浙江省衢州市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析）

浙江省衢州市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.[1，2] B.[1，3] C.[0，2] D.[0，3]【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集求得集合，結(jié)合函數(shù)的解析式有意義，求得集合，利用集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由不等式，解得，即；又由函數(shù)有意義，則滿足，解得，即，所以.故選：B.2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正切型三角函數(shù)的最小正周期求解即可得答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期.故選：A.3.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求即可.【詳解】法一：已知復(fù)數(shù)，；法二：；故選：C.4.已知向量，若，則（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算得到，再根據(jù)向量平行坐標(biāo)要求列方程求出的值.【詳解】根據(jù)題意，，因?yàn)?，所以，解?故選：D5.已知圓錐的底面周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，則由題意可得，求出，從而可求出高，進(jìn)而可求出圓錐的體積【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，則，解得，則該圓錐的高，故該圓錐的體積為，故選：A.6.已知直線（其中為常數(shù)），圓，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】確定直線經(jīng)過定點(diǎn)已經(jīng)圓的圓心與半徑，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式與直線與圓相交的性質(zhì)，算出直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)，即可得得答案．【詳解】直線，整理可得，令，解得，故直線過定點(diǎn)，又圓，則圓心，半徑圓，根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，結(jié)合，可得直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)等于.故選：C.7.在中，的平分線交AB于點(diǎn)，且，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用證得，在中利用余弦定理可得，最后再在中利用余弦定理可得.【詳解】因?yàn)榈慕瞧椒志€，，則，因，則，即，設(shè)，則，則在中利用余弦定理可得，，得，在中利用余弦定理可得，.故選：B8.對(duì)任意，都存在，使得成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，得到，，，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求得，即，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，，，則，同理可得：，所以，所以，因?yàn)閷?duì)任意，都存在，使得成立，即，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分．9.雙曲三角函數(shù)是一類與常見圓三角函數(shù)相似但具有獨(dú)特性質(zhì)的函數(shù)，主要包括雙曲余弦函數(shù)、雙曲正弦函數(shù)、雙曲正切函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)奇偶性定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故A正確；對(duì)于B，的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，故B正確；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若橢圓上存在異于兩點(diǎn)的點(diǎn)使得，則離心率的值可以為（）A.0.8 B.0.85 C.0.9 D.0.95【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，則，求的值得到關(guān)于的式子，再求解離心率取值范圍，從而得結(jié)論.【詳解】由題可設(shè)，則，則，，兩式相減得：，則，所以，所以，則橢圓的離心率，故離心率的值可以為0.85，0.9，0.95，故選：BCD.11.甲、乙兩人輪流擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，甲先擲.下列選項(xiàng)中正確的是（）A.“甲第一次擲骰子擲出偶數(shù)點(diǎn)”的概率為B.“在甲擲出點(diǎn)后，乙下一次擲骰子擲出點(diǎn)”的概率為C.“首次連續(xù)次出現(xiàn)點(diǎn)時(shí)需擲骰子的次數(shù)”的期望為D.“甲先擲出點(diǎn)”的概率為【答案】ABD【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可判斷AB選項(xiàng)；設(shè)首次連續(xù)兩次出現(xiàn)點(diǎn)的期望次數(shù)為，結(jié)合題意分析得出關(guān)于的方程，解出的值，可判斷C選項(xiàng)；求出“甲第次首次擲出點(diǎn)，且在甲第次擲骰子前兩人都沒有擲出點(diǎn)”的概率，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，“甲第一次擲骰子擲出偶數(shù)點(diǎn)”的概率為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，在甲擲出點(diǎn)后，乙下一次擲出點(diǎn)不受前面的影響，其概率為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)首次連續(xù)兩次出現(xiàn)點(diǎn)的期望次數(shù)為，分兩種情況分析：若第一次沒有擲出點(diǎn)，則需重新開始，期望次數(shù)為，若第一次擲出點(diǎn)，第二次沒有擲出點(diǎn)，則需重新開始，期望次數(shù)為，若第一次、第二次都擲出點(diǎn)，則期望次數(shù)為，所以，，解得，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)甲第次首次擲出點(diǎn)，且在甲第次擲骰子前兩人都沒有擲出點(diǎn)，設(shè)其概率為，則，所以，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，即“甲先擲出點(diǎn)”的概率為，D對(duì).故選：ABD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知且，若，則___________．【答案】e【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得答案.【詳解】若，則，所以.故答案：.13.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為___________．【答案】56【解析】【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，得出結(jié)論．【詳解】的展開式中的通項(xiàng)公式為，的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：．14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線與拋物線位于軸上方的交點(diǎn)，若，則的值為___________．【答案】2【解析】【分析】由題意得雙曲線，，拋物線為，兩方程聯(lián)立可求出點(diǎn)，然后表示出，再由可求出，從而可求出的值.【詳解】由雙曲線的離心率，得，所以，得，所以雙曲線，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，所以拋物線為，由，得，解得或（不合題意舍去），所以，得，因?yàn)辄c(diǎn)位于軸上方，所以，所以，，因?yàn)椋?，得，所?故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.為了更好地了解中學(xué)生的體育鍛煉時(shí)間，某校展開了一次調(diào)查，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參加體育鍛煉時(shí)間（單位：小時(shí)），分別位于區(qū)間，，用頻率分布直方圖表示如下圖．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參加體育鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立．（1）求的值；（2）估計(jì)全校學(xué)生一周參加體育鍛煉時(shí)間的第百分位數(shù)；（3）從全校學(xué)生中隨機(jī)選取人，記表示這人一周參加體育鍛煉時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖各個(gè)小矩形的面積和為，即可求解；（2）利用百分位數(shù)的求法，即可求解；（3）根據(jù)條件可得，再利用二項(xiàng)分布的概率公式求出可能取值的概率，即可求出分布列，再利用期望的計(jì)算公式，即可求解.【小問1詳解】由，解得.【小問2詳解】因?yàn)?，，所以第百分位?shù)為.【小問3詳解】從全校學(xué)生中隨機(jī)選取人，則此人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間的概率為，又的可能取值為，由題意可得，則，，則的分布列為：的數(shù)學(xué)期望.16.已知數(shù)列中，，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）依題意可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）可得，即可得解；（3）利用分組求和法求出，即可得到對(duì)任意恒成立，，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算可得.【小問1詳解】，，又，是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可知，.【小問3詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)閷?duì)任意恒成立，則對(duì)任意恒成立，，，易知在單調(diào)遞增，時(shí)，取得最小值，最小值為，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）求的值；（2）求證：．【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，討論，時(shí)所求切線與已知切線建立的方程的根只有一個(gè)，即可得的值；（2）分別確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，通過最值之間的關(guān)系證得結(jié)論.【小問1詳解】又，則切線方程為，當(dāng)時(shí)，顯然滿足條件，當(dāng)時(shí)，的方程有兩個(gè)相等的根，，綜上：或．【小問2詳解】由于，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，.令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，.當(dāng)時(shí)，.18.如圖，矩形ABCD中，．現(xiàn)以EF為折痕把四邊形ABFE折起得到平面，并連接．（1）若，證明：平面BEF；（2）若為的中點(diǎn)，，直線GE與平面所成角正弦值為．（i）試討論在線段AD上是否存在點(diǎn)，使得平面GMN．若存在，請(qǐng)求出DN的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由；（ii）求平面與平面所成銳二面角的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）（i）存在，；（ii）【解析】【分析】（1）由勾股定理可證得，在由，根據(jù)線面垂直判定定理證得結(jié)論；（2）（i）利用線面垂直證明面面垂直得平面平面，從而得直線GE在平面GEF射影為直線BE，由直線GE與平面所成角為，得易知為BF中點(diǎn)，再由面面平行得線面平行，即可得得結(jié)論；（ii）法一：建立空間直角坐標(biāo)系求解平面與平面的法向量，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算得平面與平面夾角余弦值，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)論；法二：根據(jù)平面與平面夾角的定義確定面面夾角，從而可得取最值的情況.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，則，.所以，又，所以平面BEF.【小問2詳解】（i）因?yàn)?，所以平面，又平面GEF，所以平面平面，故直線GE在平面GEF射影為直線BE，所以直線GE與平面所成角為，易知為BF中點(diǎn)，.取ED中點(diǎn)，連接，則且則平面平面GMN，所以平面GMN，故點(diǎn)存在，故；（ii）因?yàn)?，所以，則，且，所以平面．法一：如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，故平面一個(gè)法向量為．又平面一個(gè)法向量，則，所以平面與平面所成銳二面角的平面角的取值范圍為法二：由（1）可知，平面平面GMN，要求平面與平面所成的平面角，即求平面GMN與平面所成的平面角，記直線GN與EF交點(diǎn)為，取中點(diǎn)為T，則，故，則平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面GMN，過點(diǎn)作，垂足為，連接QF，則即所求二面角其中，當(dāng)平面ABCD時(shí)，QO取最大值，所以平面與平面所成銳二面角的平面角的取值范圍為19.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4．（1）求拋物線的方程；（2）已知拋物線的準(zhǔn)線為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若過焦點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線AO與交于點(diǎn)，（i）證明：直線軸；（ii）過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)且分別與直線相交于點(diǎn)，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線定義，利用焦半徑公式可求；（2）（i）設(shè)，聯(lián)立直線與拋物