2024八年級數(shù)學下冊專題突破第11講正方形中的幾個常用模型探究含解析新版浙教版

Page32第11講正方形中的幾個常用模型探究ABABCDHGEF如圖，正方形如圖，正方形ABCD中，E、F在其左右兩對邊上，G、H在其上下兩對邊上.若有EF⊥GH，則必有EF=GH.證明方法：構造全等；逆向應用：見“十字架”想直角三角形全等【例題】：如圖ABCD是一個正方形花園，E、F是它的兩個門，且DE＝CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關系？請證明你的猜想．【分析】由DE＝CF可得AE＝DF?△DAF≌△ABE，然后依據(jù)全等三角形的對應角相等可得出BE與AF的關系．如圖ABCD是一個正方形花園，E、F是它的兩個門，且DE＝CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關系？請證明你的猜想．【解答】解：BE＝AF，BE⊥AF；理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，DE＝CF，∴AE＝DF，又∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF∴BE＝AF，∠ABE＝∠FAD，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠FAD+∠AEB＝90°，∴BE⊥AF．故BE＝AF，BE⊥AF．【變式】去掉DE＝CF時，（1）若已知BE=AF，則BE⊥AF成立嗎？【解答】解：BE⊥AF，理由如下；理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=90°，AB=AD易證得：Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）∴∠ABE=∠DAF∵∠DAF＋∠BAF=90°∴∠ABE＋∠BAF=∠AGB=90°即BE⊥AF（2）若已知BE⊥AF，則BE=AF成立嗎？【解答】解：BE=AF，理由如下；理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=90°，AB=AD又∵BE⊥AF∴∠AGB=90°∴∠ABE＋∠BAF=90°∵∠DAF＋∠BAF=90°∴∠ABE=∠DAF∴△ABE≌△DAF（ASA）∴BE=AF【針對練習】1．（槐蔭區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為5，點E、F分別在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點G，點H為BF的中點，連接GH，則GH的長為（）A．2 B． C．4 D．【分析】依據(jù)題目中的條件，可以先證明△BAE和△ADF全等，然后即可得到∠ABE＝∠DAF，從而可以證明△BGF是直角三角形，再依據(jù)點H為BF的中點，可知GH是BF的一半，然后依據(jù)勾股定理可以求得BF的長，從而可以得到GH的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵點H為BF的中點，∴GH＝BF，又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°，∴CF＝3，∴BF＝＝＝，∴GH＝，故選：B．2．（灞橋區(qū)校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，點E、點F分別在AD、CD上，且AE＝DF，若四邊形OEDF的面積是1，OA的長為1，則正方形的邊長AB為（）A．1 B．2 C． D．2【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABE＝∠DAF，求得∠AOB＝90°，依據(jù)三角形的面積公式得到OA＝1，由勾股定理即可得到答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△ABE與△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∴∠ABE+∠BAO＝∠DAF+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∵△ABE≌△DAF，∴S△ABE＝S△DAF，∴S△ABE﹣S△AOE＝S△DAF﹣S△AOE，即S△ABO＝S四邊形OEDF＝1，∵OA＝1，∴BO＝2，∴AB＝＝＝，故選：C。3．（南京期中）如圖，在正方形ABCD中，點E、F、G分別在CD、AD、BC上，且FG⊥BE，垂足為O．（1）求證：BE＝FG；（2）若O是BE的中點，且BC＝8，EC＝3，求AF的長．【分析】（1）作AM∥FG交BE于N，BC于M．依據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABM≌△BCE可得AM＝BE．再證明四邊形AMGF為平行四邊形．即可得結論；（2）連接BF、EF，設AF＝x，則DF＝8﹣x，依據(jù)勾股定理即可求出AF的長．【解答】（1）證明：作AM∥FG交BE于N，BC于M．在正方形ABCD中，∴AD∥BC，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°．∵FG⊥BE，∴∠FOB＝90°．∵AM∥FG，∴∠ANB＝∠FOB＝90°．∴∠ABN+∠EBC＝90°∵∠C＝90°．∴∠BEC+∠EBC＝90°．∴∠ABN＝∠BEC．在△ABE和△CDF中，，∴△ABM≌△BCE（AAS），∴AM＝BE．∵AD∥BC，∴AF∥MG．∵AM∥FG，∴四邊形AMGF為平行四邊形．∴AM＝FG．∵AM＝BE，∴BE＝FG．（2）如圖，連接BF、EF，∵FG⊥BE，O是BE的中點，∴BF＝FE．在正方形ABCD中，∴AD＝AB＝DC＝BC＝8．∵EC＝3，∴DE＝5．設AF＝x，則DF＝8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2＝82+x2．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2＝DF2+DE2＝52+（8﹣x）2．∵BF＝FE，∴BF2＝EF2．即82+x2＝52+（8﹣x）2，解得：x＝．∴AF＝．4．（內(nèi)黃縣模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的動點，且CE+CF＝4，BE和AF相交于點G，在點E、F運動的過程中，當△AGB中某一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍時，△BCG的面積為．【分析】利用SAS判定△ABF≌△BCE，則得∠AGB＝90°；利用當△AGB中某一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍時可得∠ABG＝45°或60°，于是∠GBF＝45°或30°；過點G作GH⊥BC于點H，通過計算GH的長得到△BCG的高，利用三角形的面積公式即可求得結論．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為4，∴CF+BF＝4．∵CE+CF＝4，∴CE＝BF．在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS）．∴∠AFB＝∠BEC．∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠BEC．∴∠ABG＝∠AFB．∵∠ABG+∠FBG＝90°，∴∠AFB+∠FBG＝90°．∴BG⊥AF．∴∠AGB＝90°．∵△AGB中某一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，∴∠ABG＝45°或60°．∴∠GBF＝45°或30°．過點G作GH⊥BC于點H，如圖，當∠GBF＝45°時，點F與點C重合，∴GH＝，∴△BCG的面積＝×BC×GH＝4．當∠GBF＝30°時，∵BG＝AB＝2，∴GH＝BG＝1．∴△BCG的面積＝×BC×GH＝2．綜上，△BCG的面積為4或2．故答案為：4或2．5．（羅湖區(qū)校級模擬）如圖所示，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE＝DF，AE、BF相交于點O，下列結論：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四邊形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB其中，正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】依據(jù)四邊形ABCD是正方形及CE＝DF，可證出△ADE≌△BAF，然后依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可找出其中相等的線段可相等的角，然后再逐個進行推斷即可．【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，故①正確；∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正確；假設AO＝OE，∵AE⊥BF（已證），∴AB＝BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，這與正方形的邊長AB＝BC相沖突，所以，假設不成立，AO≠OE，故③錯誤；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四邊形DEOF，故④正確；∵AE⊥BF，∴∠AOB＝90°．∴∠OAB+∠ABO＝90°．又∵∠AFB+∠ABO＝90°，∴∠BAO＝∠AFO，故⑤正確．故選：C．模型二正方形中的“三垂定理”模型如圖，已知正方形ABCD，過點B、D兩點分別向過點C的直線作垂線，垂足分別為E、F，則有△BCE≌△CDF【例題】．（蒙陰縣期末）（1）數(shù)學課上，張老師給出了一個問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F．求證：AE＝EF．小明經(jīng)過思索展示了一種正確的解題思路：取AB的中點H，連接HE，則可以證明AE＝EF．請你寫出證明過程．（2）在此基礎上，小穎提出：如圖2，假如把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B、C外）的隨意一點”，其他條件不變，那么結論“AE＝EF”照舊成立，你認為小穎的觀點正確嗎？假如正確，請寫出證明過程；假如不正確，請說明理由；（3）如圖3，假如點E是BC的延長線上（除C點外）的隨意一點，其他條件不變，結論“AE＝EF”照舊成立嗎？干脆寫出結論，不用說明理由．【分析】（1）取AB的中點H，連接EH，依據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE＝EF；（2）如圖2，在AB上取一點M，使AM＝CE，連接ME，方法同（1）可得出結論；（3）延長BA到M，使AM＝CE，依據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE＝EF．【解答】證明：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠AEF＝90°，∵點H、E分別是邊AB、BC的中點，∴AH＝BH＝BE＝CE，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝135°，∵CF是正方形外角∠DCG的平分線，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AHE＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：正確．如圖2，在AB上取一點M，使AM＝CE，連接ME，∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∠AME＝135°，∵CF是正方形外交∠DCG的平分線，∴∠DCF＝45°，∠ECF＝135°，同（1）可證明△AME≌△ECF，∴AE＝EF；（3）成立．理由如下：如圖3，延長BA到M，使AM＝CE，∵∠AEF＝90°，∴∠FEG+∠AEB＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∴∠MAE＝∠CEF．∵AB＝BC，∴AB+AM＝BC+CE，即BM＝BE．∴∠M＝45°，∴∠M＝∠FCE．在△AME與△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．【針對練習】1．（郾城區(qū)期末）如圖，直線l過正方形ABCD的頂點B，點A，C到直線l的距離分別是1和2，則正方形ABCD的面積是．【分析】依據(jù)正方形性質(zhì)得出AB＝CB，∠ABC＝90°，求出∠EAB＝∠FBC，證△AEB≌△BFC，求出BE＝CF＝2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝180°﹣90°＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE＝CF＝2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AB＝＝，即正方形ABCD的面積是5，故答案為：5．2．（巴中期末）在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（﹣3，0），則點C到y(tǒng)軸的距離是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】過點C作CE⊥x軸于點E，則點C到y(tǒng)軸的距離為OE，通過證明△CBE≌△BAO得到BE＝OA，利用點A，B的坐標可求OA，OB的長，則結論可求．【解答】解：過點C作CE⊥x軸于點E，如圖，則點C到y(tǒng)軸的距離為OE．∵點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（﹣3，0），∴OA＝2，OB＝3．∵CE⊥x軸，∴∠CEB＝90°．∴∠ECB+∠EBC＝90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∠CBA＝90°．∴∠EBC+∠ABO＝90°．∴∠ECB＝∠ABO．在△CBE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS）．∴EB＝OA＝2．∴OE＝OB+BE＝3+2＝5．∴點C到y(tǒng)軸的距離是5．故選：B．3．（鹿城區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中以AC，BC為邊向外作正方形ACFG與正方形BCDE，連結DF，并過C點作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，則MD的長為（）A． B． C． D．【分析】過D作DN⊥CF于點N，作DP⊥HM于點P，過點F作FQ⊥HM，交HM的延長線于點Q，依據(jù)勾股定理即可求得DF的長．再依據(jù)全等三角形的對應邊相等可得FQ＝DP，進而判定△FQM≌△DPM，即可得到M是FD的中點，據(jù)此可得DM＝DF．【解答】解：如圖所示，過D作DN⊥CF于點N，作DP⊥HM于點P，過點F作FQ⊥HM，交HM的延長線于點Q，∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°，∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°，又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3，∴CN＝CD＝1，F(xiàn)N＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，DN＝＝，Rt△DFN中，DF＝＝＝．∵四邊形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，又∵CH⊥AB，∴∠DCP+∠BCH＝∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠DCP＝∠CBH，又∵∠DPC＝∠BHC＝90°，∴△DCP≌△CBH（AAS），∴DP＝CH，同理可得△ACH≌△CFQ，∴FQ＝CH，∴FQ＝DP，又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，∴△FQM≌△DPM（AAS），∴FM＝DM，即M是FD的中點，∴DM＝DF＝．故選：A．4．（西湖區(qū)校級月考）如圖，過正方形ABCD的頂點B作直線l，過點A，C作l的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，若AE＝1，CF＝3，求AB的長．【分析】先利用AAS判定△ABE≌△BCF，從而得出AE＝BF，BE＝CF，最終得出AB的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC，∵CF⊥BE，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3，∴AB＝＝＝．5．（濟源期末）[經(jīng)典問題回顧]如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，求證：AE＝EF．對于本題，我們常用的思路是在AB上截取BM＝BE，構造全等三角形進行證明．小明通過深度探討，又總結出了以下三種思路：思路一：如圖（1），在AB的延長線上截取BN，使BN＝BE，連接NE，利用全等三角形和特殊四邊形，轉化得到線段之間的數(shù)量關系，獲證；思路二：如圖（2），連接AC，過點E作EP⊥AC于點P，EQ⊥CF于點Q，利用全等三角形，獲證；思路三：如圖（3），連接AC，作EG∥AB，交AC與點G，利用全等三角形，獲證．[進一步探究]小明接著對這道題目進行了改編，請完成下面改編題目的解答．四邊形ABCD是正方形，點E是直線BC上一點，∠AEF＝β，EF交正方形外角平分線CF于點F．（1）如圖（4），若點E在邊BC延長線上，β＝90°，線段AE與線段EF存在怎樣的數(shù)量關系？并加以證明；（2）如圖（5），若點E在邊BC上，AE＝EF，求β的度數(shù)．【分析】（1）結論：AE＝EF．如圖（4）中，延長BA至H，使AH＝CE，連接HE，證明△HAE≌△CEF（ASA），可得結論．（2）如圖（5）中，連接AC，過點E作EP⊥AC于點P，EQ⊥CF于點Q．證明Rt△APE≌Rt△FQE（HL），推出∠AEP＝∠FEQ，推出∠AEF＝∠PEQ＝90°，可得結論．【解答】解：（1）結論：AE＝EF．理由：如圖（4）中，延長BA至H，使AH＝CE，連接HE，∵BA＝BC，AH＝CE，∴BH＝BE，∴∠H＝45°，∵CF是正方形外角的平分線，∴∠ECF＝45°，∴∠H＝∠ECF，∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，∠HAE＝∠B+∠BEA，∠CEF＝∠AEF+∠BEA，∴∠HAE＝∠CEF，在△HAE和△CEF中，，∴△HAE≌△CEF（ASA），∴AE＝EF．（2）如圖（5）中，連接AC，過點E作EP⊥AC于點P，EQ⊥CF于點Q．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵CF是正方形外角的平分線，∴∠ECQ＝∠PCE＝45°，∴∠EPC＝∠Q＝∠PCQ＝90°，∴四邊形EPCQ是矩形，∵∠PEC＝∠PCE＝45°，∴PE＝PC，∴四邊形EPCQ是正方形，∴PE＝EQ，在Rt△APE和Rt△FQE中，，∴Rt△APE≌Rt△FQE（HL），∴∠AEP＝∠FEQ，∴∠AEF＝∠PEQ＝90°，∴β＝90°．條件：①正方形ABCD條件：①正方形ABCD，②∠EAF=45°結論：①EF=BE+DF；(△CEF的周長=正方形ABCD周長的一半）②EA平分∠BEF③FA平分∠DAE條件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°條件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°結論：EF=DF-BE☆：當∠EAF旋轉到正方形ABCD外部時，則有：【例題】．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE．（1）求證：CE＝CF．（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE+GD成立嗎？為什么？（3）運用（1）（2）解答中所累積的閱歷和學問，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點，且∠GCE＝45°，BE＝4，求GE的長．【分析】（1）由SAS證明△CBE≌△CDF，即可得出結論；（2）由（1）知，△CBE≌△CDF，得CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，再證△ECG≌△FCG（SAS），即可得出結論；（3）過C作CD⊥AG，交AG的延長線于D，證四邊形ABCD是正方形，設GD＝x，則GE＝4+x，AG＝12﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理得出方程，求出x＝6，即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠CDF＝90°，在△CBE和△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE＝CF；（2）解：GE＝BE+GD成立，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，由（1）知，△CBE≌△CDF，∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，∴∠DCF+∠ECD＝∠BCE+∠ECD＝∠BCD＝90°，即∠ECF＝90°，又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°，在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴GE＝GF，∵GF＝DF+GD，DF＝BE，∴GE＝DF+GD＝BE+GD；（3）解：過C作CD⊥AG，交AG的延長線于D，如圖2所示：則∠CDA＝90°，∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝90°，∴∠A＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝12，∵BE＝4，∴AE＝AB﹣BE＝8，由（2）得：GE＝BE+GD，設GD＝x，則GE＝4+x，AG＝12﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理得：AE2+AG2＝GE2，即82+（12﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝6，∴GE＝4+6＝10．【針對練習】1．（高州市期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足為E，且DE＝EB＝5，則四邊形ABCD的面積．【分析】依據(jù)旋轉的性質(zhì)將四邊形ABCD變形為正方形DEBE′，易求四邊形ABCD的面積．【解答】解：把Rt△DEA以繞D按逆時針旋轉90°，如圖：∵旋轉不變更圖形的形態(tài)和大小，∴A與C重合，∠A＝∠DCE′，∠E′＝∠AED＝90°．∵在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，∴∠A+∠DCB＝180°，∴∠DCE′+∠DCB＝180°，即點B、C、E′在同始終線上，∵∠DEB＝∠E′＝∠B＝90°，∴四邊形DEBE′是矩形，∴S矩形DEBE′＝DE×BE＝5×5＝25，∵S矩形DEBE′＝S四邊形DEBC+S△DCE，∵S四邊形ABCD＝S四邊形DEBC+S△ADE＝S四邊形DEBC+S△DCE，∴S四邊形ABCD＝S矩形DEBE＝25．故四邊形ABCD的面積為25．故答案為：25．2．（麗水期中）已知正方形ABCD中，M，N是邊BC，CD上隨意兩點，∠MAN＝45°，連結MN．（1）如圖①，請干脆寫出BM，DN，MN三條線段的數(shù)量關系：；（2）如圖②，過點A作AH⊥MN于點H，求證：AB＝AH；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長．【分析】（1）延長CD到E，使DE＝BM，利用SAS證明△ABM≌△ADE，得∠BAM＝∠DAE，AM＝AE，再證明△AMN≌△AEN（SAS），得MN＝NE＝ND+BM；（2）由（1）知，∠AMB＝∠AED，∠AED＝∠AMN，得∠AMB＝∠AMN，再利用角平分線的性質(zhì)可證明結論；（3）將圖③放到圖②中，利用HL證明Rt△ABM≌Rt△AHM，得BM＝MH＝2，同理得，NH＝ND＝3，設BC＝AB＝x，則CM＝x﹣2，CN＝x﹣3，在Rt△MCN中，利用勾股定理列方程，從而解決問題．【解答】（1）解：延長CD到E，使DE＝BM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABM＝∠ADE＝90°，∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE（SAS），∴∠BAM＝∠DAE，AM＝AE，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝∠NAE＝45°，∵AN＝AN，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝NE＝ND+BM，∴MN＝BM+DN，故答案為：MN＝BM+DN；（2）證明：由（1）知，∠AMB＝∠AED，∠AED＝∠AMN，∴∠AMB＝∠AMN，∵AB⊥BC，AH⊥MN，∴AB＝AH；（3）解：將圖③放到圖②中，∵AB＝AH，AM＝AM，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（HL），∴BM＝MH＝2，同理得，NH＝ND＝3，設BC＝AB＝x，則CM＝x﹣2，CN＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理得，（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，解得x1＝6，x2＝﹣1（舍），∴AB＝6．由（1）知，AB＝AH，∴AH＝6．3．（香洲區(qū)校級模擬）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N．（1）如圖1，當∠MAN繞點A旋轉到BM＝DN時，有BM+DN＝MN．當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，如圖2，請問圖1中的結論還是否成立？假如成立，請賜予證明，假如不成立，請說明理由；（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關系？請寫出你的猜想，并證明．【分析】（1）在MB的延長線上截取BE＝DN，連接AE，依據(jù)正方形性質(zhì)得出AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，證△ABE≌△ADN推出AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，求出∠EAM＝∠MAN，依據(jù)SAS證△AEM≌△ANM，推出ME＝MN即可；（2）在DN上截取DE＝MB，連接AE，證△ABM≌△ADE，推出AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，求出∠EAN＝∠MAN，依據(jù)SAS證△AMN≌△AEN，推出MN＝EN即可．【解答】解：（1）圖1中的結論照舊成立，即BM+DN＝MN，理由為：如圖2，在MB的延長線上截取BE＝DN，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，∵在△ABE和△ADN中，∴△ABE≌△ADN（SAS）．∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，∵在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，即DN+BM＝MN；（2）猜想：線段BM，DN和MN之間的等量關系為：DN﹣BM＝MN．證明：如圖3，在DN上截取DE＝MB，連接AE，∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，∴△ABM≌△ADE（SAS）．∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，∵在△AMN和△AEN中，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，∴DN﹣BM＝MN．【其他模型練習】1．（平頂山期末）（1）如圖1，邊長為a的正方形ABCD對角線AC與BD相交于點O，且正方形OEFG繞點O旋轉時，OE交邊AB于點H，OG交邊BC于點R．則圖中陰影部分（四邊形BROH）的面積為；（用含a的代數(shù)式表示）（2）如圖2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，BD平分∠ABC，點O為BD的中點．正方形OEFG繞點O旋轉時，OE交邊AB于點H，OG交邊BC于點R．求圖中陰影部分（即四邊形BROH）的面積；（3）如圖3，△ABC與△OEF均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠EOF＝90°，AB＝BC，OE＝OF．BD是Rt△ABC斜邊AC上的中線，點O為BD的中點，OE交邊AB于點H，OF交邊BC于點R．設兩三角形重疊部分（陰影部分）的面積為S，已知EF＝3，當兩三角形的空白部分（除去陰影部分）的面積差為2時，干脆寫出陰影部分面積S的值．【分析】（1）由題意得OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°又因為∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOR+∠EOB＝90°可得∠AOE＝∠BOR，依據(jù)ASA可證△AOH≌△BOR，由全等三角形的性質(zhì)可得S△AOH＝S△BOR，可得重疊部分的面積為正方形面積的，即可求解；（2）介紹兩種解法：解法一：如圖2，過點O作MN∥AC分別與AB，BC交于點M，N，連接DM，DN，依據(jù)平行線分線段成比例定理可得點D，M，N分別為AC，AB，BC的中點，證明四邊形BNGM是正方形，可得陰影部分的面積；解法二：如圖3，如圖3，過點O作MN∥AC分別與AB，BC交于點M，N，證明△MOH≌△BOR（ASA），可得陰影部分的面積；（3）先計算OE＝OF＝3，依據(jù)兩三角形的空白部分（除去陰影部分）的面積差為2列方程（分兩種狀況），可得AB2的值，由（2）的結論可得S的值．【解答】解：（1）如圖1，在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOR+∠EOB＝90°，∴∠AOH＝∠BOR．在△AOH和△BOR中，∴△AOH≌△BOR（ASA），∴S△AOH＝S△BOR，∴圖中陰影部分的面積＝S△AOB＝S正方形ABCD＝a2，故答案為：a2；（2）如圖2，過點O作MN∥AC分別與AB，BC交于點M，N，連接DM，DN，∴＝，∵AB＝BC＝a，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD，∴點D，M，N分別為AC，AB，BC的中點，∴MD∥BC，DN∥AB，∴四邊形BNDM是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，BM＝BN，∴四邊形BNGM是正方形，由（1）中得：S陰影部分＝S正方形BNDM＝×BM2＝；方法二：如圖3，過點O作MN∥AC分別與AB，BC交于點M，N，同理得：BM＝BN＝a，∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴BO⊥MN，∠HMO＝∠RBO＝45°，OM＝OB，∠MOH+∠BOH＝∠BOH+∠BOR＝90°，∴∠MOH＝∠BOR，∴△MOH≌△BOR（ASA），∴S陰影部分＝S△BOM＝S△MBN＝×BM2＝×BM2＝；（3）∵△EFO是等腰直角三角形，且∠EOF＝90°，EF＝3，∴OE＝OF＝3，∵兩三角形的空白部分（除去陰影部分）的面積差為2，分兩種狀況：①（AB2﹣S）﹣（﹣S）＝2，解得：AB2＝13，由（2）得：S＝AB2＝；②（AB2﹣S）﹣（﹣S）＝﹣2，解得：AB2＝5，∴S＝AB2＝；綜上，S的值為或．2．（南岸區(qū)期末）已知四邊形ABCD是正方形，點F為射線AD上一點，連接CF并以CF為對角線作正方形CEFG，連接BE，DG．（1）如圖1，當點F在線段AD上時，求證：BE＝DG；（2）如圖1，當點F在線段AD上時，求證：CD﹣DF＝BE；（3）如圖2，當點F在線段AD的延長線上時，請干脆寫出線段CD，DF與BE間滿足的關系式．【分析】（1）由“SAS”可證△BCE≌△DCG，可得結論．（2）如圖1中，設CD交FG于點O，過點G作GT⊥DG交CD于T．證明△DGT是等腰直角三角形，再證明△DGF≌△TGC即可解決問題；（3）如圖2，過點G作GT⊥DG交DC的延長線于T，證明△DGT是等腰直角三角形，再證明△DGF≌△TGC即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD，四邊形EFGC都是正方形，∴∠BCD＝∠ECG＝90°，CB＝CD，CE＝CG