2025屆內(nèi)蒙古赤峰市高三下學(xué)期3·20模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1內(nèi)蒙古赤峰市2025屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則的值為（）A.6 B. C.13 D.【答案】C【解析】由題意，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則.故選：C.2.已知集合，其中表示不超過的最大整數(shù)，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，，，則.故選：D.3.已知向量和滿足與的夾角為，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由題意，.故選：D.4.已知銳角滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，①，則，又，所以，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以②，由①和②聯(lián)立可解得，所以.故選：B.5.在平面內(nèi)，兩定點(diǎn)、之間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，由可得，整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，如下圖所示：所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，因此，點(diǎn)軌跡的長度為.故選：A.6.某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第一天去兩個(gè)餐廳的概率分別是和，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為，則王同學(xué)第二天去餐廳的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，設(shè)王同學(xué)第一天去餐廳為事件，第二天去餐廳為事件，第一天去餐廳為事件，第二天去餐廳為事件，則，，則根據(jù)全概率公式，.故選：C.7.如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓面，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓的半徑為，橢圓方程為，由題意，截面橢圓的半短軸長等于圓柱的底面半徑，即，因?yàn)?，，所以，在中，，，所以，所以橢圓的半長軸長等于，即，所以，因此橢圓的離心率.故選：D.8.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：直線l是兩平面與的交線，則下列向量可以為直線l的方向向量的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由閱讀材料可知：平面的法向量可取，平面的法向量可取，設(shè)直線的方向向量，則，令，則，故選：B二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則（）A. B.是公差為2的等差數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】因?yàn)椋詳?shù)列為等差數(shù)列，且，則，又，則.故A選項(xiàng)正確；，則，即為公差的等差數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，故C選項(xiàng)正確；，則，故D正確.故選ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.是周期為的函數(shù)B.與函數(shù)是同一函數(shù)C.是的一條對(duì)稱軸D.在區(qū)間上的取值范圍是【答案】AD【解析】由題意，，故A正確；，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以不是的一條對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，則，即在區(qū)間上的取值范圍是，故D正確.故選：AD.11.數(shù)學(xué)里常研究一些形狀特殊的曲線，常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法.比如形狀酷似“星星”的曲線（如圖所示），則下列關(guān)于曲線的說法正確的有（）A.周長大于25B.共有4條對(duì)稱軸C.圍成的封閉圖形面積小于14D.圍成的封閉圖形內(nèi)能放入圓的最大半徑為1【答案】ABC【解析】對(duì)A：由題意，在第一象限曲線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，曲線在圓的下方，理由如下：因?yàn)?，可設(shè)，，則而（只有當(dāng)或時(shí)取“”）.所以（只有和時(shí)取“”）.故時(shí)，曲線在圓的下方.即第一象限曲線的長度大于圓周長的，即曲線的周長大于圓的周長，而，則A選項(xiàng)正確；對(duì)B：由曲線的方程為可知，因?yàn)?，，，代入方程，方程都不變，所以曲線關(guān)于軸，軸，直線和對(duì)稱，共有4條對(duì)稱軸，則選項(xiàng)B正確；對(duì)C：由A選項(xiàng)的推證可知：曲線圍成的封閉圖形的面積，則選項(xiàng)C正確；對(duì)D：第一象限曲線的方程為，所以，，（都是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.所以曲線上距離原點(diǎn)的最短距離為，因此圍成的封閉圖形內(nèi)最大能放入半徑為的圓，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.展開式的常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】60【解析】的常數(shù)項(xiàng)為,故答案為：13.銳角中，分別為角所對(duì)的邊，且，若，則周長的取值范圍是__________.【答案】【解析】由已知得，所以，解得，由正弦定理得，所以，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以銳角周長的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數(shù)在上的最大值比最小值大，則______.【答案】1【解析】，所以為奇函數(shù)，且在上的最大值比最小值大，所以在上最大值比最小值大.由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增.則，解得.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，因?yàn)?，所以，所以，解得（舍去）?（舍去）.綜上，故答案為：1四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.為了研究某市高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)抽取了200名高三年級(jí)學(xué)生，整理數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表，并畫出身高的頻率分布直方圖：性別身高合計(jì)低于不低于女20男50合計(jì)200（1）根據(jù)身高的頻率分布直方圖，求列聯(lián)表中的，的值；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“高三年級(jí)學(xué)生的性別”與“身高是否低于”有關(guān)聯(lián)？（3）將樣本頻率視為概率，在全市不低于的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，其中不低于的人數(shù)記為，求的期望.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由圖，低于學(xué)生有人，則不低于170cm的學(xué)生有人.從而，；（2）零假設(shè)為：性別與身高沒有關(guān)聯(lián)，計(jì)算可得根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，因此該市高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高是否低于170cm有關(guān)聯(lián)；（3）樣本中抽中不低于175cm的頻數(shù)為人樣本中抽中不低于175cm的頻率為將樣本頻率視為概率，在全市不低于170cm的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，其中不低于175cm的人數(shù)記為，則.16.已知函數(shù).（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，所以，在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不等正根，即有兩個(gè)不等正根，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，此時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，綜上，的取值范圍為.17已知數(shù)列中，.（1）若依次成等差數(shù)列，求；（2）若，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）解：，又依次成等差數(shù)列，所以，即，解得.（2）證明：因?yàn)?，且，所以是首?xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，可得，則，.18.如圖所示，三棱柱中，平面平面，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若平面與平面所成角的正切值為，求的值.（1）證明：方法一：由可得，，即，即.如圖：當(dāng)時(shí)，在中，，，，因?yàn)?，所以，又，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?又平面，所以.又在平行四邊形中，，，為中點(diǎn)，所以，，平面，所以平面.又平面，所以.方法二：（向量方法）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以過作于，則平面；連接，因?yàn)椋?在中，，，.所以，則，.，當(dāng)時(shí)，..所以.（2）解：如圖，由（1）得：兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立如圖所示坐標(biāo)系.平面中，，.，設(shè)平面的法向量為：，則,令，則；平面中，由（1）可知，，設(shè)，因?yàn)?，，所?，設(shè)平面的法向量為，則,令，則；由題意，設(shè)平面與平面所成角為，且，則.，解得.即平面與平面所成角的正切值為時(shí)，的值為.19.已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與曲線相切，且與直線分別交于點(diǎn).（i）證明：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；（ii）求的取值范圍.解：（1）為的垂直平分線上一點(diǎn)，則..點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且故點(diǎn)的軌跡方程為.（2）（i）設(shè)，雙曲線漸近線方程為①，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)且與相切的直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立由，且，故可得.由；..點(diǎn)為線段的中點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程是，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，此時(shí)直線即是雙曲線的切線，同時(shí)滿足點(diǎn)為線段的中點(diǎn).綜上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（ii）由（i）知，..當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).又，的取值范圍為.內(nèi)蒙古赤峰市2025屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則的值為（）A.6 B. C.13 D.【答案】C【解析】由題意，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則.故選：C.2.已知集合，其中表示不超過的最大整數(shù)，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，，，則.故選：D.3.已知向量和滿足與的夾角為，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由題意，.故選：D.4.已知銳角滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，①，則，又，所以，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以②，由①和②聯(lián)立可解得，所以.故選：B.5.在平面內(nèi)，兩定點(diǎn)、之間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，由可得，整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，如下圖所示：所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，因此，點(diǎn)軌跡的長度為.故選：A.6.某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第一天去兩個(gè)餐廳的概率分別是和，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為，則王同學(xué)第二天去餐廳的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，設(shè)王同學(xué)第一天去餐廳為事件，第二天去餐廳為事件，第一天去餐廳為事件，第二天去餐廳為事件，則，，則根據(jù)全概率公式，.故選：C.7.如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓面，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓的半徑為，橢圓方程為，由題意，截面橢圓的半短軸長等于圓柱的底面半徑，即，因?yàn)椋?，在中，，，所以，所以橢圓的半長軸長等于，即，所以，因此橢圓的離心率.故選：D.8.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：直線l是兩平面與的交線，則下列向量可以為直線l的方向向量的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由閱讀材料可知：平面的法向量可取，平面的法向量可取，設(shè)直線的方向向量，則，令，則，故選：B二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則（）A. B.是公差為2的等差數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】因?yàn)椋詳?shù)列為等差數(shù)列，且，則，又，則.故A選項(xiàng)正確；，則，即為公差的等差數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，故C選項(xiàng)正確；，則，故D正確.故選ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.是周期為的函數(shù)B.與函數(shù)是同一函數(shù)C.是的一條對(duì)稱軸D.在區(qū)間上的取值范圍是【答案】AD【解析】由題意，，故A正確；，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以不是的一條對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，則，即在區(qū)間上的取值范圍是，故D正確.故選：AD.11.數(shù)學(xué)里常研究一些形狀特殊的曲線，常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法.比如形狀酷似“星星”的曲線（如圖所示），則下列關(guān)于曲線的說法正確的有（）A.周長大于25B.共有4條對(duì)稱軸C.圍成的封閉圖形面積小于14D.圍成的封閉圖形內(nèi)能放入圓的最大半徑為1【答案】ABC【解析】對(duì)A：由題意，在第一象限曲線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，曲線在圓的下方，理由如下：因?yàn)?，可設(shè)，，則而（只有當(dāng)或時(shí)取“”）.所以（只有和時(shí)取“”）.故時(shí)，曲線在圓的下方.即第一象限曲線的長度大于圓周長的，即曲線的周長大于圓的周長，而，則A選項(xiàng)正確；對(duì)B：由曲線的方程為可知，因?yàn)?，，，代入方程，方程都不變，所以曲線關(guān)于軸，軸，直線和對(duì)稱，共有4條對(duì)稱軸，則選項(xiàng)B正確；對(duì)C：由A選項(xiàng)的推證可知：曲線圍成的封閉圖形的面積，則選項(xiàng)C正確；對(duì)D：第一象限曲線的方程為，所以，，（都是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.所以曲線上距離原點(diǎn)的最短距離為，因此圍成的封閉圖形內(nèi)最大能放入半徑為的圓，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.展開式的常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】60【解析】的常數(shù)項(xiàng)為,故答案為：13.銳角中，分別為角所對(duì)的邊，且，若，則周長的取值范圍是__________.【答案】【解析】由已知得，所以，解得，由正弦定理得，所以，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以銳角周長的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數(shù)在上的最大值比最小值大，則______.【答案】1【解析】，所以為奇函數(shù)，且在上的最大值比最小值大，所以在上最大值比最小值大.由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增.則，解得.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，因?yàn)?，所以，所以，解得（舍去）?（舍去）.綜上，故答案為：1四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.為了研究某市高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)抽取了200名高三年級(jí)學(xué)生，整理數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表，并畫出身高的頻率分布直方圖：性別身高合計(jì)低于不低于女20男50合計(jì)200（1）根據(jù)身高的頻率分布直方圖，求列聯(lián)表中的，的值；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“高三年級(jí)學(xué)生的性別”與“身高是否低于”有關(guān)聯(lián)？（3）將樣本頻率視為概率，在全市不低于的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，其中不低于的人數(shù)記為，求的期望.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由圖，低于學(xué)生有人，則不低于170cm的學(xué)生有人.從而，；（2）零假設(shè)為：性別與身高沒有關(guān)聯(lián)，計(jì)算可得根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，因此該市高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高是否低于170cm有關(guān)聯(lián)；（3）樣本中抽中不低于175cm的頻數(shù)為人樣本中抽中不低于175cm的頻率為將樣本頻率視為概率，在全市不低于170cm的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，其中不低于175cm的人數(shù)記為，則.16.已知函數(shù).（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，故，，所以，在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不等正根，即有兩個(gè)不等正根，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，此時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，綜上，的取值范圍為.17已知數(shù)列中，.（1）若依次成等差數(shù)列，求；（2）若，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）解：，又依次成等差數(shù)列，所以