四川省成都市簡(jiǎn)陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校（成都石室陽(yáng)安學(xué)校）2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

成都石室陽(yáng)安學(xué)校高2023級(jí)（高二）下學(xué)期半期考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】觀察數(shù)列的前5項(xiàng)分析其變化規(guī)律即可求解.【詳解】數(shù)列的前5項(xiàng)依次為，即，，，，，所以的一個(gè)通項(xiàng)公式為．故選：C2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)即可判斷.【詳解】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，故D正確.故選：D.3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則（）A.3 B.6C.3或 D.6或【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公比為q，則，所以，，所以．故選：B．4.口袋中裝有5個(gè)白球4個(gè)紅球，每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中取出2個(gè)球，只有一個(gè)紅球的取法種數(shù)是（）A.20 B.26 C.32 D.36【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式求解.【詳解】依題意，取出1個(gè)紅球有4種方法，取出1個(gè)白球有5種方法，所以取出2個(gè)球中只有一個(gè)紅球的取法種數(shù)是.故選：A5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系得出減區(qū)間.【詳解】∵，∴，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B.6.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（）A.3 B. C.6 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，又函?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，所以，故選：A.7.五人相約到電影院觀看電影《第二十條》，恰好買到了五張連號(hào)的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（）A.60 B.80 C.100 D.120【答案】B【解析】【分析】先求得五人的全排列數(shù)，再由定序排列法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，五人全排列共有種不同的排法，其中甲乙丙三人全排列共有種不同的排法，其中甲乙在丙的同側(cè)有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4種排法，所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為.故選：B8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由已知可得，，，；，，進(jìn)而利用單調(diào)性可得答案.【詳解】令，，時(shí)，，則在上遞減，時(shí)，，則在上遞增，由可得，化∴，則，同理，；，，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)樵谏线f減，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：求出，在定義域內(nèi)分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，由求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．A.若，則B若，則C.若，則D.若和都為遞增數(shù)列，則【答案】BC【解析】【分析】若的公差為，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，結(jié)合單調(diào)性依次判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】若的公差為，則：A：由題設(shè)，故，則，錯(cuò)；B：，對(duì)；C：由，即，而，即，對(duì)；D：由題設(shè)，又是遞增數(shù)列，則，所以，即對(duì)，，而的符號(hào)無(wú)法確定，錯(cuò).故選：BC10.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.有極小值C.有2個(gè)極值點(diǎn) D.在處取得最大值【答案】AB【解析】【分析】結(jié)合圖象，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系逐一分析判斷即可.【詳解】由的圖象可知或時(shí)，，則單調(diào)遞減，故A正確；又或時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，故B正確；由的圖象結(jié)合單調(diào)性可知，2，4時(shí)，有極值，所以有3個(gè)極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，在處不能取得最大值，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11.已知函數(shù)(為常數(shù))，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為B.若有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為C.當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，且【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可判定A正確；根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，可判定B正確；當(dāng)時(shí)，得到，討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義，可判定C錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，得到，函數(shù)單調(diào)遞增，結(jié)合，可判定D正確；【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，可得，則，所以切線為A正確：對(duì)于B中，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)解，其中時(shí)，顯然不是方程的根，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為與的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，又由，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為，又由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，如下圖：所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以B正確：對(duì)于中，當(dāng)時(shí)，，可得，令，在上單調(diào)遞增，且,所以存在使得，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，又,所以在上，即，單調(diào)遞減，在上，即，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，所以錯(cuò)誤．對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以有唯一零點(diǎn)且，所以D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知構(gòu)成各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，且則________.【答案】4【解析】【分析】利用等比中項(xiàng)，得到，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闃?gòu)成各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，所以，又，所以，解得或（舍去），故答案為：.13.某電視臺(tái)連續(xù)播放個(gè)不同的廣告，其中個(gè)不同的商業(yè)廣告和個(gè)不同的公益廣告，要求所有的公益廣告必須連續(xù)播放，則不同的播放方式的種數(shù)為_______.【答案】720【解析】【分析】分兩步求解，第一步將所有的公益廣告捆綁一起當(dāng)成一個(gè)元素和其他4個(gè)不同商業(yè)廣告進(jìn)行排列，第二部對(duì)個(gè)不同的公益廣告進(jìn)行排列，得結(jié)果【詳解】解：由題意，第一步將所有的公益廣告捆綁一起當(dāng)成一個(gè)元素和其他4個(gè)不同商業(yè)廣告進(jìn)行排列，不同的安排方式有種，第二部對(duì)個(gè)不同的公益廣告進(jìn)行排列，不同的安排方式有種，故總的不同安排方式有種，故答案為720.【點(diǎn)睛】本題考查捆綁法解排列組合問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，若對(duì)于區(qū)間上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________.【答案】【解析】【分析】求出的單調(diào)性，將絕對(duì)值去掉后得，構(gòu)造新函數(shù)，這樣就知道了函數(shù)的單調(diào)性，分離參量求導(dǎo)，得實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】不妨設(shè).因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，即.又因?yàn)樵谏弦矄握{(diào)遞增，所以.所以不等式即為，即，設(shè)，即，則，因此在上單調(diào)遞減.于是在上恒成立，即在上恒成立.令，則，即在上單調(diào)遞增，因此在上的最小值為，

所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為何值時(shí)，取得最大值并求其最大值．【答案】（1）；（2）n=4時(shí)取得最大值.【解析】【分析】（1）利用公式，進(jìn)行求解；（2）對(duì)進(jìn)行配方，然后結(jié)合由，可以求出的最大值以及此時(shí)的值.【詳解】（1）由題意可知：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，顯然成立，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），由，則時(shí)，取得最大值28，∴當(dāng)為4時(shí)，取得最大值，最大值28．【點(diǎn)睛】本題考查了已知求，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，根據(jù)的取值范圍求最大值是解題的關(guān)鍵.16.已知函數(shù)在時(shí)取得極小值．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值．【答案】（1），（2）最小值為，最大值為【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，解得、的值，再代入檢驗(yàn)；（2）由（1）可得函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與極小值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】因，所以，依題意，即，解得或，若，則，則無(wú)極值點(diǎn)，不滿足題意，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則在處取得極小值，又，，，所以在上的最小值為，最大值為.17.已知六面體的底面是矩形，，，且.（1）求證：平面；（2）若平面，求直線與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，利用平行四邊形和矩形性質(zhì)可得，根據(jù)線線平行可得線面平行.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接.∵且，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.【小問(wèn)2詳解】∵平面，∴，∵四邊形是矩形，∴，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，∴，，.設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，即，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面夾角的正弦值為.18.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)求的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系化簡(jiǎn)可得，從而可得結(jié)論；（2）由（1）可知，，則，利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求的前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，，所以，故?shù)列是以首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，即，所以.所以，①，②由①－②，得，所以.故的前項(xiàng)和為.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，令，可得，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，令，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，從而可得在上單調(diào)遞減，即可證明.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以，，由直線的點(diǎn)斜式可得，化簡(jiǎn)可得，所以切線方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，令，可得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有極大值，即最大值，，且時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，