第07講不定方程（教師版）

第7講不定方程五升六暑期第7講不定方程五升六暑期知識點(diǎn)知識點(diǎn)1、不定方程的定義：

一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程．多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一．2、不定方程的解法及步驟：

常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法．

多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可．

涉及知識點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較．3、解不定方程的步驟：

（1）列方程；（2）消元；（3）寫出表達(dá)式；（4）確定范圍；（5）確定特征；（6）確定答案．4、技巧總結(jié)：

（1）寫出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；

（2）消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)．備注備注課堂例題課堂例題解二元一次不定方程1、下列方程的自然數(shù)解：（1），則；（2），則；（3），則；（4），則．【答案】

（1）（2）（3）無解（4）【解析】

枚舉法．2、（2015年金帆五秋）方程有________組自然數(shù)解．【答案】

11【解析】

易知y可為0至的所有自然數(shù)，即方程有11組自然數(shù)解．3、求不定方程的所有自然數(shù)解．【答案】

，【解析】

很明顯y一定是5的倍數(shù)，枚舉5、10、15、……，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)有解，很容易看出無其他自然數(shù)解．利用二元一次不定方程解應(yīng)用題4、甲級鉛筆7角一支，乙級鉛筆3角一支，張明用5元錢買這兩種鉛筆，錢恰好花完．請問：張明共買了多少支鉛筆？【答案】

10支或14支【解析】

設(shè)張明買了x支甲級鉛筆，y支乙級鉛筆，根據(jù)題意列出方程：，由于方程兩邊除以3的余數(shù)相同，，，所以除以3余2．又因?yàn)?，所以是不超過7的自然數(shù)，只能取2或5．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．所以張明共買了14支或10支鉛筆．5、采購員去超市買雞蛋．每個(gè)大盒里有23個(gè)雞蛋，每個(gè)小盒里有16個(gè)雞蛋．采購員要恰好買500個(gè)雞蛋，他一共要買多少盒？【答案】

26盒【解析】

設(shè)買了大盒雞蛋盒，小盒雞蛋盒，則．考慮方程兩邊除以16的余數(shù)，得：除以16的余數(shù)是4．首先要求是4的倍數(shù)，所以是4的倍數(shù)，驗(yàn)證4、8、12、……發(fā)現(xiàn)滿足除以16的余數(shù)是4的最小值是12，相應(yīng)的的值是14，即．由于且，所以方程沒有其它自然數(shù)解，采購員一共買了盒雞蛋．6、甲、乙兩個(gè)小隊(duì)的同學(xué)去植樹．甲小隊(duì)有一人植樹12棵，其余每人都植樹13棵；乙小隊(duì)有一人植樹8棵，其余每人都植樹10棵．已知兩小隊(duì)植樹棵數(shù)相等，且每小隊(duì)植樹的棵數(shù)都是四百多棵．問：甲、乙兩小隊(duì)共有多少人？【答案】

76人【解析】

設(shè)甲、乙兩小隊(duì)分別有人和人．則兩隊(duì)植樹棵數(shù)分別為棵和棵．由分析得：．將0、1、2、……代入方程驗(yàn)證是否是自然數(shù)，可以求出方程的值最小的一組自然數(shù)解，此時(shí)每隊(duì)的植樹棵數(shù)均為38棵．方程的所有其他的自然數(shù)解都可以由進(jìn)行若干次的“值增加13且同時(shí)值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然數(shù)解是，，，……），每次“值增加13且同時(shí)值增加10”意味著每隊(duì)植樹棵數(shù)增加130棵，38棵要變?yōu)樗陌俣嗫?，意味著要增?次，符合要求的自然數(shù)解是．所以甲隊(duì)有33人，乙隊(duì)有43人，兩隊(duì)共有人．7、將一根長為380厘米的合金鋁管截成若干根長為36厘米和24厘米兩種型號的短管，加工損耗忽略不計(jì)．問：剩余部分的管子最少是多少厘米？【答案】

8厘米【解析】

設(shè)已經(jīng)截出了根長36厘米的管子和根長24厘米的管子，那么被截出的管子一共長厘米．由，得：一定是12的倍數(shù)．而380不是12的倍數(shù)，所以是沒有自然數(shù)解的！管子不可能剛好被用盡，那么最少會剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍數(shù)，小于380且能被12整除的最大自然數(shù)是372，而的自然數(shù)解是存在的，如，也就是截出1根長36厘米的管子和14根長24厘米的管子，能夠使得截出的管子總長度達(dá)到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．8、在新年聯(lián)歡會上，某班組織了一場飛鏢比賽．如圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對應(yīng)17分、11分和4分．每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．試問：如果比賽規(guī)定恰好投中100分才能獲獎(jiǎng)，要想獲獎(jiǎng)至少需要投中幾個(gè)飛鏢？如果規(guī)定恰好投中120分才能獲獎(jiǎng)，要想獲獎(jiǎng)至少需要投中幾個(gè)飛鏢？441117【答案】

7個(gè)；10個(gè)【解析】

（1）第一問相當(dāng)于求：當(dāng)（其中、、是自然數(shù)）時(shí)，的最小值．令，用的17倍減去，得．由是自然數(shù)，得：不能小于6．當(dāng)時(shí)，，此方程無自然數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，此方程有自然數(shù)解，相應(yīng)的．所以100分能獲獎(jiǎng)時(shí)，最少只要7個(gè)飛鏢就夠了，對應(yīng)的中獎(jiǎng)方案是：17分的靶子中5個(gè)，11分的靶子中1個(gè)，4分的靶子中1個(gè)．（2）第二問，同樣設(shè)，由，用的17倍減去，得．由是自然數(shù)，得：不能小于8．當(dāng)時(shí)，，此方程無自然數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，此方程無自然數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，此方程有自然數(shù)解，相應(yīng)的．所以120分能獲獎(jiǎng)時(shí)，最少只要10個(gè)飛鏢就夠了，對應(yīng)的中獎(jiǎng)方案是：17分的靶子中4個(gè)，11分的靶子中4個(gè)，4分的靶子中2個(gè)．多元一次不定方程及其應(yīng)用9、（2015金帆五升六暑期）不定方程的非零自然數(shù)解是__________．【答案】

【解析】

顯然z只能取1，2，3．當(dāng)時(shí)，，其自然數(shù)解為；．當(dāng)時(shí)，，其自然數(shù)解為．當(dāng)時(shí)，，顯然無自然數(shù)解．所以原方程的自然數(shù)解為：．10、我國古代數(shù)學(xué)家張丘建在《算經(jīng)》一書中提出了“百雞問題”：雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一．百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？這個(gè)問題是說：每只公雞價(jià)值5文錢，每只母雞價(jià)值3文錢，每3只小雞價(jià)值1文錢．要想用100文錢恰好買100只雞，公雞、母雞和小雞應(yīng)該分別買多少只？【答案】

公雞、母雞、小雞分別買0只、25只、75只；或者4只、18只、78只；或者8只、11只、81只；或者12只、4孩子、84只【解析】

有四種符合要求的買雞方案：公雞0只，母雞25只，小雞75只；公雞4只，母雞18只，小雞78只；公雞8只，母雞11只，小雞81只；公雞12只，母雞4只，小雞84只．解答：設(shè)公雞、母雞和小雞分別買了只、只和只．依題意，得：．要求這個(gè)方程的自然數(shù)解，我們用“消元”的想法把它轉(zhuǎn)化成二元一次不定方程求自然數(shù)解的問題．我們選擇“消去”：將第二個(gè)方程乘以3，然后減去第一個(gè)方程，得：，即，它的所有自然數(shù)解是、、、．它們對應(yīng)的值分別為75、78、81、84都是自然數(shù)，于是原不定方程的所有自然數(shù)解是：、、和．所以我們有四種符合要求的買雞方案：公雞0只，母雞25只，小雞75只；公雞4只，母雞18只，小雞78只；公雞8只，母雞11只，小雞81只；公雞12只，母雞4只，小雞84只．有限制條件的不定方程11、采購員用一張萬元支票去購物，買了若干個(gè)單價(jià)590元的A種商品和若干個(gè)單價(jià)670元的B種商品，其中B種商品多于A種商品，最后找回了幾張100元鈔票和不到10張10元鈔票．如果把A，B兩種商品的數(shù)量調(diào)換，則找回的100元和10元的鈔票張數(shù)正好也調(diào)換，那么這兩種商品分別買了多少個(gè)？【答案】

A種商品3個(gè)，B種商品12個(gè)【解析】

設(shè)買了x個(gè)A種商品，y個(gè)B種商品，找回了z張100元鈔票，w張10元鈔票，依題意得：（其中，），兩式子相減得，即，亦即，兩邊同時(shí)除以10得。由于等式的兩邊不等于0，且w比10小，所以，依題意只能是，，代入原方程得：，解得，所以A種商品買了3個(gè)，B種商品買了12個(gè)．12、甲、乙兩人下棋，規(guī)定：勝一局得13分，平一局得5分，負(fù)一局得0分．

（1）如果某一時(shí)刻甲、乙的得分和是200，則兩人之間比了多少局？

（2）如果某一時(shí)刻甲、乙的比分是101:140，則兩人之間最少比了多少局？

（3）如果某一時(shí)刻甲、乙的得分和是得分差的兩倍，且兩人至少打了一場平局，則兩人之間最少比了多少局？【答案】

（1）17（2）22（3）23【解析】

（1）設(shè)此時(shí)分出勝負(fù)的局?jǐn)?shù)為m，打平局?jǐn)?shù)為n，則，即．由可知，易知，進(jìn)而，共賽局．（2），則，，進(jìn)而，共賽局．（3）設(shè)甲、乙分別勝a、b局，打平c局，不妨設(shè)，則，化簡得．由可知，c最小為13．此時(shí)，，可令．這樣，共比了局．換元法13、卡莉婭到商店買糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每種糖都買了．請問：卡莉婭共買了多少包奶糖？【答案】

12包【解析】

不妨設(shè)巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分別有包、包、包和包，則．把系數(shù)都化成整數(shù)，得：．由于我們只關(guān)心奶糖的數(shù)量，我們將未知數(shù)分為一組，其余未知數(shù)分為另一組：．也就是．令，則．它的自然數(shù)解只有，所以卡莉婭共買了12包奶糖．

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、（1）求的所有自然數(shù)解；（2）求的所有自然數(shù)解．【答案】

（1），，（2）【解析】

（1）．由可知，再結(jié)合可知x可能取值為0、5、10，進(jìn)而解為，，．（2）對11求余數(shù)，可得，再結(jié)合可得，方程解為．2、點(diǎn)心店里賣大、小兩種蛋糕．一個(gè)大蛋糕恰好夠7個(gè)人吃，一個(gè)小蛋糕恰好夠4個(gè)人吃，現(xiàn)在有100個(gè)人要吃蛋糕，應(yīng)該準(zhǔn)備大、小蛋糕各多少個(gè)才不浪費(fèi)？如果每個(gè)大蛋糕10元，每個(gè)小蛋糕7元，那么至少要花多少錢？【答案】

（1）有四種方案：0、25；4、18；8、11；12、4（2）148【解析】

（1）設(shè)大、小蛋糕分別有x、y個(gè)，則．．由可知．再結(jié)合可得方程解為，，，．（2）大蛋糕人均成本低，故應(yīng)盡量多買大蛋糕且少浪費(fèi)．由（1）可知大蛋糕至少12個(gè)，經(jīng)比較，易知12大4小即為最優(yōu)方案，共花元．3、天氣炎熱，高思學(xué)校購置了大、小空調(diào)若干．每臺大空調(diào)每天耗電38度，每臺小空調(diào)每天耗電13度．已知所有大空調(diào)日耗電量之和恰好比所有小空調(diào)日耗電之和少1度．請問：學(xué)校最少購進(jìn)了多少臺空調(diào)？【答案】

4【解析】

設(shè)大、小空調(diào)分別為x臺、y臺，則，顯然為最小自然數(shù)解，即共購進(jìn)臺．4、酒店里有500升女兒紅，李一白每次路過這里就打走35升，杜二甫每次路過這里就打走21升．那么若干天后，酒店剩余的女兒紅最少是多少升？【答案】

3【解析】

設(shè)李一白、杜二甫分別來過x、y次，則酒的剩余量為．而，故至少剩3升．令，化簡得，即為一組自然數(shù)解．因此，剩余的女兒紅最少是3升．5、（2015金帆五升六暑期）有紙幣60張，它們的面值為1分、l角、1元和10元，各有若干張．問這些紙幣的總面值是否能夠恰好是100元？【答案】

不能【解析】

設(shè)1分、1角、1元和10元的紙幣分別為x、y、z、w張，則有，兩式相減可得，．容易看出不定方程左邊為9的倍數(shù)，而40不是，所以該不定方程無整數(shù)解，即不能恰好是100元．課后作業(yè)課后作業(yè)1、不定方程：有_______組自然數(shù)解．【答案】

1【解析】

，故．易知只有滿足要求，進(jìn)而．2、在一次植樹節(jié)的活動中，參加活動的男生每個(gè)人種11棵樹，女生每個(gè)人種7棵樹，最后所有人一共種了100棵樹，那么參加活動的一共有_______人．【答案】

12【解析】

設(shè)男生有x人，女生有y人，則，，試驗(yàn)得，進(jìn)而，共人．3、一張紙上寫有25個(gè)1.21和25個(gè)1.3．現(xiàn)在要?jiǎng)澣テ渲械囊恍?shù)，使留下來的數(shù)的總和為20.08，那么應(yīng)劃去_______個(gè)1.3．【答案】

17【解析】

設(shè)留下x個(gè)1.21和y個(gè)1.3，則x、y不超過25且．化簡得．觀察個(gè)位易知x的個(gè)位為8，即可能為8或18．經(jīng)驗(yàn)證，為原方程的解，進(jìn)而應(yīng)劃去個(gè)1.3．4、甲、乙、丙三個(gè)班向希望工程捐贈圖書．已知甲班有1人捐6冊，有2人各捐7冊，其余都各捐11冊；乙班有1人捐6冊，3人各捐8冊，其余各捐10冊；丙班有2人各捐4冊，6人各捐7冊，其余各捐9冊．已知甲班捐書總數(shù)比乙班多28冊，乙班比丙班多101冊，且每個(gè)班捐贈的冊數(shù)都在400與600之間．甲班有_______人．【答案】

61【解析】

設(shè)甲班捐10冊的有x人，乙班捐10冊的有y人，丙班捐10冊的有z人，則易知三班捐的冊數(shù)分別為、、，且滿足．由③得x的個(gè)位為8，由④得，且易知，即．