押江蘇卷4 三角形（解析版）-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題（江蘇卷）

三角形1.三角形三邊的關(guān)系2.三角形的三條重要線(xiàn)段3.三角形全等的條件4.等腰三角形的性質(zhì)5.勾股定理6.相似三角形的判定7.相似三角形的性質(zhì)1.三角形三邊的關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊.（2）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短.（3）三邊關(guān)系的應(yīng)用：①判斷三條線(xiàn)段能否組成三角形，若兩條較短的線(xiàn)段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線(xiàn)段的長(zhǎng)，則這三條線(xiàn)段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍；②證明線(xiàn)段間的不等關(guān)系.2.三角形的三條重要線(xiàn)段線(xiàn)段名稱(chēng)三角形的高三角形的中線(xiàn)三角形的角平分線(xiàn)文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線(xiàn)作垂線(xiàn)，頂點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線(xiàn)段．圖形語(yǔ)言作圖語(yǔ)言過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線(xiàn)AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號(hào)語(yǔ)言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線(xiàn)．2．AD是△ABC中BC邊上的中線(xiàn)．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線(xiàn)．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語(yǔ)言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線(xiàn)，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線(xiàn)段垂直．2．角度相等．1．線(xiàn)段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線(xiàn)不同．2．不一定在三角形內(nèi)．在三角形的內(nèi)部與角的平分線(xiàn)不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長(zhǎng)線(xiàn))交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線(xiàn)，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線(xiàn)，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．（1）多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，叫做多邊形的外角.（2）多邊形的外角和：在多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處分別取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和，多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少?zèng)]有關(guān)系.（3）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于.（4）多邊形的外角和的推導(dǎo)：多邊形的每個(gè)內(nèi)角加上與它相鄰的外角都等于180°，所以n邊形的外角和等于n個(gè)180°的平角減去多邊形的內(nèi)角和，即.3.三角形全等的條件（1）兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊角邊”或“SAS”；（2）兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)“角邊角”或“ASA”；（3）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)稱(chēng)為“角角邊”或“AAS”；（4）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)稱(chēng)為“邊邊邊”或“SSS”；（5）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)稱(chēng)為“斜邊、直角邊”或“HL”.4.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，頂角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸；（2）等腰三角形的性質(zhì)一：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）；（3）等腰三角形的性質(zhì)二（三線(xiàn)合一）：等腰三角形底邊上的高線(xiàn)、中線(xiàn)和頂角平分線(xiàn)重合.（4）等邊三角形的性質(zhì)：①軸對(duì)稱(chēng)性：等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，并且有3條對(duì)稱(chēng)軸；②等邊三角形的各角都等于60°.（5）等邊三角形的判定：①定義法：三邊相等的三角形是等邊三角形；②定理法：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③定理法：有一個(gè)角是60°（頂角/底角）的等腰三角形是等邊三角形.5.勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如圖所示，如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么.勾股定理的變式：.6.相似三角形的判定（1）兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；（2）兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；（3）三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.7.相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方；（3）相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段比的性質(zhì)①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；②相似三角形中的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比；③相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線(xiàn)，對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比.1．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，AD與BC相交于點(diǎn)O，小正方形的邊長(zhǎng)為1，則AO的長(zhǎng)等于（）A．2 B．73 C．625 【分析】連接AE，根據(jù)題意可得：AE∥BC，AD＝DE＝5，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAE＝∠DEA，再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，從而可得∠DOC＝∠DCO，進(jìn)而可得DO＝DC＝3，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：連接AE，由題意得：AE∥BC，AD=32+42=∴AD＝DE＝5，∴∠DAE＝∠DEA，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，∴∠DOC＝∠DCO，∴DO＝DC＝3，∴AO＝AD﹣DO＝5﹣3＝2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．2．（2022?連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線(xiàn)上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線(xiàn)上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC＝22OF；⑤△A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)分析判斷①；通過(guò)點(diǎn)G為AD中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，設(shè)AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理分析求得AB與AD的數(shù)量關(guān)系，從而判斷②；利用相似三角形的判定和性質(zhì)分析判讀GE和DF、OC和OF的數(shù)量關(guān)系，從而判斷③和④；根據(jù)相似三角形的判定分析判斷⑤．【解答】解：由折疊性質(zhì)可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故①正確；設(shè)AD＝2a，AB＝2b，則DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得：b=2a∴AB=2AD在Rt△COF中，設(shè)OF＝DF＝x，則CF＝2b﹣x＝22a﹣x，∴x2+（2a）2＝（22a﹣x）2，解得：x=22∴6DF=6×22a=3a，22OF＝22在Rt△AGE中，GE=AG∴GE=6DF，OC＝22OF無(wú)法證明∠FCO＝∠GCE，∴無(wú)法判斷△COF∽△CEG，故⑤錯(cuò)誤；綜上，正確的是①③④，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解題關(guān)鍵．3．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，若DE＝1，則FG＝．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而利用三角形中位線(xiàn)定理解答即可．【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2DE＝2，∵F、G分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴FG是△ACB的中位線(xiàn)，∴FG=12AB＝故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形中位線(xiàn)定理，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB的長(zhǎng)解答．4．（2022?徐州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接DE．過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線(xiàn)，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．（1）∠EDC的度數(shù)為°；（2）連接PG，求△APG的面積的最大值；（3）PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）求CHCE【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由三角形中位線(xiàn)定理可得DE∥AB，可求解；（2）設(shè)AP＝x，由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線(xiàn)定理可求AG的長(zhǎng)，由三角形面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（3）由“SAS”可證△CEF≌△GDF，可得CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，可求解；（4）利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)分別求出CH，CE的值，即可求解．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝122，∵D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，DE=12∴∠EDC＝∠ABC＝45°，故答案為：45；（2）設(shè)AP＝x，則BP＝12﹣x，∵DE=12∴DE＝6-x∵GF⊥BC，∠EDC＝45°，∴∠EDC＝∠DEF＝45°，∴DF＝EF=22DE＝32∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD＝62，∴CF＝32+2∵GF⊥BC，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠CGF＝45°，∴GF＝FC，∴GC=2FC＝6+∴AG＝6-x∴S△APG=12×AP×AG=12×x×（6-x2）=-∴當(dāng)x＝6時(shí)，△APG的面積的最大值為9；（3）PE⊥DG，DG＝PE，理由如下：∵DF＝EF，∠CFE＝∠GFD＝90°，CF＝GF，∴△CEF≌△GDF（SAS），∴CE＝DG，∠DGF＝∠FCE，∵∠DGF+∠GDF＝90°，∴∠GDF+∠DCE＝90°，∴∠DHC＝90°，∴DG⊥PE，∵點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴PE＝EC，∴DG＝PE；（4）方法一、∵CF＝32+24x＝GF，EF＝3∴EC=C∵AP＝x，AC＝12，∴PC=A∵∠ACP＝∠GCH，∠A＝90°＝∠GHC，∴△APC∽△HGC，∴GHAP∴GHx∴GH=6x+x2∴CHCE=72∴CHCE的最大值為2方法二、如圖，過(guò)點(diǎn)H作MH∥AB，交BC于M，∵∠DHC＝90°，∴點(diǎn)H以CD為直徑的⊙O上，連接OH，并延長(zhǎng)交AB于N，∵M(jìn)H∥AB，∴OHON∵OH，OB是定長(zhǎng)，∴ON的取最小值時(shí)，OM有最大值，∴當(dāng)ON⊥AB時(shí)，OM有最大值，此時(shí)MH⊥OH，CM有最大值，∵DE∥AB，∴MH∥DE，∴CHCE∴當(dāng)CM有最大值時(shí)，CHCE∵AB∥MH，∴∠HMO＝∠B＝45°，∵M(jìn)H⊥OH，∴∠HMO＝∠HOM＝45°，∴MH＝HO，∴MO=2HO∵HO＝CO＝DO，∴MO=2CO，CD＝2CO∴CM＝（2+1）CO∴CHCE【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共8小題）1．（2022?江都區(qū)校級(jí)三模）如圖，在9×5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是∠ABC的平分線(xiàn)，則BD的長(zhǎng)為（）A．102 B．10 C．3102 D【分析】由勾股定理求出BC＝5，AC＝310，AB＝5，得出AB＝BC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BD⊥AC，AD＝CD，根據(jù)勾股定理可求出答案．【解答】解：由題意可得，BC=32+42=5，AB＝5∴AB＝BC，∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，∴BD⊥AC，AD＝CD=12AC∴BD=A故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023?連云港一模）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ABC的面積比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：2【分析】利用相似三角形的判定定理證得△ACD∽△ABC，再利用相似三角形的性質(zhì)定理；相似三角形的面積比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴S△ACD故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)的定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023?鹽城一模）在三張透明紙上，分別有∠AOB、直線(xiàn)l及直線(xiàn)l外一點(diǎn)P、兩點(diǎn)M與N，下列操作能通過(guò)折疊透明紙實(shí)現(xiàn)的有（）①圖1，∠AOB的角平分線(xiàn)；②圖2，過(guò)點(diǎn)P垂直于直線(xiàn)l的垂線(xiàn)；③圖3，點(diǎn)M與點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)中心．A．① B．①② C．②③ D．①②③【分析】由角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)是這個(gè)角的對(duì)稱(chēng)軸可判斷①；根據(jù)垂直的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)成中心對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分可判斷③．【解答】解：①經(jīng)過(guò)點(diǎn)O進(jìn)行折疊，使OA與OB重合，折痕紀(jì)委角平分線(xiàn)，故①能通過(guò)折疊透明紙實(shí)現(xiàn)；②經(jīng)過(guò)點(diǎn)P折疊，使折痕兩邊的直線(xiàn)l重合，折痕即為過(guò)點(diǎn)P垂直于直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，故②能通過(guò)折疊透明紙實(shí)現(xiàn)；③經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，M折疊，展開(kāi)，展開(kāi)，然后再折疊使點(diǎn)N，M重合，兩次折痕的交點(diǎn)即為點(diǎn)N，M的對(duì)稱(chēng)中心，故③能通過(guò)折疊透明紙實(shí)現(xiàn)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，垂線(xiàn)的性質(zhì)，中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．4．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△APB中，AB=22，∠APB＝90°，在AB的同側(cè)作正△ABD，正△APE和正△BPC，則四邊形A．1 B．2 C．22 D．【分析】先延長(zhǎng)EP交BC于點(diǎn)F，得出PF⊥BC，再判定四邊形PCDE平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形CDEP的面積＝EP×CF＝a×12b=12ab，最后根據(jù)a2+b2＝8【解答】解：如圖，延長(zhǎng)EP交BC于點(diǎn)F，∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPF＝180°﹣150°＝30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB＝PC，∴PF⊥BC，設(shè)Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，則CF=12CP=12b，a2+b2＝（22）∵△APE和△ABD都是等邊三角形，∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB，在△EAD和△PAB中，AE=AP∠EAD=∠PAB∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED＝PB＝CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP＝AP＝CD，∴四邊形PCDE是平行四邊形，∴四邊形PCDE的面積＝EP×CF＝a×12b=又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2＝8，∴12ab≤2即四邊形PCDE面積的最大值為2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造平行四邊形的高線(xiàn)．5．（2023?秦淮區(qū)一模）在三邊長(zhǎng)分別為a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形中，下列數(shù)量關(guān)系不成立的是（）A．a(chǎn)+b＞c B．a(chǎn)+b＜2c C．a(chǎn)+b＜c D．a(chǎn)2+b【分析】由三角形的三邊關(guān)系定理得到a+b＞c，由不等式的性質(zhì)得到a+b＜2c，由a+b＞c；a，b，c是正數(shù)，得到(a)2+(b)2＞(c)2，因此【解答】解：A、a+b＞c，正確，故A不符合題意；B、由a＜c，b＜c，得到a+b＜2c，故B不符合題意；C、由a+b＞c；a，b，c是正數(shù)，得到(a)2+(b)2＞(cD、由勾股定理得：a2+b2＝c2，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，完全平方公式，不等式的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．（2023?梁溪區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，DC＝CB．若AB＝4，則AC的最大值是（）A．2+23 B．2+43 C【分析】根據(jù)題意可得∠ADB＝90°，再根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)解得DF=12AB=2，以AB為邊作等邊△ABE，連接EF，DE，由勾股定理解得EF的長(zhǎng)，繼而證明△DBE≌△CBA，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到【解答】解：取AB的中點(diǎn)F，連接DF，∵∠DCB＝60°，BC＝CD，∴△BCD為等邊三角形，∴∠BDC＝∠DBC＝∠BCD＝60°，BC＝BD＝CD，∵∠ADC＝150°，AB＝4，∴∠ADB=以AB為邊作等邊△ABE，如圖，連接EF，DE，則AE＝BE＝AB＝4，∵F為AB中點(diǎn)，∴EF⊥∴EF=B∵∠ABE＝60°，∴∠DBE＝∠ABD+60°＝∠ABC，∵BD＝BC，BE＝AB，∵BD＝BC，BE＝AB，∴△DBE≌△CBA（SAS），∴DE＝AC，∵DF+EF≥DE，∴當(dāng)且僅當(dāng)DE過(guò)點(diǎn)F時(shí)，AC最長(zhǎng)，此時(shí)AC=DF+EF=2+2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及直角三角形斜邊的中線(xiàn)、勾股股定理、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．7．（2023?儀征市一模）如圖，△ABC中，∠B＝90°，tanA=12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，ADABA．12或310 B．12 C．12或14 【分析】由題意可得ADAB=DEBC=12，因此取AC的中點(diǎn)E1，連接DE1，滿(mǎn)足DEBC=12，此時(shí)AE1AC=12；在AC上取一點(diǎn)E2，使DE1＝DE2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可推出∠FDE1＝∠A，于是得到tan∠FDE1＝tanA=12，設(shè)E1F＝E2F＝a，則E1E2＝2a，再根據(jù)an∠FDE1=12求出DF＝2a，根據(jù)勾股定理求出DE1=5a，則BC=25a，AB=【解答】解：∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD=1∴ADAB如圖，取AC的中點(diǎn)E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線(xiàn)，∴DE1∥BC，DE此時(shí)，AE如圖，在AC上取一點(diǎn)E2，使DE1＝DE2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，∵DE1＝DE2，∴△AE1E2為等腰三角形，∴E1F＝E2F，∵DE1∥BC，∠B＝90°，∴∠C＝∠DE1F，∠A+∠C＝90°，∵∠FDE1+∠DE1F＝90°，∴∠FDE1＝∠A，∴tan∠FDE1＝tanA=1設(shè)E1F＝E2F＝a，則E1E2＝2a，在Rt△DFE1中，tan∠FDE1=E∴DF＝2a，在Rt△DFE1中，DE∴BC＝2DE1=2在Rt△ABC中，tanA=BC∴AB＝2BC=45在Rt△ABC中，AC=A∴AE1=12AC=∴AE2＝AE1﹣E1E2＝3a，∴AE綜上，AEAC的值為12或故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線(xiàn)的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，理清題意，找出DE所存在的兩種情況是解題關(guān)鍵．8．（2023?寶應(yīng)縣一模）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，M、N分別是AB、BC上的格點(diǎn)．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM、PN，則所有滿(mǎn)足∠MPN＝45°的點(diǎn)P有（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的兩個(gè)銳角等于45°，構(gòu)造出一個(gè)P點(diǎn)，再畫(huà)出△MNP2的外接圓，這個(gè)外接圓與網(wǎng)格交點(diǎn)為格點(diǎn)的都符合題意．【解答】解：如圖，在BC邊上取點(diǎn)P2，使BP2＝AN＝2，連接NP2，MP2，∵NB＝4，AM＝4，∴NB＝AM，∵∠MAN＝∠NBP2＝90°，∴△MAN≌△NBP2（SAS），∴MN＝NP2，∠AMN＝∠BNP2，∵∠ANM+∠AMN＝90°，∴∠ANM+∠BNP2＝90°，∴△P2MN是等腰直角三角形，∴∠MP2N＝45°，作△P2MN的外接圓交網(wǎng)格于P1、P3、P4、P5，根據(jù)圓周角定理，得∠MP1N＝∠MP3N＝∠MP4N＝∠MP5N＝∠MP2N＝45°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等，解答時(shí)需要一定的空間想象能力，模型意識(shí)．二．填空題（共10小題）9．（2023?如東縣一模）如圖，D，E兩點(diǎn)分別在AB，AC上，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，只需添加一個(gè)條件，則這個(gè)條件可以是．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：添加的條件為∠B＝∠C，理由：在△ABE與△ACD中，∠A=∴△ABE≌△ACD（SAS）．故答案為：∠B＝∠C（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無(wú)法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目．10．（2023?廣陵區(qū)一模）如圖，直線(xiàn)a∥b，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C在直線(xiàn)b上，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為．【分析】由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠3＝∠1＝40°，然后根據(jù)平角的性質(zhì)可得∠3+∠2+90°＝180°即可求得∠2．【解答】解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠3+∠2+90°＝180°，∴∠2＝50°．故答案為：50°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、平角的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．11．（2023?鎮(zhèn)江模擬）如圖，點(diǎn)D在△ABC的AD邊上，且AD：AB＝2：5，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，連接BE，則△ABE與△BEC的面積之比為．【分析】根據(jù)DE∥BC得出△ADE∽△ABC，進(jìn)而得出AECE【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∵AD：AB＝2：5，∴AEAC=2∴S△ABE：S△BEC＝2：3，故答案為：2：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，等高的三角形，面積比等于底的比．12．（2023?蘇州一模）定義：在△ABC中，∠C＝30°，我們把∠A的對(duì)邊與∠C的對(duì)邊的比叫做∠A的鄰弦，記作thiA，即：thiA=∠A的對(duì)邊∠C的對(duì)邊=BCAB．如圖，若∠A＝【分析】作BH⊥AC于H，設(shè)BH＝x，由△ABH是等腰直角三角形，得到AB=2x，由∠C＝30°，得到BC＝2x，由角的鄰弦定義【解答】解：作BH⊥AC于H，設(shè)BH＝x，∵∠A＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AB=2BH=2∵∠C＝30°，∴BC＝2BH＝2x，∴thiA=BC故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查含30°角的直角三角形，角的鄰弦定義，關(guān)鍵是掌握角的鄰弦定義．13．（2023?靖江市模擬）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)D坐標(biāo)分別為（0，m），（4﹣m，0）（0＜m＜4），則AC+BD的最小值為．【分析】利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，取點(diǎn)E（﹣4，4），連接BE，CE，AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，易證△CBE≌△DOB（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)，可得出BD＝EC，進(jìn)而可得出AC+BD＝AC+EC，利用三角形的三邊關(guān)系，可得出當(dāng)點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AC+BD有最小值A(chǔ)E，再在Rt△AEF中，利用勾股定理，可求出AE的長(zhǎng)，即AC+BD的最小值為45．【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1×0+4＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+4＝0，解得：x＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．如圖，取點(diǎn)E（﹣4，4），連接BE，CE，AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣4，0）．在△CBE和△DOB中，BE=OB=4∴△CBE≌△DOB（SAS），∴BD＝EC，∴AC+BD＝AC+EC，∴當(dāng)點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AC+BD有最小值A(chǔ)E．在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝4﹣0＝4，AF＝4﹣（﹣4）＝8，∴AE=EF2∴AC+BD的最小值為45．故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形三邊關(guān)系以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用三角形三邊關(guān)系，找出當(dāng)點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)AC+BD最小是解題的關(guān)鍵．14．（2023?惠山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在菱形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AC∥EF，AC＝2EF，∠BAD＝2∠EDF，AE＝2，DF=32，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為【分析】分別延長(zhǎng)EF，DC相交于點(diǎn)G，得證四邊形AEGC是平行四邊形，得到AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，證明△EDF∽△EGD，得到EDEG=EFDE，則【解答】4解：如圖，延長(zhǎng)EF，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC=∵AC∥EF，∴四邊形AEGC是平行四邊形，∴AC＝EG，AE＝CG＝2，∠EAC＝∠G，∵∠BAD＝2∠EDF，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG∴ED2＝EF?EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE=2∵△EDF∽△EGD，∴DGDF∴DG=2∴DC＝DG﹣CG＝6﹣2＝4，∴菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，正確掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．15．（2023?高郵市一模）如圖，兩個(gè)等邊三角形的中心重合，并且三組邊分別平行．若每組邊之間的距離是4，則兩個(gè)等邊三角形邊長(zhǎng)的差是．【分析】連接AB，DE，分別過(guò)點(diǎn)A，D作ACBE于點(diǎn)C，BE于點(diǎn)F，則AC＝DF＝4，由題意可得∠ABC＝∠DEF＝30°，由每組邊之間的距離是4可求出BC和EF的長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：連接AB，DE，分別過(guò)點(diǎn)A，D作ACBE于點(diǎn)C，BE于點(diǎn)F，則AC＝DF＝4，∵等邊三角形的中心重合，并且三組邊分別平行，∴∠ABC=∴AB＝2AC＝8，∴BC=EF=A∴BC+EF=8∴兩個(gè)等邊三角形邊長(zhǎng)的差是83故答案為：83【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用等邊三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造含30°角的直角三角形，理解兩個(gè)等邊三角形邊長(zhǎng)的差即是BC與EF的和．16．（2023?如東縣一模）如圖，等邊三角形ABC中，P，Q兩點(diǎn)分別在邊BC，AC上，BP＝CQ，D是PQ的中點(diǎn)．若BC＝4，則CD的最小值是．【分析】當(dāng)P和Q分別為BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，PQ最短，且CD最小，進(jìn)而利用等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：當(dāng)P和Q分別為BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，PQ最短，∵BC＝4，△ABC是等邊三角形，∴PQ=12AB=12∴△PQC是等邊三角形，∵D是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)CD⊥PQ時(shí)，CD最短，∴CD=3故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形中位線(xiàn)定理，等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得出PQ解答．17．（2023?南京一模）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D，E分別是射線(xiàn)AB，射線(xiàn)AC上的點(diǎn)，AD，AE的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)O落在BC上時(shí)，DE長(zhǎng)的最小值為．【分析】以O(shè)為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作△ADE外接圓⊙O，連接OD，OE，OA，由圓周角定理推出△ODE是等腰直角三角形，得到DE=2OD=2OA，當(dāng)OA⊥BC時(shí)，OA長(zhǎng)最小，由銳角的正弦求出【解答】解：∵AD，AE的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，∴OD＝OA＝OE，∴點(diǎn)O是△ADE外接圓的圓心，以O(shè)為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作△ADE外接圓⊙O，連接OD，OE，OA，∵∠BAC＝45°，∴∠DOE＝2∠BAC＝90°，∵OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形，∴DE=2OD=2∴當(dāng)OA長(zhǎng)最小時(shí)DE長(zhǎng)最小，當(dāng)OA⊥BC時(shí)，OA長(zhǎng)最小，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴sin∠ABC=AO∴AO＝23，∴DE長(zhǎng)的最小值是2OA＝26．故答案為：26．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是由作出輔助圓，應(yīng)用圓周角定理得到DE=2OA18．（2023?武進(jìn)區(qū)一模）生活處處有數(shù)學(xué)：在五一出游時(shí)，小明在沙灘上撿到一個(gè)美麗的海螺，經(jīng)仔細(xì)觀察海螺的花紋后畫(huà)出如圖所示的螺旋線(xiàn)，該螺旋線(xiàn)由一系列直角三角形組成，則第2023個(gè)三角形的面積為．【分析】根據(jù)勾股定理分別求出OA1，OA2，…，根據(jù)三角形的面積公式分別求出第一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)三角形的面積，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【解答】解：第1個(gè)三角形的面積12×1×1由勾股定理得，OA1=1則第2個(gè)三角形的面積=12×OA2=(則第3個(gè)三角形的面積12×3……，則第n個(gè)三角形的面積=n∴第2023個(gè)三角形的面積=2023故答案為：177【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形類(lèi)規(guī)律探究．熟練掌握勾股定理，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共10小題）19．（2023?連云港一模）如圖，A，B，C，D依次在同一條直線(xiàn)上，BF與EC相交于點(diǎn)M．AB＝CD，EC＝FB，∠MBC＝∠MCB．（1）求證：ME＝MF；（2）求證：∠E＝∠F．【分析】（1）證明△AEC≌△DFB（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CE＝BF，證出CM＝BM，則可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△AEC和△DFB中，AC=BD∠ACE=∠DBF∴△AEC≌△DFB（SAS），∴CE＝BF，又∵∠MBC＝∠MCB，∴CM＝BM，∴ME＝MF；（2）證明：∵△AEC≌△DFB，∴∠E＝∠F．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，證明△AEC≌△DFB是解題的關(guān)鍵．20．（2023?宿遷一模）如圖，B、C、E、F在同一直線(xiàn)上，△ABC和△DEF都是等邊三角形，且AC＝DF，求證：△AFC≌△DBE．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出AC＝DE，∠ACF＝∠BED，BE＝CF，利用SAS即可證明△AFC≌△DBE．【解答】證明：∵△ABC和△DEF都是等邊三角形，且AC＝DF，∴AC＝BC＝DF＝DE＝EF，∠BAC＝∠ABC＝∠EDF＝∠EFD＝60°，∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC＝120°，∠BED＝∠EDF+∠EFD＝120°，∴∠ACF＝∠BED，∵BC＝EF，∴BC﹣EC＝EF﹣EC，即BE＝CF，在△AFC和△DBE中，AC=DE∠ACF=∠BED∴△AFC≌△DBE（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．21．（2023?濱湖區(qū)一模）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)C，D是AC的中點(diǎn)，連接BD、OD分別交AC于點(diǎn)E、F．（1）求證：△DEF∽△BEC；（2）若DE＝2，BE＝6，求⊙O的面積．【分析】（1）由圓周角定理和垂徑定理可得∠ACB＝90°＝∠DFE，可得結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得DEBE=DFBC=EFCE=13，設(shè)DF＝2x，則BC＝6x，分別求出CE【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，AF＝CF，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°＝∠DFE，又∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF∽△BEC；（2）解：∵△DEF∽△BEC，∴DEBE設(shè)DF＝2x，則BC＝6x，∵AO＝BO，AF＝CF，∴OF=12BC＝3∴OD＝5x＝OA，∴AF=AO2-OF2=∴CE＝3x，EF＝x，∵DE2＝EF2+DF2，∴4＝5x2，∴x=2∴DO＝25，∴⊙O的面積＝π×OD2＝20π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，三角形中位線(xiàn)定理等知識(shí)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．22．（2023?寶應(yīng)縣一模）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一點(diǎn)，CD＝AB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，并截取DE＝BC．（1）求證：△ACE是等腰直角三角形；（2）延長(zhǎng)DE至F，使得EF＝CD，連結(jié)BF并與CE的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)G，求∠BGC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)已知條件由SAS證明△ABC≌△ODE，從而得到∠ACB＝∠DEC，AC＝CE，故∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠ACB＝∠ACE＝90°，即可得證；（2）由AB∥DF及AB＝EF可得四邊形AEFB是平行四邊形，所以∠BGC＝∠AEC＝45°．【解答】（1）證明：DE⊥BC，∴∠EDC＝90°＝∠CBA，∠DCE+∠DEC＝90°，在△ABC和△CDE中，AB=CD∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠ACB＝∠DEC，AC＝CE，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；（2）解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，∴AB∥DF，∵△ABC≌△CDE（已證），∴AB＝CD，∵EF＝CD，∴AB＝EF，四邊形AEFB是平行四邊形，∴BF∥AE，∴∠BGC＝∠AEC，∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠AEC＝45°，∴∠BGC＝∠AEC＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)和判定，掌握等腰三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023?錫山區(qū)模擬）已知：如圖，在△ABC中，E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，CD∥AB，交FE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．（1）求證：EF＝ED；（2）若AB＝8，CD＝6，求BF的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定可以得到∠A＝∠ECD，∠AFE＝∠CDE，再根據(jù)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，可以得到AE＝CE，然后根據(jù)AAS可以證明△AEF和△CED全等，從而可以得到EF＝ED；（2）根據(jù)（1）中△AEF和△CED全等，可以得到AF＝CD＝6，再根據(jù)AB＝8，可以得到BF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ECD，∠AFE＝∠CDE，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，在△AEF和△CED中，∠A=∴△AEF≌△CED（AAS），∴EF＝ED；（2）解：由（1）知，△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∵AB＝8，CD＝6，∴AF＝6，∴BF＝AB﹣AF＝8﹣6＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．24．（2023?廣陵區(qū)一模）將a克糖放入水中，得到b克糖水，此時(shí)糖水的濃度為ab（1）再往杯中加入m（m＞0）克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水變甜了，用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為；（2）請(qǐng)證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式；（3）在△ABC中，三條邊的長(zhǎng)度分別為a，b，c，證明：ab+c【分析】（1）根據(jù)濃度公式代入以及變甜了判斷所得分式大小即可；（2）利用作差法，并化簡(jiǎn)通過(guò)判斷結(jié)果的正負(fù)即可；（3）利用三角形的三邊關(guān)系得到a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，即ab+c＜1，b【解答】解：（1）由題意得：加入m克糖后糖水濃度為：a+mb+m由糖水變甜可知：a+mb+m故答案為：a+mb+m（2）利用作差法比較大?。篴+mb+m∵m＞0，b＞a＞0，∴b﹣a＞0，b+m＞0，即m(b-a)b(b+m)∴a+mb+m-a（3）在△ABC中，a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，且a＞0，b＞0，c＞0，∴ab+c＜1，b由糖水不等式得，ab+c＜a+ab+c+a，∴ab+c∴ab+c【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的運(yùn)算及大小比較，理解不等式并能夠利用糖水不等式以及三角形三邊關(guān)系證明ab+c25．（2023?濱湖區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處，作∠ABF的角平分線(xiàn)交EF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N．（1）求證：MF＝NF；（2）若AB＝6，BC＝10時(shí)，求MF的長(zhǎng)；（3）若NF=12(AN+FD)【分析】（1）由角平分線(xiàn)的定義及翻折易得∠ABN＝∠FBM及∠A＝∠MFB＝90°，從而得到∠BMF＝∠ANB，結(jié)合對(duì)頂角相等可得∠BMF＝∠FNM即可得證；（2）設(shè)MF＝FN＝x，則AN＝8﹣x，易證△ABN∽△FBM，得ANAB（3）如圖，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BF，垂足為H，設(shè)DF＝m，AN＝n，則NF=12(m+n)，可得BF=BC=32(m+n)，易證△FNH∽△FBA得NHAB=FHFA=FNFB，即nAB=FH12(m+n)+n=12【解答】（1）證明：∵BM平分∠ABF，∴∠ABN＝∠FBM，在矩形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，由翻折可知∠C＝∠EFB＝90°，∵點(diǎn)M在EF的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠MFB＝∠EFB＝90°，∴∠A＝∠MFB＝90°，∴∠BMF+∠FBM＝∠ANB+∠ABN，∴∠BMF＝∠ANB，又∠ANB＝∠FNM，∴∠BMF＝∠FNM，∴FN＝FM；（2）解：∵BC＝10，由翻折可知，BF＝BC＝10，在Rt△ABF中，AB＝6，∴AF=B設(shè)MF＝FN＝x，則AN＝8﹣x，由（1）可知∠A＝∠MFB＝90°，∠ABN＝∠FBM，∴△ABN∽△FBM，∴ANAB∴8-x解得：x＝5，即MF＝5；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BF，垂足為H，設(shè)DF＝m，AN＝n，則NF=1∴BF=BC=FN+AN+DF=1∵BN平分∠ABF，∴NA＝NH＝n，∵∠HFN＝∠AFB，∠FHN＝∠FAB＝90°，∴△FNH∽△FBA，∴NHAB即nAB故AB＝3n，F(xiàn)H=1又∵FB＝FH+BH＝FH+AB，即32∴m=3∴ABBC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理；解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)．26．（2023?徐州模擬）如圖1，在△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC．連接DC，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)．連接MP，PN，MN．（1）觀察猜想：圖1中，線(xiàn)段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是：；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，證明：（1）中的結(jié)論仍然成立；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝2，AB＝6．求△PMN面積的最大值．【分析】（1）利用三角形的中位線(xiàn)得出PM=12CE，PN=12BD，由BD＝CE，可得出PM=3PN，再根據(jù)三角形的中位線(xiàn)知PM∥CE，PN∥BD，得到∠DPN＝∠ADC，∠DPM＝∠DCA，由∠BAC＝（2）先判斷出△ABD∽△ACE，得出∠ABD=∠ACE（3）先判斷出BD最大時(shí)，△PMN的面積最大，而B(niǎo)D最大是AB+AD＝8，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）結(jié)論：PM=3PN，PM⊥PN理由：∵點(diǎn)P，N是CD，BC的中點(diǎn)，∴PN∥BD，PN=1∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，∴PM∥CE，PM=1在△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，DE∥BC，∴∠AED＝30°，∴AC=3∴AC-即CE=3∴PM=3∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，即PM⊥PN，故答案為：PM=3PN，PM⊥（2）（1）中的結(jié)論仍然成立；理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD＝∠CAE，∵AC=3∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，CE=3∵點(diǎn)P，N是CD，BC的中點(diǎn)，∴PN∥BD，PN=12BD，∠PNC∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，∴PM∥CE，PM=1∴∠DPM＝∠DCE，∵CE=3∴PM=3∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴PM=3PN，PM⊥（3）由（2）知，△PMN是直角三角形，PM=3當(dāng)BD最大時(shí)，PM，PN取得最大值，∴當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，△PMN面積最大，∴BD＝AB+AD＝8，∴PN=12BD＝4，PM=3PN＝∴S△PMN的最大值=12?PM?PN=12×4×【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形