幾何專題03圓綜合大題-備考2023年中考數(shù)學典型例題《考點題型技巧》精講與精練高分突破

2023年中考數(shù)學典型例題系列之幾何專題03：圓綜合大題（解析版）1．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，內接于⊙O，交⊙O于點D，交于點E，交⊙O于點F，連接．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為3，，求的長（結果保留π）．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據已知條件可證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得，等量代換可得，即可得出答案；（2）連接，由（1）中結論可計算出的度數(shù)，根據圓周角定理可計算出的度數(shù)，再根據弧長計算公式計算即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴．（2）解：連接，如圖，由（1）得，∵，∴，∴的長．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，圓的性質與弧長公式，考查化歸與轉化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學素養(yǎng)．2．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，的直徑垂直于弦于點F，點P在的延長線上，與相切于點C．(1)求證：；(2)若的直徑為4，弦平分半徑，求：圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)首先可證得，由圓周角定理得：，可得，再根據切線的性質，可得，根據垂直的定義可得，據此即可證得；(2)首先由弦平分半徑，，可得，，，再根據，可得，即可證得，最后由即可求得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，由圓周角定理得：，，與相切，，，，，；（2）解：如圖：連接，弦平分半徑，，，在中，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的性質，扇形的面積公式，作出輔助線是解決本題的關鍵．3．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內接三角形，，經過圓心交于點，連接，．(1)判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線與相切，理由見解析(2)圖中陰影部分的面積【分析】（1）連接，根據圓周角定理得到，連接，根據等邊三角形的性質得到，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）根據圓周角定理得到，解直角三角形得到，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）解：直線與相切，理由：如圖，連接，∵，∴，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵是的半徑，∴直線與相切；（2）解：如（1）中圖，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，扇形面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關鍵．4．（2022·內蒙古·中考真題）如圖，是的外接圓，與相切于點D，分別交，的延長線于點E和F，連接交于點N，的平分線交于點M．(1)求證：平分；(2)若，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OD，根據切線的性質得⊥EF，由得OD⊥BC，由垂徑定理得，進而即可得出結論；（2）由平行線分線段定理得，再證明，可得BD=2，最后證明,進而即可求解．【詳解】（1）證明：連接交于點H.∵與相切于點D∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴

即平分；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴∴，∴（負值舍去），∴【點睛】本題主要考查圓的基本性質，切線的性質、相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定和性質；找出相似三角形，列相似比求解是解決本題的關鍵．5．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，是邊上一點，以為圓心，為半徑的圓與相交于點，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OD．由等腰三角形的性質及圓的性質可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根據余角性質及三角形的內角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切線的判定定理可得結論；（2）根據等邊三角形的判定與性質可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形內角和定理可得∠BOD的度數(shù)，最后根據弧長公式可得答案．【詳解】（1）證明：連接OD．∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．（2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°，∴△ACD是等邊三角形．∴∠ACD＝60°．∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2．∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝30°．∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．∴的長．【點睛】此題考查的是切線的判定與性質、直角三角形的性質、弧長公式，正確作出輔助線是解決此題的關鍵．6．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，如圖，點A、B、C在圓O上，，直線，，點O在BD上．(1)判斷直線AD與圓O的位置關系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線AD與圓O相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接OA，根據和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，從而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，從而得到∠OAD=90°，即可求解；（2）連接OC，作OH⊥BC于H，根據垂徑定理可得，進而得到，再根據陰影部分的面積為，即可求解．【詳解】（1）解：直線AD與圓O相切，理由如下：如圖，連接OA，∵，∴∠D=∠DBC，∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∵，∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∴∠BAD=120°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與園O相切，（2）解：如圖，連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB=OC=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴，∴，∴，∴扇形BOC的面積為，∵，∴陰影部分的面積為．【點睛】本題主要考查了切線的判定，求扇形面積，垂徑定理，熟練掌握切線的判定定理，并根據題意得到陰影部分的面積為是解題的關鍵．7．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知BC為⊙O的直徑，點D為的中點，過點D作DG∥CE，交BC的延長線于點A，連接BD，交CE于點F．(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)AC＝【分析】（1）連接，，根據“同圓中，等弧所對的圓周角相等”及等腰三角形的性質得到，進而得到，根據圓周角定理結合題意推出，即可判定AD是⊙O的切線；（2）根據平行線的性質得到∠BFE=∠GDB，∠A=∠ECB，解直角三角形求出OC，OA的長，根據線段的和差求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，BE，∵點D為的中點，∴，∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠CBD，∴∠ODB＝∠EBD，∴ODBE，∵BC為⊙O的直徑，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BE，∵ADCE，OD⊥CE，∴AD⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線；（2）解：∵DGCE，∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，∵tan∠GDB＝2，∴tan∠BFE＝2，在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，∴BE＝6，∵EF＝3，CF＝5，∴CE＝EF+CF＝8，∴BC＝，∴OD＝OC＝5，在Rt△BCE中，sin∠ECB＝，∴sinA＝sin∠ECB＝，在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5，∴OA＝，∴AC＝OA﹣OC＝．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了平行線的性質、切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質、解直角三角形等知識，熟練掌握切線的判定、圓周角定理并作出合理的輔助線是解題的關鍵．8．（2022·寧夏·中考真題）如圖，以線段為直徑作，交射線于點，平分交于點，過點作直線于點，交的延長線于點．連接并延長交于點．(1)求證：直線是的切線；(2)求證：；(3)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC證明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可證明直線DE是⊙O的切線；（2）由線段AB是⊙O的直徑證明∠ADB＝90°，再根據等角的余角相等證明∠M＝∠ABM，則AB＝AM；（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°證明∠BAM＝60°，則△ABM是等邊三角形，所以∠M＝60°，則∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再證明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．【詳解】（1）證明：連接OD，則OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴ODAC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線．（2）證明：線段是的直徑，，∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．【點睛】此題重點考查切線的判定、直徑所對的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．9．（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，點C為上一點，于點D，平分．(1)求證：直線是的切線；(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OC，根據OB=OC，以及平分推導出，即可得出，從而推出，即證明得出結論；（2）過點O作于F，利用即可得出答案．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵于點D，∴，∴直線是的切線；（2）過點O作于F，如圖，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的綜合問題，包括垂徑定理，圓的切線，扇形的面積公式等，熟練掌握以上性質并正確作出輔助線是本題的關鍵．10．（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，點D為的中點，連接AC，BC，AD，AD與BC相交于點G，過點D作直線DEBC，交AC的延長線于點E．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若，CG＝2，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OD，根據已知條件，由OD⊥BC，DEBC，證明OD⊥DE即可；（2）根據相等，再由（1）中可得，，從而得到∠CAD=∠BAD=∠ABC=30°，在Rt△ACG中，利用銳角三角函數(shù)求出AC、AG的長，從而求出△CAG的面積，在Rt△ABD中利用銳角三角函數(shù)求出AD的長，根據DEBC可得△ACG∽△AED，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出，進而即可陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：連接OD，如圖所示，∵點D為的中點，∴OD⊥BC∵DEBC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線．（2）連接BD，如圖所示，∴BD=AC∵點D為的中點，∴，∴，∴∠CAD=∠BAD=30°．∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACG中，，∴，∵，∴，，∴BD=CA=6，，在Rt△ABD中，∴∵DE∥BC，∴△CAG∽△EAD，

∴，即，∴∴．【點睛】本題主要考查了切線的判定定理、垂徑定理、圓周角定理以及相似三角形的性質，解直角三角形，掌握以上知識是解題的關鍵．11．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E，點F為BD延長線上一點，∠DAF＝∠B．(1)求證：AF是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，AD是AEF的中線，且AD＝6，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由圓周角定理得∠ADC=90°，則∠ACD+∠DAC=90°，從而說明，即可證明結論；（2）作于點H，利用△ADH～△ACD，，求出AH的長，再利用直角三角形斜邊上中線的性質得出AD=DE，利用等腰三角形的性質可得答案．【詳解】（1）證明：∵AC是直徑，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，∴∠DAF=∠ACD，∴∠DAF+∠DAC=90°，∴，∵AC是直徑，∴AF是⊙O的切線；（2）解：作于點H，∵⊙O的半徑為5，∴AC=10，∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，∴△ADH～△ACD，∴，∴，∵AD＝6，∴，∵AD是△AEF的中線，∠EAF=90°，∴AD=ED，．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定定理，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質等知識，根據相似三角形的判定與性質求出AH的長是解題的關鍵．12．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是以為直徑的半圓上的兩點，，連結．(1)求證：．(2)若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據同弧所對的圓周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根據∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，進而得到結論；（2）連結OC，OD，證明所求的陰影部分面積與扇形的面積相等，繼而得到結論．【詳解】（1）證明：∵=，∴∠ACD＝∠DBA，

又∠CAB＝∠DBA，∴∠CAB＝∠ACD，

∴；（2）解：如圖，連結OC，OD．∵∠ACD＝30°，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，∴∠AOD＝∠COB＝60°,∴∠COD＝180°∠AOD∠COB＝60°．∵，∴S△DOC=S△DBC，

∴S陰影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，∵AB＝4，∴OA＝2，∴S扇形COD=．

∴S陰影=．【點睛】本題主要考查扇形的面積，同弧所對的圓周角相等，平行線的判定，掌握定理以及公式是解題的關鍵．13．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，為的直徑，點為上一點，交的延長線于點，與交于點，連接，若．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)過程見解析(2)3【分析】（1）連接OE，先根據圓周角定理及已知條件得出∠ABC=∠BOE，進而得出，再由，根據平行線的性質得出∠FEO=∠ACB，然后根據直徑所對的是直角，即可得出答案；（2）先說明，再設的半徑為r，并表示，，，然后根據對應邊成比例得出，根據比例式求出半徑即可．【詳解】（1）證明：連接OE．∵，，∴∠ABC=∠BOE，∴，∴∠OED=∠BCD．∵，∴∠FEC=∠ACE，∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，即∠FEO=∠ACB．∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠FEO=90°，∴．∵EO是的半徑，∴EF是的切線．（2）∵，∴．∵BF=2，．設的半徑為r，∴，，．∵，∴，解得，∴的半徑是3．【點睛】本題主要考查了切線的性質和判定，解直角三角形，熟練掌握相關定理是解題的關鍵．14．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以AB為直徑作交AC、BC于點D、E，且D是AC的中點，過點D作于點G，交BA的延長線于點H．(1)求證：直線HG是的切線；(2)若，求CG的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OD，利用三角形中位線的定義和性質可得，再利用平行線的性質即可證明；（2）先通過平行線的性質得出，設，再通過解直角三角形求出半徑長度，再利用三角形中位線定理和相似三角形的判定和性質分別求出BC，BG的長度，即可求解．【詳解】（1）連接OD，，，∵D是AC的中點，AB為直徑，，，直線HG是的切線；（2）由（1）得，∴，，，設，，，在中，，，解得，∴，∵D是AC的中點，AB為直徑，，，，，即，，．【點睛】本題考查了切線的判定，三角形中位線的性質，平行線的判定和性質，相似三角形的判定和性質及解直角三角形，熟練掌握知識點是解題的關鍵．15．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，連接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于點C，過點C作CD⊥BE，交BE的延長線于點D，連接CE．(1)請判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半徑．【答案】(1)CD是⊙O的切線，理由見解析(2)⊙O的半徑為【分析】（1）結論：CD是⊙O的切線，證明OC⊥CD即可；（2）設OA＝OC＝r，設AE交OC于點J．證明四邊形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理構建方程求解．（1）解：結論：CD是⊙O的切線．理由：連接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC//BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）設OA＝OC＝r，設AE交OC于點J．∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四邊形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半徑為．【點睛】本題考查解直角三角形，切線的判定，垂徑定理，矩形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．16．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以AB為直徑作⊙，分別交BC于點D，交AC于點E，，垂足為H，連接DE并延長交BA的延長線于點F．(1)求證：DH是⊙的切線；(2)若E為AH的中點，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OD，證明，由，可得，即可證明結論；（2）連接AD和BE，由圓周角定理可以得出，可以得出，，進而根據平行線分線段成比例推出BD=CD，CH=HE，根據E為AH的中點，可得出AE=EH=CH，，根據且，可以得出，根據相似三角形的性質得到，將AE，OD代入即可求出答案．【詳解】（1）連接OD，則．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴DH是的切線．（2）連接AD和BE．∵AB是的直徑，∴，．∵∴∴．∴且．∵，∴．∵，∴．∴．∵∴∴∴．∵E為AH的中點，∴．∴∴．【點睛】本題考查了切線的判定和性質，圓周角定律，平行線分線段成比例，三角形相似的判定與性質等知識，熟練掌握以上判定和性質是本題解題的關鍵．17．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點是劣弧上一點，，且，平分，與交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長；(3)延長，交于點，若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)1(3)2【分析】（1）根據是的直徑，可得，即，根據同弧所對的圓周角相等，以及已知條件可得，等量代換后即可得，進而得證；（2）連接，根據角平分線的定義，以及等邊對等角可得，根據同弧所對的圓周角相等可得，由垂徑定理可得，進而可得，即可求解．（3）過點作，根據平行線分線段成比例，求得，設的半徑為，則，證明，可得，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，，，，，，，即，是的切線，（2）如圖，連接，平分，，∴DE=BE=∴，，，，是的直徑，，，即∠ADF=∠BEF=90°，，，，；（3）如圖，過點作，由（2）可知，，，，設的半徑為，則，，，，，，，，，在中，，在中，，即，解得：（負值舍去），的半徑為2．【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理的推論，平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，綜合運用以上知識是解題的關鍵．18．（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，交AB延長線于點D，連接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于點E，過點B作BF⊥CE，垂足為F．(1)求證：CA＝CD；(2)若AB＝12，求線段BF的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，欲證明CA＝CD，只要證明即可．（2）因為為直徑，所以，可得出三角形CBF為等腰直角三角形，即可求出BF，由此即可解決問題．【詳解】（1）證明：連接∵與相切于點，∴，∴，∵，∴，∵所對的圓周角為，圓心角為，∴，∴，∴．（2）∵為直徑，∴，在中，，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查切線的性質，圓周角定理、解直角三角形等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，學會條件常用輔助線，屬于中考常考題型．19．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內接于，為的直徑，平分，點E在的延長線上，連接．(1)求直徑的長；(2)若，計算圖中陰影部分的面積．【答案】(1)4(2)6【分析】（1）設輔助線，利用直徑、角平分線的性質得出的度數(shù)，利用圓周角與圓心角的關系得出的度數(shù)，根據半徑與直徑的關系，結合勾股定理即可得出結論．（2）由（1）已知，得出的度數(shù)，根據圓周角的性質結合得出，再根據直徑、等腰直角三角形的性質得出的值，進而利用直角三角形面積公式求出，由陰影部分面積可知即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，為的直徑，平分，，，．．，，，即．．．（2）解：如圖所示，設其中小陰影面積為，大陰影面積為，弦與劣弧所形成的面積為，由（1）已知，，，，．，弦弦，劣弧劣?。疄榈闹睆剑?，，．，．．．【點睛】本題考查圓的性質的理解與綜合應用能力．涉及對半徑與直徑的關系，直徑的性質，圓周角與圓心角的關系，圓周角的性質，勾股定理，直角三角形，角平分線等知識點．半徑等于直徑的一半；直徑所對的圓周角是直角；在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角等于圓心角的一半；在同圓或等圓中，圓周角相等弧相等弦相等．一個直角三角中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方．恰當借助輔助線，靈活運用圓周角的性質建立等式關系是解本題的關鍵．20．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點C的直線，且AD⊥DC于點D，AC平分∠BAD，點E是BC的中點，OE＝6cm．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求AD的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，ADOC，根據AD⊥DC，即可證明CD是⊙O的切線；（2）由OE是△ABC的中位線，得AC＝12，再證明△DAC∽△CAB，，即，從而得到AD．【詳解】（1）證明：連接OC，如圖：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴ADOC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵E是BC的中點，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位線，AC＝2OE，∵OE＝6，∴AC＝12，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，即，∴AD．【點睛】本題考查圓的切線的判定定理，相似三角形的判定及性質等知識，解題的關鍵是熟練應用圓的相關性質，轉化圓中的角和線段．21．（2022·內蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點B，且與AC邊交于點D，點E為BC中點，連接DE、BD．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OD，可推出∠BDC＝90°，進而得出DE＝BE，然后證明△DOE≌△BOE，求出∠ODE＝∠ABC＝90°即可得出結論；（2）可推出∠C＝∠ABD，解直角△ABC求得AC，進而根據三角形中位線定理求得OE．【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，∵AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，∵E是BC的中點，∴DE＝BE＝EC＝，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵OA＝OB，BE＝CE，∴OE＝．【點睛】本題考查了切線的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，三角形中位線定理等知識，解決問題的關鍵是靈活運用有關基礎知識．22．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點D為邊AB的中點，點O在邊BC上，以點O為圓心的圓過頂點C，與邊AB交于點D．(1)求證：直線AB是⊙O的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OD，CD，根據含30度角的直角三角形的性質得出AC=AB，求出∠A=90°∠B=60°，根據直角三角形的性質得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根據等邊三角形的判定得出△ADC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根據切線的判定得出即可；（2）求出BD=AC=，BO=2DO，根據勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分別求出△BDO和扇形DOE的面積即可．【詳解】（1）證明：連接OD，CD，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∠A=90°∠B=60°，∵D為AB的中點，∴BD=AD=AB，∴AD=AC，∴△ADC是等邊三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠DCO=90°60°=30°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠DCO=30°，∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，即OD⊥AB，∵OD過圓心O，∴直線AB是⊙O的切線；（2）解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，又∵AC=，∴BD=AC=，∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，∴∠BOD=60°，BO=2DO，由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，即（2OD）2=OD2+（）2，解得：OD=1（負數(shù)舍去），所以陰影部分的面積S=S△BDOS扇形DOE=．【點睛】本題考查了切線的判定，直角三角形的性質，圓周角定理，扇形的面積計算等知識點，能熟記直角三角形的性質、切線的判定和扇形的面積公式是解此題的關鍵．23．（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在直徑AB上（點C與A，B兩點不重合），OC＝3，點D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長到E點，使BE＝BD．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根據等腰三角形的性質以及對頂角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根據等腰三角形的性質可得∠E＝∠BDE，從而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形內角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；（2）設⊙O的半徑為r，則AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，從而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根據勾股定理可求出EC的長，從而利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【詳解】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線；（2）解：設⊙O的半徑為r，∵OC＝3，∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴36+（r+3）2＝（2r）2，∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，在Rt△EBC中，EC＝＝＝2，∴cos∠ECB＝＝＝，∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝，∴cos∠CDA的值為．【點睛】本題考查了切線的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質，以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．24．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，O為AC上一點，經過點A、E的⊙O分別交AB、AC于點D、F，連接OD交AE于點M．(1)求證：BC是⊙O的切線．(2)若CF＝2，sinC＝，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OE，方法一：根據角平分線的性質及同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出∠OEC＝90°即可；方法二：根據角平分線的性質和等腰三角形的性質得出∠OEC＝90°即可；（2）連接EF，根據三角函數(shù)求出AB和半徑的長度，再利用三角函數(shù)求出AE的長即可．【詳解】（1）連接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于點E，∴∠BAC＝2∠OAE，∵∠FOE＝2∠OAE，∴∠FOE＝∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；方法二：∵AE平分∠BAC交BC于點E，∴∠OAE＝∠BAE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）連接EF，∵CF＝2，sinC＝，∴，∵OE＝OF，∴OE＝OF＝3，∵OA＝OF＝3，∴AC＝OA+OF+CF＝8，∴AB＝AC?sinC＝8×＝，∵∠OAE＝∠BAE，∴cos∠OAE＝cos∠BAE，即，∴，解得AE＝（舍去負數(shù)），∴AE的長為．【點睛】本題主要考查切線的判定和三角函數(shù)的應用，熟練掌握切線的判定定理和三角函數(shù)是解題的關鍵．25．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點，D為劣弧的中點，過點D作⊙O的切線與AC的延長線交于點P，與AB的延長線交于點F，AD與BC交于點E．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為，DE＝1，求AE的長度；(3)在（2）的條件下，求的面積．【答案】(1)見解析(2)3(3)【分析】（1）連接，利用垂徑定理可得，由為⊙O的切線可得，由平行線的判定定理可得結論；（2）連接，，設，則，由可得，，在中，利用勾股定理可得，即；（3）連接，，設與交于點，利用可得，在中利用勾股定理可得，所以，又證明四邊形為矩形，所以面積為矩形面積的一半，進而可得的面積．【詳解】（1）解：證明：如圖，連接，為劣弧的中點，，，又為⊙O的切線，，；（2）解：如圖，連接，，設，則，為劣弧的中點，，，又，，，，，為⊙O的直徑，，又⊙O的半徑為，，由得，解得或（舍），；（3）解：如圖，設與交于點，由（2）知，，，在中，，，，，又，，，，，為⊙O的直徑，，由（1）可知，，四邊形為矩形，，，．【點睛】本題考查了圓的有關性質，圓周角定理，垂徑定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定與性質，圓的切線的判定與性質，矩形的判定與性質，平行線的判定與性質，熟練掌握這些性質并能靈活運用是解題的關鍵．26．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，AB是直徑，，連接AD，，AC與OD相交于點E．(1)求證：AD是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）先證∠BOC+∠AOD=90°，再因為，得出∠ADO+∠AOD=90°，即可得∠OAD=90°，即可由切線的判定定理得出結論；（2）先證明∠AED=∠DAE，得出DE=AD=，再證∠OAC=∠OCA，得tan∠OAC=tan∠OCA=,設OC=OA=R,則OE=R，在Rt△OAD中，由勾股定理，得，解之即可．【詳解】（1）證明：∵，∴∠COD=90°，∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵，∴∠ADO+∠AOD=90°，∵∠ADO+∠AOD+∠OAD=180°，∴∠OAD=90°，∵OA是⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，∴∠AED=∠OCB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AED=∠CAD，∴DE=AD=，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OC⊥OD，∴∠COE=90°，∴tan∠OAC=tan∠OCA=,設OC=OA=R,則OE=R，在Rt△OAD中，∠OAD=90°，由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，即，解得：R=2或R=0(不符合題意，舍去）,∴⊙O的半徑為2．【點睛】本題考查切線的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圓周角定理的推論，本題屬圓的綜合題目，熟練掌握相關性質與判定是解題的關鍵．27．（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，AB是的直徑，AC是的弦，AD平分∠CAB交于點D，過點D作的切線EF，交AB的延長線于點E，交AC的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，，，求BE的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接，根據平分，可得，從而得到，可得，再由切線的性質，即可求解；（2）由，可得，設為，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的切線，∴，∴．（2）解：由（1）得：，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，設為，∴，∴，解得：，即的長為2．【點睛】本題主要考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握切線的性質，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．28．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點E是⊙O上異于A，B的點，點F是的中點，連接AE，AF，BF，過點F作FC⊥AE交AE的延長線于點C，交AB的延長線于點D，∠ADC的平分線DG交AF于點G，交FB于點H．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求sin∠FHG的值；(3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直徑．【答案】(1)見解析(2)(3)⊙O的直徑為【分析】（1）連接OF，先證明OFAC，則∠OFD＝∠C＝，根據切線的判定定理可得出結論．（2）先證∠DFB＝∠OAF，∠ADG＝∠FDG，根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和得出∠FGH＝∠FHG＝，從而可求出sin∠FHG的值．（3）先在△GFH中求出FH的值為4，根據等積法可得，再證△DFB∽△DAF，根據對應邊成比例可得，又由角平分線的性質可得，從而可求出AG、AF．在Rt△AFＢ中根據勾股定理可求出AB的長，即⊙O的直徑．【詳解】（1）證明：連接OF．∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵

∴∠CAF＝∠FAB，∴∠CAF＝∠AFO