專題 01 相交線與平行線全章高頻考點(diǎn)專練（5個(gè)概念2個(gè)判定2個(gè)性質(zhì)2種方法2種思想專練）原卷版

專題01相交線與平行線全章高頻考點(diǎn)專練（5個(gè)概念2個(gè)判定2個(gè)性質(zhì)2種方法2種思想專練）5個(gè)概念【考點(diǎn)題型一】相交線【例1】（2023?興慶區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，從點(diǎn)到點(diǎn)有3條路，其中走最近，其數(shù)學(xué)依據(jù)是A．經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線 B．兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn) C．兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短 D．直線比曲線短【變式1-1】（2023秋?路北區(qū)期末）根據(jù)語句“直線與直線相交，點(diǎn)在直線上，直線不經(jīng)過點(diǎn)．”畫出的圖形是A． B． C． D．【變式1-2】．（2023春?蕭縣校級(jí)月考）如果同一平面內(nèi)有三條直線，那么它們交點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)．A．3個(gè) B．1或3個(gè) C．1或2或3個(gè) D．0或1或2或3個(gè)【變式1-3】．（2023春?金鄉(xiāng)縣月考）一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；4條直線兩兩相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)；5條直線兩兩相交，最多有10個(gè)交點(diǎn)；條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)．【變式1-4】．（2023春?薩爾圖區(qū)校級(jí)月考）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有個(gè)交點(diǎn)．【考點(diǎn)題型二】“三線八角”【例2】．（2023春?黃石港區(qū)期末）如圖，圖中與是同位角的是A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）【變式2-1】．（2023秋?同安區(qū)期末）如圖，和的位置關(guān)系是A．對(duì)頂角 B．同位角 C．內(nèi)錯(cuò)角 D．同旁內(nèi)角【變式2-2】．（2023春?浦城縣期中）如圖所示，與是一對(duì)A．同位角 B．內(nèi)錯(cuò)角 C．同旁內(nèi)角 D．對(duì)頂角【變式2-3】．（2023春?石家莊期中）如圖，直線、被直線所截，與是A．同位角 B．內(nèi)錯(cuò)角 C．同旁內(nèi)角 D．對(duì)頂角【變式2-4】．（2023春?禮泉縣期中）如圖，直線，被直線所截，下列各組角屬于同旁內(nèi)角的是A．與 B．與 C．與 D．與【變式2-5】．（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，圖中與是同位角的序號(hào)是A．②③ B．②③④ C．①②④ D．③④【變式2-6】．（2023春?貴州期中）如圖所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子變彎了，它真的彎了嗎？其實(shí)沒有，這是光的折射現(xiàn)象，光從空氣中射入水中，光的傳播方向發(fā)生了改變．（1）請(qǐng)指出與是同旁內(nèi)角的有哪些角？請(qǐng)指出與是內(nèi)錯(cuò)角的有哪些角？（2）若，測(cè)得，從水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折彎了多少度？請(qǐng)說明理由．【變式2-7】．（2023春?蒲城縣期中）如圖，已知直線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，平分，若，．（1）求的度數(shù)；（2）寫出一個(gè)與互為同位角的角；（3）求的度數(shù)．【考點(diǎn)題型三】平行線【例3】．（2023春?東昌府區(qū)校級(jí)月考）下列語句正確的有個(gè)①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行②過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行③過兩條直線，外一點(diǎn)，畫直線，使，且④若直線，，則．A．4 B．3 C．2 D．1【變式3-1】．（2023春?敦化市期末）在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有相交和兩種位置關(guān)系．【變式3-2】．（2023春?雙牌縣期末）下列說法正確的有（填序號(hào)）．①同位角相等；②一條直線有無數(shù)條平行線；③在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段是平行線；④在同一平面內(nèi)，如果，，則；⑤過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．【變式3-3】．（2023春?青龍縣期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種，．【考點(diǎn)題型四】平移【例4】．（2023春?南山區(qū)期末）如圖，將直角沿邊的方向平移到的位置，連結(jié)，若，，則的長(zhǎng)為A．4 B．6 C．8 D．12【變式4-1】．（2023春?鼎城區(qū)期末）如圖，在三角形中，，將三角形沿方向平移得到三角形，其中，，，則陰影部分的面積是A．15 B．18 C．21 D．不確定【變式4-2】．（2022秋?臨淄區(qū)期末）如圖，，，，將沿方向平移，得到，連接，則陰影部分的周長(zhǎng)為．【變式4-3】．（2023秋?萊蕪區(qū)期末）如圖，將長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形先向右平移，再向下平移，得到長(zhǎng)方形，則陰影部分的面積為．【變式4-4】．（2023春?重慶期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，三角形中任意一點(diǎn)，，經(jīng)平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，將三角形作同樣的平移得到三角形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）①畫出三角形；②寫出三角形的面積；（3）過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式4-5】．（2023春?雞西期末）按要求畫圖及填空：在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)及的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）將先向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到△，畫出△．（3）計(jì)算△的面積．【變式4-6】．（2023秋?黃石月考）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形網(wǎng)格中，經(jīng)過平移后得到△，圖中標(biāo)出了點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．根據(jù)下列條件，利用網(wǎng)格點(diǎn)和無刻度的直尺畫圖并解答相關(guān)的問題：（1）畫出△；（2）畫出的高；（3）求的面積為；（4）在的右側(cè)確定格點(diǎn)，使的面積和的面積相等，這樣的點(diǎn)有個(gè)．【考點(diǎn)題型五】命題【例5】．（2023春?民權(quán)縣月考）下列命題中真命題是A．兩個(gè)銳角之和為鈍角 B．兩個(gè)銳角之和為銳角 C．鈍角大于它的補(bǔ)角 D．銳角小于它的余角【變式5-1】（2023春?大竹縣校級(jí)期末）下列說法正確的是A．同位角相等 B．對(duì)頂角相等 C．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角相等【變式5-2】．（2023春?雙遼市期中）（1）如圖，，，，試說明；（2）若把（1）中的題設(shè)中的“”與結(jié)論“”對(duì)調(diào)，所得命題是否為真命題？試說明理由．【變式5-3】．（2023春?汝南縣期末）發(fā)現(xiàn)：如圖，內(nèi)有一點(diǎn)：過點(diǎn)畫交于點(diǎn)，畫交于點(diǎn)；根據(jù)所畫圖形試說明：與的數(shù)量關(guān)系；驗(yàn)證：完善下面的解答過程，并填寫理由或數(shù)學(xué)式：探究：某數(shù)學(xué)興趣小組通過以上練習(xí)發(fā)現(xiàn)了命題“兩邊分別平行的兩個(gè)角相等”，甲同學(xué)認(rèn)為該命題是真命題并畫了圖1進(jìn)行驗(yàn)證，乙同學(xué)對(duì)甲同學(xué)的判斷提出質(zhì)疑，認(rèn)為該命題不一定成立，是假命題，并作圖如圖2所示，題設(shè)與甲同學(xué)相同，得到，根據(jù)乙同學(xué)的作圖，試判斷此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．歸納：綜合甲乙兩同學(xué)的證明得到結(jié)論：兩邊分別平行的兩個(gè)角．【變式5-4】．（2023春?鹽山縣期末）圖形的世界豐富且充滿變化，用數(shù)學(xué)的眼光觀察它們，奇妙無比．（1）如圖，，數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)圖形特征添加一個(gè)關(guān)于角的條件，使得，并給出證明過程．小麗添加的條件：．請(qǐng)你幫小麗將下面的證明過程補(bǔ)充完整．證明：（已知）（已知）（等量代換）（2）拓展：如圖，請(qǐng)你從三個(gè)選項(xiàng)①，②平分，③中任選出兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題，并加以證明．①條件：，結(jié)論：（填序號(hào)）．②證明：．【變式5-6】．（2023春?清江浦區(qū)期末）探究問題：已知，畫一個(gè)角，使，，且交于點(diǎn)．與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）我們發(fā)現(xiàn)與有兩種位置關(guān)系：如圖1與圖2所示．①圖1中與數(shù)量關(guān)系為；圖2中與數(shù)量關(guān)系為；請(qǐng)選擇其中一種情況說明理由．②由①得出一個(gè)真命題（用文字?jǐn)⑹觯?）應(yīng)用②中的真命題，解決以下問題：若兩個(gè)角的兩邊互相平行，且一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，請(qǐng)直接寫出這兩個(gè)角的度數(shù)．【變式5-7】．（2023春?廣陵區(qū)月考）如圖，已知直線，給出下列信息：①；②平分；③．（1）請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，你選擇的條件是，結(jié)論是（只要填寫序號(hào)），并說明理由；（2）在（1）的條件下，若比的2倍少3度，求的度數(shù)．【變式5-8】．（2023春?張灣區(qū)期中）如圖，直線，被直線所截，直線，被所截．請(qǐng)你從以下三個(gè)條件：①；②；③中選出兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，得出一個(gè)正確的命題．（1）請(qǐng)按照：“∵_(dá)___，____，∴____”的形式，寫出所有正確的命題；（2）在（1）所寫的命題中選擇一個(gè)加以證明，寫出推理過程．2個(gè)判定【考查題型六】垂線【例6】．（2023春?澄邁縣期末）過點(diǎn)向邊作垂線段，下列畫法中正確的是A． B． C． D．【變式6-1】．（2023春?孟村縣期末）已知，如圖所示，，垂足為，為過點(diǎn)的一條直線，則與的關(guān)系一定成立的是A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．互為對(duì)頂角【變式6-2】．（2022秋?太倉市期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)，，．（1）如圖中與互補(bǔ)的角是；（把符合條件的角都寫出來）（2）若，求的度數(shù)．【變式6-3】．（2023春?紅山區(qū)期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，平分，且，求的度數(shù)．【考查題型七】平行線【例7】．（2023春?西鄉(xiāng)塘區(qū)期末）如圖，下列條件中，能判斷的是A． B． C． D．【變式7-1】．（2023春?長(zhǎng)葛市期末）如圖，下列條件中，不能判斷直線的是A． B． C． D．【變式7-2】．（2022秋?市中區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)，，分別在邊，，上，下列不能判定的條件是A． B． C． D．【變式7-3】．（2022秋?耒陽市期末）如圖，下列條件中：①；②；③；④；則一定能判定的條件有（填寫所有正確的序號(hào)）．【變式7-4】．（2023春?潼關(guān)縣期末）如圖，與相交于點(diǎn)，，且平分．試說明：．【變式7-5】．（2023春?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖，，，分別是，的角平分線，，求證：．【變式7-6】．（2023春?重慶期中）如圖，點(diǎn)，分別在，上，，垂足為點(diǎn)，，．求證：．【變式7-7】．（2023春?潮南區(qū)期末）如圖，，，是的角平分線．求證：．【變式7-8】．（2023春?吉安縣期中）如圖，已知，，求證：．【變式7-9】．（2023春?武勝縣校級(jí)期末）完成下面的證明如圖，平分，平分，且，求證：．完成推理過程平分（已知），．平分（已知），（已知），．．【變式7-10】．（2023春?岳池縣校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在線段上，與交于點(diǎn)，，．（1）求證：；（2）試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若，，求的度數(shù)．【變式7-11】．（2023春?振興區(qū)校級(jí)期中）如圖，，，平分．（1）與會(huì)平行嗎？說明理由；（2）與的位置關(guān)系如何？為什么？（3）平分嗎？為什么．【變式7-12】．（2023春?新吳區(qū)期中）我們知道：光線反射時(shí)，反射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)，反射光線、入射光線分別在法線兩側(cè)，反射角等于入射角．如圖1，為一鏡面，為入射光線，入射點(diǎn)為點(diǎn)，為法線（過入射點(diǎn)且垂直于鏡面的直線），為反射光線，此時(shí)反射角等于入射角．（1）如圖1，若，則；若，則；（2）兩平面鏡、相交于點(diǎn)，一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過平面鏡兩次反射后，恰好經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）如圖2，當(dāng)為多少度時(shí)，光線？請(qǐng)說明理由．（Ⅱ）如圖3，若兩條光線、相交于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．（Ⅲ）如圖4，若兩條光線、所在的直線相交于點(diǎn)，與之間滿足的等量關(guān)系是（直接寫出結(jié)果）2個(gè)性質(zhì)【考查題型八】垂線段的性質(zhì)【例8】．（2022秋?東港區(qū)校級(jí)期末）如圖，要把河中的水引到水池中，應(yīng)在河岸處開始挖渠才能使水渠的長(zhǎng)度最短，這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理是A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．點(diǎn)到直線的距離 C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．垂線段最短【變式8-1】．（2022秋?連云港期末）如圖，某污水處理廠要從處把處理過的水引入排水渠，為了節(jié)約用料，鋪設(shè)垂直于排水渠的管道．這種鋪設(shè)方法蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間，線段最短 C．過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線 D．垂線段最短【變式8-2】．（2023春?和平區(qū)校級(jí)月考）如圖，把小河里的水引到田地處就作，垂足為，沿挖水溝，水溝最短．理由是．【變式8-3】．（2023春?信都區(qū)期末）已知：點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，點(diǎn)、、是直線上三點(diǎn)，分別連接、、．（1）通過測(cè)量的方法，比較、、的大小，直接用“”連接；（2）在直線上能否找到一點(diǎn)，使的長(zhǎng)度最短？如果有，請(qǐng)?jiān)趫D中作出線段，并說明它的理論依據(jù)；如果沒有，請(qǐng)說明理由．【變式8-4】．（2023秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期末）如圖，平原上有，，，四個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣栴}，政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池．（1）不考慮其他因素，請(qǐng)你畫圖確定蓄水池點(diǎn)的位置，使它到四個(gè)村莊距離之和最小；（2）計(jì)劃把河水引入蓄水池中，怎樣開渠最短并說明根據(jù)．【考查題型九】平行線的性質(zhì)【例9】．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知，、、分別平分、、，則圖中與互余的角共有A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式9-1】．（2023春?嘉定區(qū)期末）如圖，，，垂足為點(diǎn)，如果，那么．【變式9-2】．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知，，平分，，則．【變式9-3】．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知兩個(gè)角的兩邊分別平行，且其中一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少，那么這兩個(gè)角的度數(shù)分別是．【變式9-4】．（2023春?普陀區(qū)期中）長(zhǎng)江汛期來臨之前，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在筆直且平行的長(zhǎng)江兩岸河堤、上安置了、兩盞激光探照燈如圖所示．光線按順時(shí)針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線按順時(shí)針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)．（1）如果兩燈同時(shí)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，光線和光線旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，①如圖1，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示光線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，即；用含的代數(shù)式表示光線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，即．②如圖2，當(dāng)光線與光線垂直，垂足為時(shí)，求的值．（2）如果光線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，光線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在光線第一次到達(dá)之前，求光線旋轉(zhuǎn)幾秒時(shí)，與光線平行？【變式9-5】．（2023春?閔行區(qū)期中）（1）如圖1，是直線，內(nèi)部一點(diǎn)，，連接，．探究猜想．①當(dāng)，