）當(dāng)時，設(shè)的兩個極值點為，，且，證明：．（1）解：由題意，對于任意，有，等價于.根據(jù)拉格朗日中值定理，存在使得.因此，要求對所有成立.整理得.設(shè)函數(shù)gx=-e在內(nèi),單調(diào)遞增，在內(nèi),單調(diào)遞減..故；（2）證明：當(dāng)時，函數(shù).驗證是否存在區(qū)間（）使得f(a)+f(b)2>fa+b方法一：不等式f(a)+f(b)2>fa+b由拉格朗日中值定理，可知存在，使得，因此只需保證f's>f'(t)由于函數(shù)，在時大于零，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,所以只需要即可，因此存在這樣的區(qū)間.方法二：f(a)+f(b)2>fa+b2等價于函數(shù)在區(qū)間當(dāng)（即）時，f'x'=ex-2>0，在為凸函數(shù)；當(dāng)為凹函數(shù).在凹區(qū)間（如）取，則；在凸區(qū)間（如）取，則f(a)+f(b)2>fa+b因此存在這樣的區(qū)間.（3）證明：由于，設(shè)，，令得.時，（單調(diào)遞減）；時，（單調(diào)遞增）.因此，處取得極小值：由于，且，所以.又因為和，所以有兩個解和，.因為,所以.由和，相減得：①,需要證明，即：，設(shè),需證明②.由①得：,，所以③,設(shè),令,,在時q'x>0,單調(diào)遞增，所以,p'x>0,所以單調(diào)遞增，所以,所以對于恒成立，所以結(jié)合③可得整理得：，于是結(jié)合待證式子②，可知只要證明,即，構(gòu)造函數(shù),只需證明在的條件下成立.令,u'x=所以即在上單調(diào)遞增，，所以所以單調(diào)遞減，又因為，所以時成立.至此證明完畢.山東省部分學(xué)校2025屆高三第六次學(xué)業(yè)水平聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】由，所以.故選：C.2.已知集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】有或，所以，，由有，所以，即.故選：A.3.已知的面積為4，在平面內(nèi)，將繞點旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)的，則的面積為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】如圖所示，將在平面內(nèi)，將繞點旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)的，可得，且與的高相等，所以.故選：B.4.已知圓與圓有條公切線，圓覆蓋圓，，則圓面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)圓的方程有：，圓圓心，半徑，因為兩圓有條公切線，所以圓、相外切，所以兩圓圓心距，即，解得，因為圓覆蓋圓，，所以圓半徑的最小值為，所以圓面積的最小值為.故選：A5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D6.已知直線與雙曲線相交于，兩點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)由對稱性有，由，所以，所以，所以.故選：C.7.若方程的非整數(shù)根是函數(shù)的一個零點，則圖象的對稱中心為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由有，得或（舍去），所以，即，所以，所以，所以函數(shù)圖象的對稱中心為，，故選：B.8.若定義在上的函數(shù)，，，，可以作為一個三角形的三條邊長，則稱是上的“三角形函數(shù)”．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的“三角形函數(shù)”，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，，又，，故，由題意得，即，解得.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖是年月日國家統(tǒng)計局發(fā)布的年月到年月的各月累計營業(yè)收入與利潤總額同比增速的折線圖，則（）A.累計營業(yè)收入同比增速的方差大于累計利潤總額同比增速的方差B.累計利潤總額同比增速的極差為C.累計營業(yè)收入同比增速的眾數(shù)為D.累計利潤總額同比增速的分位數(shù)為【答案】BCD【解析】A.根據(jù)折線圖得，累計利潤總額同比增速的折線圖波動程度明顯大于累計營業(yè)收入同比增速的折線圖波動程度，故累計營業(yè)收入同比增速的方差小于累計利潤總額同比增速的方差，A錯誤.B.累計利潤總額同比增速的最大值為，最小值為，故極差為，B正確.C.觀察累計營業(yè)收入同比增速的數(shù)據(jù)，出現(xiàn)了次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故累計營業(yè)收入同比增速的眾數(shù)為，C正確.D.將累計利潤總額同比增速的數(shù)據(jù)從小到大排序為，∵，∴累計利潤總額同比增速的分位數(shù)為，D正確.故選：BCD.10.在棱長為的正方體中，為的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，下列說法正確的是（）A.平面平面B.若四面體的四個頂點均在球的表面上，則球的表面積為C.當(dāng)點在線段上運動時，異面直線與所成角的取值范圍是D.當(dāng)直線與直線所成的角是時，點的軌跡長度為【答案】ACD【解析】對于選項A，因為，又面，面，所以，又，面，所以，連接，同理可證，又，面，所以面，又面，所以平面平面，故選項A正確，對于選項B，如圖建立空間直角坐標系，因為正方體棱長為，則,設(shè)四面體的外接球球心，半徑為，由，得到，解得，則，則球的表面積為，所以選項B錯誤，對于選項C，因為點在線段上，設(shè)，因為，，，又，設(shè)異面直線與所成的角為，則，又，則，所以，又，所以，故選項C正確，對于選項D，易知，設(shè)，則，又，則，整理得到，其軌跡為平面上，以為圓心，為半徑的圓，又是側(cè)面內(nèi)的動點，所以點的軌跡長度為，所以選項D正確，故選：ACD11.已知互不相等的正實數(shù)，，，，是，，，的任意順序的一個排列，定義隨機變量，滿足則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】依題意，，，的全排列有種，因為隨機變量，滿足，所以當(dāng)或時，，；當(dāng)或時，，；當(dāng)或時，，；又當(dāng)或時，，，即滿足的排列有，，，，，，，共種；所以，故A正確，B錯誤；同理當(dāng)或時，，，滿足，即；當(dāng)或時，，，滿足，即；綜上可得，故C正確；因為當(dāng)時，當(dāng)時時，所以滿足，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則的值為______．【答案】【解析】由.故答案為：.13.“曼哈頓距離”是一種在幾何空間中用于衡量兩點之間距離的方式，如在維空間中，設(shè)點，，則“曼哈頓距離”表示為．若橢圓的左焦點為，上頂點為，直線交于另一點，則，兩點的“曼哈頓距離”______；若將在軸上方的部分沿軸翻折得到一個直二面角，則在空間直角坐標系中，______．【答案】①.②.【解析】根據(jù)題干，上頂點，根據(jù)直線的截距式方程可得直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y整理得：，解得或，當(dāng)時，（對應(yīng)點B），當(dāng)時，，所以，根據(jù)“曼哈頓距離”，即可求出，將在軸上方的部分沿軸翻折得到一個直二面角，則在空間直角坐標系中，得到，,故，故答案為：；14.已知函數(shù)，，當(dāng)時，取得最值，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，則在上的零點個數(shù)為______．【答案】4【解析】當(dāng)時，取得最值，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值，設(shè)的最小正周期為，則，解得，故，解得，又，故，又，所以，①，，②聯(lián)立①②得，，故，，則，故或0或或，解得或或或，故在上的零點個數(shù)為4.故答案為：4四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記數(shù)列的前項和為，已知，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）記，是否存在實數(shù)，使得有兩個解？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）由題意可知，數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，則，即，故的通項公式為（2），則.又的對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，故不存在實數(shù)，使得有兩個解.16.新高考模式的選科是按物理類與歷史類兩大塊組合進行，即物理與歷史必選一科，再從化學(xué)、生物、地理、政治四個學(xué)科中任選兩科，加上語文、數(shù)學(xué)、英語組成一種組合，簡稱“物理類”與“歷史類”．為了解選科組合是否與性別有關(guān)，某機構(gòu)隨機選取了100名學(xué)生，進行了問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：性別選科組合合計物理類歷史類男生40女生30合計已知在這100名學(xué)生中隨機抽取1人，抽到選物理類學(xué)生的概率為0.6．（1）完成表中數(shù)據(jù)，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷選科組合是否與性別有關(guān)；（2）從上述選物理類的學(xué)生中利用分層隨機抽樣的方法抽取6人，再從6人中隨機抽取4人調(diào)查其選物理類的原因．（?。┯帽硎具@4人中男生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）已知這4人中有女生的條件下，求男生、女生人數(shù)不相等的概率．附：，其中．0.10.050.0052.7063.8417.879解：（1）由題可得選物理類學(xué)生為，可得列聯(lián)表：性別選科組合合計物理類歷史類男生401050女生203050合計6040100零假設(shè)：：選科組合是否與性別無關(guān)，由列聯(lián)表可得，根據(jù)小概率值0.005的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為選科組合與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005；（2）（?。┪锢眍惸猩鷳?yīng)抽取人數(shù)為：人，物理類女生應(yīng)抽取人數(shù)為：人，所以隨機變量的可能性為：.所以,所以的分布列為：234，（ⅱ）令事件為“這4人中有女生”，令事件為“男生、女生人數(shù)不相等”，則有,所以,所以在有女生的條件下，男生、女生人數(shù)不相等的概率為.17.如圖，已知正方形與矩形所在平面互相垂直，，，點在線段上運動．（1）若平面，求的值；（2）求三棱錐的體積；（3）當(dāng)時，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）設(shè)，分別連接，因為正方形，所以為的中點，又因為平面，且平面，平面平面，所以，在矩形中，為的中點，可得為的中點，所以，當(dāng)平面時，則.（2）因為四邊形為矩形，可得，且，又因為平面平面，且平面，平面平面，所以平面，即到平面的距離為，因為，且平面，平面，所以平面，又因為點在線段上運動，所以到平面的距離等于到平面的距離為，即三棱錐的高為1因為正方形的邊長為，可得，所以三棱錐的體積.（3）由（2）知：平面，且，所以平面，以為原點，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因，則，，可得，解得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率為